Контрольная работа по "Теории вероятностей"

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 29 Ноября 2013 в 22:03, контрольная работа

Краткое описание

1. На складе имеется 20 приборов, из которых два неисправны. При отправке потребителю проверяется исправность приборов. Найти вероятность того, что три первых проверенных прибора окажутся исправными.
2. При выпуске телевизоров количество экземпляров высшего качества в среднем составляет 80%. Выпущено 400 телевизоров. Найти: а) вероятность того, что 300 из выпущенных телевизоров высшего качества; б) границы, в которых с вероятностью 0,9907 заключена доля телевизоров высшего качества.
3. В партии из восьми деталей шесть стандартных. Наугад отбирают две детали. Составить закон распределения случайной величины – числа стандартных деталей среди отобранных. Найти ее математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения.

Прикрепленные файлы: 1 файл

47876.doc

— 284.50 Кб (Скачать документ)

1. На складе  имеется 20 приборов, из которых  два неисправны. При отправке  потребителю проверяется исправность  приборов.

Найти вероятность  того, что три первых проверенных  прибора окажутся исправными.

Решение:

Пусть событие А –  первые три проверенных прибора – исправны.

Общее число случаев  выбора 3 приборов из 20 равно  . Число случаев благоприятствующих событию А, равно . Тогда

Ответ: .

 

 

2. При выпуске телевизоров количество экземпляров высшего качества в среднем составляет 80%. Выпущено 400 телевизоров.

Найти:

а) вероятность  того, что 300 из выпущенных телевизоров  высшего качества;

б) границы, в  которых с вероятностью 0,9907 заключена  доля телевизоров высшего качества.

Решение:

Имеем

а) Применим локальную  теорему Муавра-Лапласа

, где  и

б) Воспользуемся следствием из интегральной теоремы Муавра-Лапласа

, где 

Т.к. , то ,  откуда

Следовательно, границы для доли равны:

Ответ: а) , б) .

 

 

3. В партии из восьми деталей шесть стандартных. Наугад отбирают две детали.

Составить закон распределения  случайной величины – числа стандартных  деталей среди отобранных. Найти  ее математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения.

Решение:

Случайная величина X принимает следующие значения: 0, 1, 2

По условию  , следовательно,

Вероятности распределения найдем по схеме Бернулли

 

    

 

Составим закон распределения

X

0

1

2

p

0,0625

0,3750

0,5625


Математическое ожидание:

Дисперсия:

Функция распределения:

Ответ: , .

 

 

 

4. Из 1560 сотрудников предприятия по схеме собственно-случайной бесповторной выборки отобрано 100 человек для получения статистических данных о пребывании на больничном листе в течение года. Полученные данные представлены в таблице.

Количество  дней пребывания на больничном листе

Менее 3

3 – 5

5 – 7

7 – 9

9 – 11

Более 11

Итого

Число сотрудников

6

13

24

39

8

10

100


Найти:

а) вероятность  того, что среднее число дней пребывания на больничном листе среди сотрудников предприятия отличается от их среднего числа в выборке не более чем на один день (по абсолютной величине);

б) границы, в  которых с вероятностью 0,95 заключена  доля всех сотрудников, пребывающих на больничном листе не более семи дней;

в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы  для доли (см. п. б) можно гарантировать  с вероятностью 0,98.

 

Решение:

а) 

i

Интервалы

xi

Середины

интервалов

xi

ni

uini

ui2ni

ui +1

(ui +1)2ni

1

1 – 3

2

-2

6

-12

24

-1

6

2

3 – 5

4

-1

13

-13

13

0

0

3

5 – 7

6

0

24

0

0

1

24

4

7 – 9

8

1

39

39

39

2

156

5

9 – 11

10

2

8

16

32

3

72

6

11 – 13

12

3

10

30

90

4

160

 

   

100

60

198

 

418


,  где k – ширина интервала по x, а с – один из серединных интервалов. 

k  = 2, с = 6

Проверка:

418 = 198 + 2·60 + 100 = 198 + 120 + 100 = 418    − расчеты верны.

 

Искомую вероятность найдем по формуле:

Р ( ) = Ф(t) = γ,    где    t = ,    ,

Имеем    ,   

Найдем среднюю квадратическую ошибку выборки для средней по формуле:

,   

t = = 4,07,   γ = Ф(t) = Ф(4,07) = 0,9999

Вероятность равна  Р( ) = 0,9999

Итак, вероятность того, что среднее число дней пребывания на больничном листе среди сотрудников предприятия отличается от их среднего числа в выборке не более чем на один день (по абсолютной величине) равна 0,9999.

б)         m = 6 + 13 + 24 = 43       n = 100       N = 1560

         

Учитывая, что γ = Ф(t) = 0,95 t = 1,96 (по таблице), найдем предельную ошибку выборки для доли по формуле:

Теперь искомый доверительный  интервал определяем по формуле:

Итак, с вероятностью 0,95 доля всех сотрудников, пребывающих  на больничном листе не более семи дней заключена от 0,34 до 0,52.

 

в)

Объем выборки:  

.

 

 

 

5.  Распределение 110 образцов полимерных и композиционных материалов по содержанию в них нефтешламов X (%) и водопоглощению Y (%).

      Y

     X

15 – 25

25 – 35

35 – 45

45 – 55

55 – 65

65 – 75

Итого

5 – 15

17

4

       

21

15 – 25

3

18

3

     

24

25 – 35

 

2

15

5

   

22

35 – 45

   

3

13

7

 

23

45 – 55

       

6

14

20

Итого

20

24

21

18

13

14

110


 

Необходимо:

1. Вычислить  групповые средние  и и построить эмпирические линии регрессии.

2. Предполагая,  что между переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнения  прямых регрессии, построить их графики  на одном чертеже с эмпирическими  линиями регрессии и дать экономическую  интерпретацию полученных уравнений;

б) вычислить  коэффициент корреляции, на уровне значимости α = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте  и направлении связи между  переменными X и Y;

     в) используя соответствующее  уравнение регрессии, оценить средний процент водопоглощения в образцах содержащих 35% нефтешламов.

 

Решение:

      Y

     X

20

30

40

50

60

70

Итого

10

17

4

       

21

20

3

18

3

     

24

30

 

2

15

5

   

22

40

   

3

13

7

 

23

50

       

6

14

20

Итого

20

24

21

18

13

14

110


 

 

1)                                                 

                        

                          

                 

      

                                    

    

    

      

    

    

2) а)   

        

,       ,      ,          ,

,        ,        

Вычислим необходимые  суммы:

   

                

Итак, уравнения регрессии:

yx – 42 = 1,12(x – 29,73) 

xy – 29,73 = 0,80(y – 42)

или

yx = 1,12x + 8,70

xy = 0,80y – 3,87

Из уравнения регрессии Y по X следует, что при увеличении ПКМ по содержанию в них нефтешламов хотя бы  на 1%, их водопоглощение увеличится в среднем на 1,12%. Уравнение X по Y показывает, что для увеличения водопоглощения ПКМ хотя бы на  на 1%  необходимо в среднем увеличить содержание в них нефтешламов на 0,80%.

 

 


 

 

б)  Коэффициент корреляции:

Итак, связь между рассматриваемыми переменными прямая и  очень тесная.

Статистика критерия:

Для уровня значимости α = 0,05 и числа  степеней свободы k = 110 – 2 = 108 находим критическое значение статистики t1-α;k = t0.95;108 = 1,99.

Поскольку t > t0.95;108 коэффициент корреляции между X и Y значимо отличается от нуля.

в) yx = 1,12 ∙ 35 + 8,70 = 47,9%.


Информация о работе Контрольная работа по "Теории вероятностей"