Контрольная работа по математики 1 курса БГУИР

Решим данную систему: . Тогда .

Полагая , то и .Таким образом, характеристическому числу соответствует семейство собственных векторов .

Значение  приводит к системе уравнений .

Решаем эту систему: , тогда .

Полагая , то и .Таким образом, характеристическому числу соответствует семейство собственных векторов .

Значение  приводит к системе уравнений .

Решаем эту систему: , тогда .

Полагая , то и .Таким образом, характеристическому числу соответствует семейство собственных векторов .

 

Ответ: Собственные значения: . Собственные векторы: , , .

 

Задача №10.

Привести квадратичную форму к  каноническому виду над полем методом Лагранжа, указать невырожденное линейное преобразование переменных. Матрицы квадратичных форм даны в табл. 6 в соответствии с вариантами.

№ варианта
1

 

Решение.

Метод Лагранжа состоит в последовательном выделении в квадратичной форме  полных квадратов. Пусть  есть данная квадратичная форма. Возможны два случая:

1. хотя бы один из коэффициентов при квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать (этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);
2. все коэффициенты , но есть коэффициент , отличный от нуля (для определенности пусть будет .

В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:

где , а через обозначены все остальные слагаемые.

 представляет собой квадратичную  форму от  переменных . С ней поступают аналогичным образом и так далее.

Так, если , то .

Дана матрица  квадратичной формы: .

Приведем к каноническому виду методом Лагранжа, используя разложение многочлена :

Выделим полный квадрат относительно : .

В итоге получим  .

Делаем замену переменных :

которая приводит квадратичную форму к каноническому виду: .

Квадратичная форма называется невырожденной, если ее матрица невырожденная, т.е. ее ранг равен количеству переменных, и вырожденной, если ранг меньше количества переменных.

Запишем линейное преобразование в  матричном виде:

, , , .

Отсюда  , .

Находим определитель .

Находим алгебраические дополнения:

, , , , , ,

, , .

Тогда матрица линейного преобразования равна:

.

. Следовательно линейное преобразование переменных невырожденное.

Уравнения этого линейного преобразования имеют вид:

Ответ: ,

 

Задача № 11.

Привести квадратичную форму к каноническому виду над полем ортогональным преобразованием, найти матрицу преобразования. Квадратичные формы даны ниже в соответствии с вариантами.

1 вариант:  .

 

Решение.

Правило приведения квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием состоит в следующем:

1. для матрицы коэффициентов  квадратичной формы вычислить  собственные числа и  попарно ортогональных собственных векторов, пронормировать их;

2. составить матрицу из ортонормированных собственных векторов – столбцов;

3. записать ортогональное преобразование  на основе полученной матрицы.

Задана квадратичная форма:

Записываем матрицу квадратичной формы  . Найдем ее собственные числа.

Записываем характеристическое уравнение:

Преобразовываем: .

Решением этого равенства собственные  числа  , , .

Рассматриваем задачу над полем .

При

.

Получаем систему уравнений и находим координаты собственного вектора :

Примем  , тогда , а . Таким образом получили собственный вектор , . Для нормировки (определении длины ) вектора примем и получим нормированный собственный вектор .

Для аналогичным способом получаем вектор :

.

Получаем систему уравнений и находим координаты собственного вектора:

Примем  , тогда , а . Таким образом получили собственный вектор , . Для нормировки вектора примем и получим нормированный собственный вектор .

Аналогично для  .

.

Получаем систему уравнений и находим координаты собственного вектора:

Примем  , тогда , а . Таким образом получили собственный вектор , . Для нормировки вектора примем и получим нормированный собственный вектор .

Искомое преобразование:

.

А матрица преобразования имеет  вид:

.

Поскольку , , , тогда канонический вид квадратично формы: .

Ответ: , .

 

Задача № 12.

Уравнение поверхности 2-го порядка  привести к каноническому виду, используя  приведение к каноническому виду над  соответствующей квадратичной формы и замену переменных при параллельном переносе координатных осей. Исследовать поверхность методом сечений и построить ее в пространстве . Уравнения поверхностей даны ниже в соответствии с вариантами.

1 вариант:  .

 

Решение.

Приводим заданное уравнение поверхности  к каноническому виду, выделяя полные квадраты:

Произведем параллельный перенос  осей координат. Формулы преобразования координат имеют вид  , , . Тогда уравнение поверхности запишется так:

 или  или или

. Это уравнение определяет эллипсоид; его цент находится в новом начале координат, а полуоси соответственно , , .

 

Методом сечений исследуем форму  этой поверхности. Будем пересекать поверхность плоскостями  , , .

Сечение плоскостью и дает эллипс с большой полуосью и малой полуосью .

Сечение плоскостью дает окружность с радиусом .