Контрольная работа по аналитиеской геометрии

Решение.

Запишем матрицу квадратичной формы

Найдём  канонический базис квадратичной формы – собственный базис матрицы A и приведём её к диагональному виду:

Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни:

Можно записать канонический вид квадратичной формы:

.

Квадратичная форма имеет канонический вид; числа 1, — канонические коэффициенты квадратичной формы, положительный индекс инерции квадратичной формы равен 2, отрицательный индекс инерции квадратичной формы равен 1, сигнатура квадратичной формы равна 2 − 1 = 1, ранг квадратичной формы равен 3.

Найдем преобразования, приводящие квадратичную форму к каноническому виду.

Для этого найдем собственные векторы матрицы квадратичной формы, отвечающие вычисленным собственным значениям:

Получили первый собственный вектор .

Получили второй собственный вектор: .

 

Получили третий собственный вектор: .

 

Базис и есть искомый ортонормированный базис, в котором данное уравнение принимает канонический вид.

Запишем матрицу перехода к собственному ортонормированному базису:

.

Тогда поскольку , то

Задача 4.3.

Исследовать кривую второго порядка и построить ее.

 

4xy+4x-4y=0          (1)

 

Решение.

 

1. Установим,  является ли заданная линия центральной.

Общее уравнение линии второго порядка записывается в виде:

  (2)

Для заданной линии второго порядка A=0, B=2, C=0, D=2, E=-2, F=0.

Найдем дискриминант старших членов уравнения :

, следовательно, заданная линия является центральной. Так как δ<0 –мы имеем гиперболический тип линии.

  2. Найдем координаты центра линии по формулам

Координаты центра S(1, -1).

3. Приведем уравнение линии второго порядка к каноническому виду.

  Перенесем начало координат в центр S(1, -1) и преобразуем координаты по формулам:

 (3)

Тогда   уравнение линии примет вид

Дальнейшее упрощение уравнения (4) достигается при помощи преобразования координат

  (5)

соответствующего повороту осей на угол α..

Угол α выбирается так, что

Подставим в формулу (5), получим:

 (6)

Подставим формулы (6) в уравнение (4):

В новой системе координат уравнение принимает вид

- это уравнение является  каноническим уравнением гиперболы.

Полученная гипербола является равносторонней, так как ее полуоси равны . Ее центр находится в точке S, действительная полуось равна , мнимая полуось равна . Построение: а) чертим систему координат Оху;

б) строим новый центр координат S(1, -1);

в) выполняем параллельный перенос осей координат, получаем новую систему координат ;

г) выполняем поворот осей на угол и получаем новую систему координат ;

д) строим основной прямоугольник с полуосями и асимптоты;

е) строим ветви гиперболы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

График гиперболы

.