Контрольная работа по дисциплине "Алгебра и геометрия"

Федеральное агентство связи

 

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики

 

Межрегиональный центр переподготовки специалистов

 

 

 

 

Контрольная работа

 

По дисциплине: Алгебра и геометрия

                                  

 

 

Выполнил: 

Группа:  

Вариант:  III

    

Проверил: ___________________

 

 

 

 

 

Новосибирск, 2012 г

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.

Условие: дана система трех линейных уравнений

4х – 3у + 2z =9;

2x + 5y – 3z = 4;

5x + 6y – 2z = 18.

Решение:

1. Методом Крамера.

Запишем формулы Крамера:         

Где:  - определитель системы;

  – определитель, полученный  из определителя системы заменой  первого столбца на столбец  свободных членов;

  - определитель, полученный  из определителя системы заменой  второго столбца на столбец  свободных членов;

  – определитель, полученный из определителя системы заменой третьего столбца на столбец свободных членов.

Для нахождения определителя данной матрицы используем правило треугольников:

 

 

 

В нашем случае имеем:

=     = 4 ∙ 5 ∙ (-2) + (-3) ∙ (-3) ∙ 5 + 2 ∙ 2 ∙ 6 – 2 ∙ 5 ∙ 5 - (-3) ∙ (-2) ∙ 2 - (-3) ∙ 6 ∙ 4 = -40 + 45 + 24 – 50 – 12 + 72 = 39 ;

  = = 9 ∙ 5 ∙ (-2) + (-3) ∙ (-3) ∙ 18 + 4 ∙ 2 ∙ 6 – 2 ∙ 5 ∙ 18 - 4 ∙ (-3) ∙ (-2)  - 9 ∙ (-3) ∙ 6 =  -90 + 162 + 48 – 180 – 24 + 162 = 78;

= = 4 ∙ 4 ∙ (-2) + 9 ∙ (-3) ∙ 5 + 2 ∙ 2 ∙ 18 – 2 ∙ 4 ∙ 5 - 2 ∙ 9 ∙ (-2)  - 4 ∙ (-3) ∙ 18 = - 32 – 135 + 72 – 40 + 36 + 216 = 117 ;

= = 4 ∙ 5 ∙ 18 + (-3) ∙ 4 ∙ 5 + 2 ∙ 9 ∙ 6 – 9 ∙ 5 ∙ 5 - 2 ∙ (-3) ∙ 18  - 4 ∙ 4 ∙ 6 = 360 – 60 + 108 – 225 + 108 – 96 = 195 ;

Найдем значения неизвестных:

x =    y=  z =

Для проверки подставим найденные значения неизвестных в исходную систему и убедимся в правильности решения:

 

4·2 – 3·3 + 2·5 = 8 – 9 + 10 = 9;

2·2 + 5·3 – 3·5 = 4 + 15 – 15 = 4;

5·2 + 6·3 – 2·5 = 10 + 18 – 10 =18.

 

 

2. Методом Гаусса.

Идея этого метода заключается в том, чтобы систему линейных уравнений преобразовать к системе с треугольной матрицей, из которой затем последовательно (обратным ходом) получаются значения всех неизвестных. Подвергнем систему следующему преобразованию, считая, что х1=0 (ведущий элемент), разделим на х1 коэффициенты первого уравнения. Пользуясь этим уравнением легко исключить неизвестное х1 из остальных уравнений системы. Для этого достаточно из каждого уравнения вычесть уравнение, предварительно умноженное на соответствующий коэффициент и х1. Оставив первое уравнение в покое , над остальными совершим аналогичное преобразование: выберем  из их числа уравнение с ведущим элементом и исключим с его помощью из остальных уравнений неизвестное х2. Процесс нахождения корней методом Гаусса состоит из двух этапов: 1.Исключение неизвестных – прямой ход.                                                2.Нахождение неизвестных – обратный ход.

4х – 3у + 2z =9;     4 -3 2 9

2x + 5y – 3z = 4;       à  2 5 -3 4

5x + 6y – 2z = 18.    5 6 -2 18

Из вышеизложенного следует, что нам нужно первую строку разделить на 4, а для обнуления коэффициента при х во второй строке , умножаем получившиеся числа на 2 и вычитаем вторую строку исходной системы; также обнуляем коэффициент при х в третьей строке: умножаем получившиеся числа на 5 и вычитаем третью строку исходной системы

1       

0     4 

0          

 

И так, теперь необходимо обнулить коэффициент при у в третьей строке, для этого оставляем первые две строки без изменений, а вторую строку умножаем на  и из полученных результатов вычитаем третью строку:

 

1       

0     4 

0 0     

 

из полученного равенства мы находим значение z:

  =     z = 5;

далее значение z подставляем в уравнение с неизвестным значением у:

+ 4·5 =

  =

у = 3

уже известные значения у и z ставим в первое уравнение и находим последнее неизвестное значение х:

х + =

х  + =

х =  = 2

Ответ: x = 2; y = 3; z = 5.

 

 

 

 

 

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды:

 А1( 0; 2; -3),  А2( 2; 0; 1), А3(4; 0; 3), А4(2; 6; 5).

Найти:

1. Длину ребра А1А2;

2. Угол между ребрами А1А2 и А1А4;

3. Площадь грани А1А2А3;

4. Уравнение плоскости А1А2А3;

5. Объём пирамиды А1А2А3А4.

Решение:

1. Длина ребра А1А2  равна расстоянию между точками А1 и А2 или модулю вектора . Расстояние между точками  М1(x1;y1;z1) и М2(x2;y2;z2) вычисляется по формуле

  .

 Подставляя в эту  формулу исходные данные, получим 

;

2. Угол между ребрами А1А2 и А1А4 будем искать, используя формулы векторной алгебры:

 В нашем случае  - ;

Чтобы найти координаты вектора, из координат конца вектора следует вычесть координаты начала вектора.

Таким образом:

    ,

,

,

 

3. Площадь грани А1А2А3 можно найти, используя свойства скалярного произведения: площадь параллелограмма, построенного на векторах  и   численно равна модулю их векторного произведения. В нашем случае ,

, 

 

Из этого следует, что 

4. Уравнение плоскости А1А2А3 будем искать как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки А1,А2 и А3.

5. Объем пирамиды  А1А2А3А4 найдем, используя формулу

,

где

 

 

Ответ:

1. Длина ребра А1А2  равна ;

2. Угол между ребрами А1А2 и А1А4 ;

3. Площадь грани А1А2А3  ;

4. Общий вид уравнение плоскости А1А2А3:  ;

5. Объем пирамиды  А1А2А3А4 =4 куб.ед.

 

 

 

Список использованной литературы:

1. Конспект лекций.

2. http://www.exponenta.ru

3. http://www.geometr.info