Контрольная работа по "Линейная алгебра"

A₂₁ = (-1)²⁺¹× 4  -1  = - (4×5 – (-2)×(-1)) = -18

                      -2  5

A₂₂ = (-1)²⁺²× 1  -1   = 5×1 – (-1)×3 = 8

                      3  5

A₂₃ = (-1)²⁺³× 1  4  = - (1×(-2) – 4×3) = 14

                      3 -2

A₃₁ = (-1)³⁺¹× 4  -1   = 4×4 – (-1)×5 = 21

                       5   4

A₃₂ = (-1)³⁺²× 1  -1   = - (1×4 – (-1)×0) = -4

                       0   4

A₃₃ = (-1)³⁺³× 1  4  = 1×5 – 4×0 = 5

                      0  5

Далее найдем союзную матрицу, транспонируем  ее и подставим в формулу для нахождения обратной матрицы

        33 12  -15 _Т     33  -18  21

Ā =  -18  8   14 =  12    8    -4  = Ā^Т

         21 -4   5        -15  14   5

       33  -18 21      33/96  -18/96  21/96

A^-1 = 1/Δ ×Ā^T = 1/96× 12    8  -4   =  12/96    8/96  -4/96

          -15  14  5       -15/96  14/96   5/96

     33/96  -18/96  21/96  6       33/96×6 – 18/96×(-20) +21/96×(-22)       

X = A^-1 × B = 12/96    8/96   -4/96  × -20 =  12/96×6 + 8/96×(-20) +(-22)×(-22)    =

     -15/96  14/96   5/96 -22    -15/96×6 + 14/96×(-20) +5/96×(-22)

  1

  0

-5

Проверка:

1 + 4 × 0 + 5  = 6

0 + 5×0 + 4×(-5) = -20

3×1 – 2×0 + 5×(-5) = -22

 

Ответ: {X = 1, y = 0, z = -5}

 

Задание 3/2

5x - 5y - 4z = -3

x - y + 5z = 1

4x - 4y - 9z = 0

Запишем систему уравнений в  виде расширенной матрицы:

5 -5 -4   -3

1 -1  5    1

4 -4 -9   0

Вычислим определитель матрицы:

        5 -5  -4

Δ =  1 -1   5   = а₁₁(а₂₂а₃₃ – а₂₃а₃₂) – а₁₂(а₂₁а₃₃ – а₂₃а₃₁) + а₁₃(а₂₁а₃₂ – а₂₂а₃₁) =      

        4 -4  -9

= 5 × ((-1)×(-9) - 5×(-4)) –  (-5)× (1×(-9) - 5×4) + (-4)× (1×(-4) - 4×(-1)) = 0

Определитель равен 0. Система имеет бесконечное множество решений.

То же самое получается по методу обратной матрицы, так как  определитель равен 0 система имеет  бесконечное множество решений.

 

ЗАДАНИЕ 4

 

 

Вычислим определитель, разложив его по элементам третьего столбца:

Δ = а₁₃ × А₁₃ + а₂₃ × А₂₃ + а₃₃ × А₃₃ + а₄₃ × А₄₃ = 3 ×(-1)¹⁺³ × 5  4   5  + 3×(-1)²⁺³×

       1   1  1

       -2 -2 -2

7   6   7 1   1   1  -2 -2 -2

+ 2× (-1)3+3×

7   6  7 5   4  5    -2-2 -2

= 0

 

Подсчитаем определители третьего порядка каждый отдельно:

5   4   5 1   1   1 -2 -2 -2	= 5×(-1)1+1 ×		+ 4×(-1)1+2 ×		+ 5×(-1)1+3×
		1    1 -2  -2		1   1 -2 -2		1    1 -2  -2

= 5×((-2)×1 - 1×(-2)) + 4×(1×(-2) - 1×(-2)) + 5×(1×(-2) – (-2)×1) = 0

7  6  7 1  1  1 -2-2-2	= 7×(-1)1+1 ×		+ 6× (-1)1+2×		+ 7×(-1)1+3 ×
		1    1 -2  -2		1  1   -2-2		1    1 -2  -2

= 7×((-2)×1 - 1×(-2)) – 6×(1×(-2) - 1×(-2)) +7×(1×(-2) – (-2)×1) = 0

7  6  7 5  4  5  -2-2-2	= 7×(-1)1+1 ×		+ 6× (-1)1+2×		+ 7×(-1)1+3 ×
		4   5 -2  -2		5   5   -2-2		5   4 -2 -2

= 7×((-2)×4 - 5×(-2)) -6×(5×(-2) - 5×(-2)) + 7×(5×(-2) – (-2)×4) = 0

Таким образом, определитель четвертого порядка будет равен:

Δ₄ = 3×0 + 3×0 + 2×0 = 0

Ответ: Δ₄ = 0

Задание 5/А

  5х + 2у – 4z = -16

  x + 3z = -6

  2x – 3y + z = 9

 

Запишем систему в виде расширенной матрицы, т.е. составим матрицу из коэффициентов системы и присоединим к ней столбец свободных элементов, для удобства отделенный вертикальной чертой:

5   2  -4   -16

1   0   3   -6

2  -3   1    9

 

Выполняя элементарные преобразования над строками этой расширенной матрицы, приведем ее к треугольному виду. Для этого к элементам первой строки умноженным на (-5) добавим соответствующие элементы второй строки; к элементам второй строки, умноженным на 2  добавим соответствующие элементы третьей строки, умноженным на (-1). К элементам первой строки, умноженным на 3, добавляем элементы второй строки, умноженные на (-2).

5   2  -4   -16       0    2  -19 14       0   2  -19  14        0   0 -67 84

1   0    3   -6  → 1    0     3  -6  → 0   3    5   -21  → 0   3   5  -21

2  -3   1    9         2   -3     1  9      2   -3   1   9     2  -3   1   9

 

 От расширенной матрицы перейдем к системе уравнений, эквивалентной  заданной:

-67z = 84

3y + 5z = -21

2x - 3y + z = 9

 

  Решая первое уравнение системы найдем -67z = 84; z = 84/-67; z = -1,25

Подставляя значение z = -1,25 во второе уравнение системы, получим

3y + 5×(-1,25) = -21; 3y = -21 + 6,25; 3y = -14,75; y = -14,75/3; y = -4,91

Подставим в третье уравнение значения z = -1,25 и y = -4,91, получим

2x - 3×(-4,91) – 1,25 = 9; 2x + 14,73 – 1,25 = 9; 2x + 13,48 = 9; 2x = -4,48;         x = -2,24

 Проверка:

5×(-2,24) + 2×(-4,91) - 4×(-1,25) = -16

-2,24 + 3×(-1,25) = -6

2×(-2,24) - 3×(-4,91) + 1×(-1,25) = 9

Ответ: { x=-2,24, y=-4,91, z=-1,25}

Задание 5/Б

Запишем систему в виде расширенной  матрицы, т.е. составим матрицу из коэффициентов системы и присоединим к ней столбец свободных элементов, для удобства отделенный вертикальной чертой:

1  -2  -3   3

1   3  -5   0

2   1  -8   4

Выполняя элементарные преобразования над строками этой расширенной матрицы, приведем ее к треугольному виду. Для этого из элементов второй и третьей строк вычтем соответствующие элементы первой строки, умноженные на 1, 2 соответственно; элементы второй строки делим на 5; из первой и третьей строк отнимаем вторую строку, умноженные на -2 и 5 соответственно

1  -2   -3   3         1  -2   -3    3       1  -2  -3    3           1   0  -3,8 1,8

1   3   -5   0    → 0   5   -2   -3    → 0  1  -0,4 -0,6  → 0   1 -0,4 -0,6

2   1   -8   4         0   5   -2   -2      0   5   -2   -2        0   0   0    1

 

 От расширенной матрицы перейдем к системе уравнений, эквивалентной  заданной:

x – 3,8z = 1,8

y – 0,4z = -0,6

0 + 0 + 0 = 1

Полученная система несовместна, так как ее первое уравнение не имеет смысла. Следовательно, исходная система также несовместна.

Ответ: система несовместна.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЧАСТЬ 2

 

Составим задачу и решим ее при m=4 и n=3.

Задача. Три отрасли промышленности I, II и III являются производителями и в то же время потребителями некоторой продукции. Их взаимосвязи определяет матрица А коэффициентов прямых затрат и вектором конечной продукции Y:

  

Найти коэффициенты полных затрат; плановые объемы валовой продукции ; величину межотраслевых потоков (т.е. значения ), матрицу косвенных затрат; определить чистую продукцию каждой отрасли. Результаты расчетов оформить в виде таблицы межотраслевого баланса.

 

РЕШЕНИЕ

 

1. Найдем матрицу (Е-А):

=

2. Для определения матрицы полных затрат найдем матрицу обратную К.

Вычислим определитель:

|K| = а₁₁(а₂₂а₃₃ – а₂₃а₃₂) – а₁₂(а₂₁а₃₃ – а₂₃а₃₁) + а₁₃(а₂₁а₃₂ – а₂₂а₃₁)

Так как  , то существует матрица обратная заданной матрице К.

Находим алгебраические дополнения для  элементов матрицы К:

 

Из алгебраических дополнений составляем матрицу и транспонируем ее:

 и  

 

Получаем обратную матрицу (она является матрицей полных затрат):

3. Находим объем производства отраслей (валовая продукция):

Следовательно, плановые объемы валовой  продукции трех отраслей, необходимые  для обеспечения заданного уровня конечной продукции равны: x₁ = 2717,40; x₂ = 2274,40; x₃ = 2642,40.

4. Для составления баланса рассчитываем межотраслевые потоки средств производства.

;	;	;
;	;	;
;	;	.

 

Результаты  вычислений представим в форме межотраслевого баланса.

5. Величина чистой продукции определяется здесь как разница между валовой продукцией отрасли и суммой межотраслевых потоков в каждом столбце.

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли			Конечная продукция	Валовая продукция
	1	2	3
1	543,48	909,76	264,24	1000	2717,40
2	0	682,32	792,72	800	2274,40
3	1086,96	227,44	528,48	800	2642,40
Чистая продукция	1086,96	454,88	1056,96	-	-
Валовая продукция	2717,40	2274,40	2642,40	-	7634,20

 

6. Найдем матрицу косвенных затрат:

=

C =