Контрольная работа по "Высшей математике"

Вариант 1

1. Решить систему линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера.

 

Применение  метода Крамера возможно, если определитель, составленный из коэффициентов при переменных, не равен нулю. В таком случае система имеет единственное решение.

1. Найдем главный определитель (detA):

 

1. - из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 3, умноженные на 2.
2. - из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 3, умноженные на 3.

Разложим определитель по элементам первого столбца. Формула разложения определителя A по столбцу 1:

        (*)

где a_i1 – соответственный элемент первого столбца определителя,

M_i1 -  миноры соответствующих элементов столбца 1.

Подставим элементы столбца 1 в формулу разложения:

.

Вычислим  M₃₁. (Вычисление М₁₁ и М₂₁ не требуется, т.к. они умножаются на 0). В исходном определителе вычеркиваем строку 3 и столбец 1.

 

Подставим полученное значение M₃₁в формулу (*):

.

2. Найдем detA₁, который получается из detA путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов - .

 

 

 

3. – к элементам строки 3 прибавляем соответствующие элементы строки 2, умноженные на 2.
4. – из элементов столбца 3 вычитаем соответствующие элементы столбца 1.
5. – из элементов столбца 3 вычитаем соответствующие элементы столбца 2, умноженные на 2.

Разложим определитель по элементам третьего столбца:

 

 

 

 

 

 

3. Найдем detA₂, который получается из detA путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.

 

 

6. – к элементам строки 2 прибавляем соответствующие элементы строки 3, умноженные на 2.
7. – к элементам строки 1 прибавляем соответствующие элементы строки 3, умноженные на 5.

Разложим определитель по элементам третьего столбца:

 

 

 

4. Найдем detA₃, который получается из detA путем замены третьего столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.

 

 

 

 

8. – к элементам строки 3 прибавляем соответствующие элементы строки 2, умноженные на 2.
9. – к элементам строки 1 прибавляем соответствующие элементы строки 2, умноженные на 3.

 

 

 

Разложим определитель по элементам второго столбца:

 

 

 

 

 

Ответ: x = 0;   y = -2;   z = 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Требуется: 1) записать векторы в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами и 3) найти проекцию вектора на вектор 4) найти площадь грани ABC; 5) найти объем пирамиды ABCD.

 

A (2; -3; 1), B(6; 1; -1), C (4; 8; -9), D (2; -1; 2).

1. AB = (6-2)i + (1-(-3))j +(-1-1)k = 4i + 4j – 2k

AC = (4-2)i + (8-(-3))j + (-9-1)k = 2i + 11j – 10k

AD = (2-2)i + (-1-(-3))j + (2-1)k = 0i + 2j + k

 

 

 

 

 

 

угол  = arcos(0.8)

 

3. Проекция находится по формуле 

где j - угол между векторамиADи AB

 

 

 

Проекция =

 

 

 

 

 

Находим длину вектора:

S = 65.76/2 = 32.88 (кв.ед)

 

 

 

V = 108/6 = 18 (куб. ед)

 

 

 

 

 

 

3.Найти указанные пределы:

 

а)

б)

в)

г)

а)

 

 

 

Разложим  на множители числитель и знаменатель:

 

D = 49

 

 

 

D = 49

 

 

 

б) 

в)

 

 

Используем  правило Лопиталя:

 

(4x)’  = 4

 

г)

 

 

 

 

Используем  второй замечательный предел – . Приводим выражение, стоящее под знаком предела к виду