Элементарная алгебра

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГБОУ ВПО «Оренбургский государственный педагогический университет»

 

Факультет Дошкольного и

 Начального Образования

 

Кафедра Педагогики и

Методики Дошкольного Образования

 

 

Доклад

Спецкурс по элементарной математики

Тема: «Элементарная алгебра»

Направление подготовки 052100.62 – ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

 

 

Выполнили: студентки 2 курса

                                                Бунина А.Н

                                                                                     Панина О.А.

                                                    Ряховских С.С

                                                  Иванова О.В.

                                                       Кензенязова А.Г.

 

Проверил: к.п.н., доцент

                                                                              Кудинова Марина Игнатьевна

 

 

 

 

Оренбург 2014

 

Содержание:

1. Исторический очерк
2. Основные понятия
3. Законы элементарной алгебры
1. Вычисление значения выражения
2. Свойства операций
3. Свойства равенства и другие законы
4. Некоторые алгебраические тождества
5. Решение уравнений
4. Список использованной литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Исторический очерк

История возникновения алгебры уходит своими корнями в глубокую древность. Очевидно, ее появление было вызвано и непосредственно связано с первыми астрономическими и другими расчетами, так или иначе использующими натуральные числа и арифметические операции. История возникновения алгебры подтверждается подобными оригинальными записями, найденными среди образцов письменности самых ранних цивилизаций. К примеру, египтяне и вавилоняне уже умели решать простейшие уравнения первой и второй степеней, квадратные уравнения. Но их вычисления носили строго практический характер. История возникновения алгебры, как теоретической науки, приводит нас в античную Грецию. Именно здесь в IV веке появилось первое сочинение, которое являлось непосредственным исследованием абстрактных алгебраических вопросов. Это был трактат мыслителя Диофанта. Здесь уже четко обозначены простейшие алгебраические аксиомы: правила знаков (минус на минус – плюс, и так далее), примеры достаточно сложных задач, исследование числовых степеней, решения вопросов, связанных с теорией чисел и так далее. К сожалению, это единственный труд, который дошел до нас из седых древних времен, да и то не в полном объеме.

Арабская математика

 

С крушением античной цивилизации под натиском варварских народов теряются и многие ее достижения. В том числе и история алгебры прерывает свое развитие у европейских народов на целое тысячелетие. С VII века центром множества наук, а математики и медицины особенно, становится мусульманский Восток. Собственно, само слово «алгебра», как считается сегодня, происходит от названия трактата арабского ученого Ал-Хорезми «Аль-джабо-аль-мукабалла», что переводилось, как «учение об отношениях, перестановках и решениях». Интересно, что от самого имени этого математика некоторые ученые выводят этимологию слова «алгоритм». Как бы то ни было, но именно арабский мир на долгие столетия становится светочем науки. Вместе с тем восточные последователи, очевидно, опирались на некоторые греческие достижения. Во всяком случае, точно известно, что им были известны труды античных математиков. С одной стороны, мусульманам действительно принадлежит заслуга сохранения для мира античного алгебраического наследия, но вместе с тем, за несколько столетий они так и не внесли в развитие этой науки новых существенных открытий. Математика изучалась, но не совершенствовалась.

 

Математика и другие цивилизации. Интересно, что история возникновения алгебры вовсе не ограничивается Европой и имеющей с ней связь арабской цивилизацией. Так, существенных результатов в этой науке достигли индийские математики. В частности, именно они ввели понятие «нуля», которое позже

 

через арабский мир пришло в Европу и стало использоваться учеными. Китайцы совершенно независимо, еще на заре нашей эры, научились решать уравнения первой степени. Им были известны иррациональные и отрицательные числа. Европа возвращает лидерство. Прерванная история развития алгебры вновь начинает свой отсчет уже в Новое время. Первым сочинением после трактата Диофанта считается труд купца из Италии Леонардо, который познакомился с арифметикой и алгеброй, путешествуя по востоку. Постепенное разложение феодализма, а вместе с ним церковной схоластики и догматики, неторопливая поступь капитализма и стремление к территориальным открытиям привели к возрождению все научные отрасли на континенте. И уже спустя пару столетий Европа вновь становится передовым в научном и техническом плане регионом. Идея записывать общие свойства чисел и вычислительные алгоритмы на особом символическом метаязыке появилась давно, однако первоначально буквенные символы в уравнениях обозначали только неизвестные, значения которых следует найти, а для прочих членов уравнения записывали конкретные числовые значения. Мысль о том, что известные величины (коэффициенты) тоже полезно для общности обозначать символами, пробивала себе путь медленно.

Впервые, насколько можно судить по дошедшим до нас древним сочинениям, развитая алгебраическая система появляется в «Арифметике» Диофанта (IV век). Вряд ли можно сомневаться, что у него были предшественники, как они имелись у Евклида, Архимеда и других, однако мы ничего не знаем ни о людях, ни о трудах, на которые мог опираться этот замечательный алгебраист. Да и последователей у него не было до XV века. Впрочем, в Европе с переводом «Арифметики» познакомились только в XVI веке, и методы Диофанта оказали огромное влияние на Виета и Ферма.

Основная проблематика «Арифметики» — нахождение рациональных решений неопределённых уравнений (многочленов произвольной степени) с рациональными коэффициентами. У Диофанта используется буквенная символика, правда, по-прежнему только для неизвестных. Во введении к

 

 

«Арифметике» Диофант принимает следующие обозначения: неизвестную он называет «числом» и обозначает буквой ξ, квадрат неизвестной — символом δν и т. д. Особые символы обозначали отрицательные степени, знак равенства и даже, похоже, отрицательные числа (есть даже правило знаков: минус на минус даёт плюс). Всё прочее выражается словесно. Сформулированы многие привычные нам правила алгебры: смена знака при переносе в другую часть уравнения, сокращение общих членов и др.

Индийские математики средневековья тоже далеко продвинулись в алгебре; их символика богаче, чем у Диофанта, хотя несколько громоздка (засорена словами).

В Европе, в книгах «Арифметика» и «О данных числах» Иордана Неморария (XIII век) усматриваются зачатки символической алгебры, до поры до времени не отделившейся от геометрии. У него, а также у Фибоначчи уже встречаются выражения вроде "a лошадей за f дней съедают e мер овса". Однако в общую концепцию изложения символизм у них ещё не включён.

Крупнейший алгебраист XV века Лука Пачоли вводит свой аналог алгебраической символики, ещё не слишком общий и не слишком удобный.

Концептуальную реформу и коренные улучшения алгебраического языка ввёл в конце XVI века Франсуа Виет, адвокат по профессии, математик по склонности души. Он чётко представлял себе конечную цель — разработку «нового исчисления», своего рода обобщённой арифметики. Виет обозначал буквами все коэффициенты (кстати, именно Виет придумал этот термин). Все задачи решаются в общем виде, и только потом приводится числовые примеры. Виет свободно применяет алгебраические преобразования, замену переменных и другие алгебраические приёмы.

Система Виета вызвала всеобщее восхищение. Она позволила описать законы арифметики и алгоритмы с немыслимыми ранее общностью и компактностью, облегчила и углубила исследование общих числовых законов. Однако символика Виета была непохожа на современную, местами громоздка, и учёные разных стран приступили к её совершенствованию.

 

Англичанин Томас Хэрриот в своём посмертно изданном (1631) труде уже очень близок к современной символике: он обозначает переменные строчными буквами, а не заглавными, как у Виета, использует знак равенства, а также придуманные им символы сравнения «>» и «<».

Практически современный вид алгебраической символике придал Рене Декарт (середина XVII века, трактат «Геометрия»). Итогом и завершением этого процесса стала «Универсальная арифметика» Ньютона. Некоторые оставшиеся тонкости уточнил Эйлер. Происхождение термина «алгебра»

 Происхождение самого  слова «алгебра» не вполне  выяснено. По мнению большинства исследователей этого вопроса, слово «алгебра» произошло от названия труда арабского математика Ал-Хорезми (от самого имени которого согласно большинству исследователей происходит популярное слово «алгоритм») «Аль-джабр-аль-мукабалла», то есть «учение о перестановках, отношениях и решениях», но некоторые авторы производят слово «алгебра» от имени математика Гебера, однако само существование такого математика подвержено сомнению.

Алгебра в разных странах:

Вавилон. Истоки алгебры восходят к глубокой древности. Уже около 4000 лет назад вавилонские учёные владели решением квадратного уравнения и решали системы двух уравнений, из которых одно — второй степени. С помощью таких уравнений решались разнообразные задачи землемерия, строительного искусства и военного дела. Буквенные обозначения, применяемые нами в алгебре, не употреблялись вавилонянами; уравнения записывались в словесной форме.

Греция. Первые сокращённые обозначения для неизвестных величин встречаются у древнегреческого математика Диофанта (2—3 века нашей эры). Первое дошедшее до нас сочинение, содержащее исследование алгебраических вопросов, есть трактат Диофанта. В этом трактате мы встречаем, например, правило знаков (минус на минус дает плюс), исследование степеней чисел, и решение множества неопределенных вопросов, которые в настоящее время

 

относятся к теории чисел. Из 13 книг, составлявших полное сочинение Диофанта, до нас дошло только 6, в которых решаются уже довольно трудные алгебраические задачи. Нам неизвестно о каких бы то ни было иных сочинениях об алгебре в древности, кроме утерянного сочинения знаменитой дочери Теона, Гипатии.

 Отметим ещё, что греческие  математики умели находить приближённые  значения корней, но в алгебре  старались избегать иррациональностей.

Китай. За 2000 лет до нашего времени китайские учёные решали уравнения первой степени и их системы, а также квадратные уравнения. Им были знакомы отрицательные и иррациональные числа. Так как в китайском письме каждый знак изображает некоторое понятие, то в китайской алгебре не могло быть сокращённых обозначений.

 В последующие эпохи  китайская математика обогатилась  новыми достижениями. Так, в конце 13 века китайцы знали закон  образования биноминальных коэффициентов, известный под именем “треугольника  Паскаля”. В Западной Европе этот  закон был открыт на 250 лет позднее.

Индия. Индийские учёные широко применяли сокращённые обозначения неизвестных величин и их степеней. Эти обозначения являются начальными буквами соответствующих. Индийские авторы широко употребляли иррациональные и отрицательные числа. Вместе с отрицательными числами в числовую семью вошёл нуль, который прежде означал отсутствие числа.

Страны арабского языка. Узбекистан. Таджикистан. Основоположником алгебры, как особой науки, нужно считать узбекского учёного Мухаммеда из Хорезма, известного под арабским прозвищем аль-Хваризми. Его алгебраический труд, составленный в 9 веке нашей эры, носит название “Книга восстановления и противопоставления”. “Восстановлением” Мухаммед называет перенос вычитаемого из одной части уравнения в другую, где оно становится слагаемым; “противопоставлением” — собирание неизвестных в одну сторону уравнения, а известных — в другую сторону. По-арабски “восстановление” называется “ал-джебр”. Отсюда название “алгебра”.

 

 Ни он, ни другие  математики, писавшие по-арабски, не  употребляли никаких сокращённых  обозначений. Они не признавали  и отрицательных чисел: учение  об отрицательных числах, знакомое  им из индийских источников, они  считали плохо обоснованным.

 Узбекские, таджикские, персидские  и арабские математики обогатили  алгебру рядом новых достижений. Для уравнений высших степеней  они умели находить приближённые  значения корней с очень большой  точностью. Так, знаменитый узбекский философ, астроном и математик аль-Бируни (973—1048), родом тоже из Хорезма, свёл задачу о вычислении стороны правильного 9-угольника, вписанного в данную окружность, к кубическому уравнению х = 1 + 3x и нашёл (в 60-ричных дробях) приближённое значение х = 1,52’45‘’47‘’’13‘’’’, то есть одна целая, 52 шестидесятых, 45 три тысячи шестисотых и так далее (с точностью до 1/60^4; в десятичных дробях это даёт семь верных десятичных знаков).

Средневековая Европа. В 12 веке “Алгебра” аль-Хваризми стала известна в Европе и была переведена на латинский язык. С этого времени начинается развитие алгебры в европейских странах. Появляются сокращённые обозначения неизвестных, решается ряд новых задач, связанных с потребностями торговли. Но существенного сдвига не было до 16 века. В первой трети 16 века итальянцы дель-Ферро и Тарталья нашли правила для решения кубических уравнений вида х = px + q; x + px = q; x + q = px, а Кардано в 1545 году показал, что всякое кубическое уравнение сводится к одному из этих трёх.