Элементы теории множеств

Если ни для каких  х и у не выполняются одновременно х R у и уR х, то отношение R называется асимметричным. Объединение асимметричности с отношением тождества называют антисимметричным. То есть отношение R называется антисимметричным, если оно рефлексивно и из х R у и у R х следует, что х = у. Примеры антисимметричного отношения: “не больше”, “не меньше”, “не выше”, “не умнее” и т.д.

 Отношение равенства  (например, равенства чисел) обладает  еще одним важным свойством:  если число х=у, а у=z , то х=z .Такое свойство называется транзитивностью. То есть отношение R в множестве Х называется транзитивным, если из х R у и у R z вытекает х R z. Так, транзитивным является отношение “быть родственником”, меньше и т.д.

А вот, скажем, отношение  “любить” транзитивньим не является. Если Петя любит Машу, а Маша любит Колю, то Петя Колю любить, мягко говоря, не обязан. Если в множестве Х, в общем случае, из х R у и у R z не следует х R z, то отношение R называется антитранзитивным. 

Отношение эквивалентности.

Понятие эквивалентности  является расширением понятия тождества, взаимозаменяемости и т.д.

Отношением  эквивалентности в множестве Х называется любое рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение R. Например, отношение “жить в одном доме” является эквивалентностью в множестве людей, а отношение “жить на одной улице” эквивалентностью не является. Дело в том, что человек у может жить в угловом доме на пересечении двух улиц, а х и z — на этих улицах. Тогда х и у живут на одной улице, равно как у и z живут на одной улице, а х и z на разных улицах.

Отношение толерантности.

Понятие толерантности  является расширением понятия сходства, неразличимости.

Отношение R в множестве Х называется отношением толерантности, если оно рефлексивно и симметрично. Эквивалентность частный случай толерантности.

Например, каждый человек неразличим сам с собой (рефлективность), а сходство двух людей не зависит от того, в каком порядке они сравниваются (симметричность). В тоже время, если один человек сходен с другим, а другой с третьим то это вовсе не означает, что все они обязательно схожи между собой (т.е. может не выполняться транзитивность).     

Отношение порядка.

Отношение R в множестве Х называется отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно, транзитивно и ассиметрично (выше, тяжелее,). Свойство антирефлексивности означает что элемент не может сравниваться сам с собой.

Выводы:

• множеством называется такой класс (совокупность) каких-либо объектов, обладающих одним и тем же признаком, что объекты, не входящие в этот класс, таковым признаком не обладают;
• часть множества называется подмножеством;
• различают следующие виды множеств: пустое, конечное, бесконечное, счетное, универсальное;
• над  элементами множеств выполняют следующие операции: объединение, пересечение, разность;
• для наглядного изображения операций над множествами какого-либо универсума U используют круги Эйлера, которые часто называются также диаграммами Венна;
• соответствием R между множествами Х и У называется подмножество R декартова произведения Х У: обозначается R Х У;
• соответствия бывают следующих видов – биективным, обратимыми, инъективным, функциональным соответствием, сюръективно
• соответствия, для которых области отправления и прибытия совпадают - называются отношениями;
• отношения обладают следующими свойствами: рефлексивности, симметричности, асимметричности, антисимметричности, транзитивности;
• бывают отношения эквивалентности, толерантности, порядка.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Основная:

1. Козлов В.П., Ганичев А.В. Математика для психологов. - М., 2003, - Базовый учебник.
2. Козлов В.П. Математика для юристов. – Киров,1998.
3. Козлов В.П., Сафро В.М. Сборник задач для студентов гуманитарных специальностей. – М., 2002.
4. Щипачев В. С. Высшая математика. – М., 1998.

Дополнительная:

1. Верещагин Н.К., Шень А. Начала теории множеств. – М., 1999.
2. Гресс П.В., Математика для гуманитариев. - М.: Логос, 2006.
3. Данко П.Е., Высшая математика в упражнениях и задачах - М., 2002.
4. Кричевец А.Н., Математика для психологов. - М., 2006.