Использование графиков функции для создания рисунков в компьютерных программах

 Отдел образования Жлобинского райисполкома

Государственное учреждение образования

«Средняя школа №5 г. Жлобина»

 

 

 

 

 

 Научно - практическая работа

Использование графиков функции для создания контуров рисунка в компьютерных программах

                                                                          

                                                                            Выполнила: Савенко Анна,

                                         ученица 10 класса,

                                           СШ №5 г. Жлобина

                                                    Научный руководитель:

                                              учитель  математики 

                                           высшей категории

                              Е.А.Мороз                                                   

 

 

 

                                         2011-2012

Оглавление

 

1. Введение  - стр. 3-4
2. Цель работы и необходимые знания, умения и навыки

      для осуществления работы – стр. 5

3. Примеры элементарных функций – стр. 6-8
4. Симметрия в графиках элементарных функций – стр. 9-12
5. Сложение графиков функций – стр.13-14
6. Построение графиков функции и создание рисунков с помощью компьютерных программ – стр. 15-17

• Программа для построения графиков : Система «Компас- График»
• Компьютерная программа для создания рисунков

          Advanced Grapher 2.2

7. Рисунки, созданные с помощью кусочно заданных графиков – стр.18-23
8. Заключение – стр. 24
9. Список литературы – стр. 25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                 Введение

                                « Есть в математике нечто, вызывающее

                                   человеческий восторг »

                                                                             Ф. Хаусдорф

Математика – царица всех наук, символ мудрости. Красота математики среди наук недосягаема, а красота является одним из связующих звеньев науки и искусства.  Это не только стройная система законов, теорем и задач, но и уникальное средство познания красоты.

Конечно же, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул. Но, изучая математику мы открываем всё новые и новые слагаемые прекрасного, приближаясь к пониманию, а в дальнейшем и к созданию красоты и гармонии. Красота является самым крепким связующим звеном между наукой и искусством!

Очень важно найти  математические закономерности в прекрасном - «законы красоты». Попытки хотя бы приблизиться к ним предпринимались  с древнейших времён: это и математические законы Пифагора в музыке, и геометрическая модель Вселенной Кеплера, это и система пропорций в скульптуре и архитектуре, и геометрические законы живописи. И сегодня энтузиазм исследователей не убывает.

          В этой работе выполнен математический анализ рисунков с помощью графиков функций , при этом использовалась компьютерная программа.

 Математический анализ включает в себя большое количество математических направлений. Примером является очень распространенный во всех областях наук функциональный анализ. Знание основ функционального анализа в 21 веке для математика — вопрос элементарной грамотности.

А формирование графических умений имеет важнейшее значение в функциональной грамотности. График - это средство наглядности, средство осмысливания  рассматриваемых фактов. Уметь «читать график», понимать природу его происхождения,  построение изображения – это важные умения для учеников, которые, несомненно, пригодятся в дальнейшем, в том числе, в решении заданий централизованного тестирования.

 Когда я работала над этой  темой, я занималась не только  повторением и изучением  функций и их графиков, я занималась творчеством. Для меня стало открытием, что на некоторые рисунки можно посмотреть сквозь «призму математики».  Зная теорию функций, я создаю с помощью специальной компьютерной программы образ, пробую, творю и получаю рисунок.

        Можно ли рассматривать в изобразительном искусстве некоторые рисунки, как функциональную зависимость на плоскости? Теперь я знаю, можно. Я пробовала и добивалась успеха.

        Данная работа  помогла мне осуществить взаимосвязь  трёх предметов: математики, информатики и изобразительного искусства. Я поняла, что жизнь многогранна в её проявлениях и все знания, получаемые нами, учениками, в школе, бесценны и полезны.

                    В природе существует много такого,

                    что не может быть ни достаточно глубоко понято,

                    ни достаточно убедительно доказано,

                    ни достаточно умело и надёжно  использовано

                    на практике без помощи вмешательства  математики.

                                                                                                Ф.Бэкон

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

              Цель работы и необходимые знания,

      умения  и навыки для осуществления работы

 

Метод исследования – функционально-графический анализ

 

Объект исследования – графический рисунок

 

          Цель работы:  доказать, что возможно использование графиков функции       для создания контуров рисунка, математически обосновать функционально-графическую линию простого рисунка,  показать взаимосвязь математики, информатики и изобразительного искусства.

 

 

Необходимая база знаний , умений и навыков:

• знание графиков элементарных функций, умение их представить графически;
• умение преобразовать графики;
• умение построить кусочно заданные функции, находя их точки пересечения;
• умение аналитически представить функции;
• пользовательский навык работы с компьютером;
• компьютерная грамотность для работы с программой  и представления рисунков в электронном виде.

 

 

 

 

 

 

   Примеры графиков элементарных функций

1) Квадратичная функция.                            2) Функция, содержащая корень.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

              

  

 

 

3) Линейная функция                                   

 

 

4) Показательная функция                   5) Логарифмическая функция

 

С этими функциями я встречусь  в 11 классе, но для этой работы я изучила  свойства показательной и логарифмической  функций и их графики.

 

6) Функция с модулем                             7) Обратная пропорциональность

      

 

8) Тригонометрические функции

      

 

9) Обратные тригонометрические  функции

                                                             

 

 

     

                                                          

         

 

 

          Симметрия в графиках элементарных функций

         Слово « симметрия » в переводе с греческого означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей ».  Симметрия принадлежит к числу широко и повсеместно распространённых  явлений. Её всеобщность служит эффективным инструментом познания природы. Симметрия в природе – следствие необходимости сохранять устойчивость. Симметрия лежит в основе законов сохранения. Можно сказать, что симметрия – это проявление стремления материи к надёжности и прочности.

В мире многие предметы обладают симметрией. Значит, для описания их контуров нужны симметричные графики, то есть четные и нечетные функции. Такая симметрия возможна для любых видов элементарных функций. Если функция зависит от , то её график симметричен относительно оси Оу.

             

                                                                

 

 

 

 

 

 

 

   А график функции симметричен относительно оси Ох.

    

                                                                                                           

Сложные контуры линий можно получить построением графиков функций вида

     

 

 

 

 

Рассмотрим пример.  Построить график функции 

Так как   , то данная функция имеет вид .

1. Строим график функции   для . Графиком функции является парабола, вершина которой , где х1;х2 – нули функции .

    

Трёхчлен имеет 2 различных корня:

           

 При х=0, у=-2.

Ветви параболы направлены вверх.

2. Левую часть графика достраиваем симметрично построенной правой относительно оси ординат. 

                                    

График построен.

 

    

                                                                           

Графики неявно заданных функций или  уравнений

         

                                                                   

                  

                                                                 

                                  Сложение графиков функций

            На основании изученного материала, я пришла к выводу, что общий метод построения графиков суммы двух функций заключается в том, что предварительно строят два графика для обеих функций, а затем складывают ординаты этих кривых при одних и тех же значениях х (удобно - в характерных точках). По полученным точкам строят искомый график и выполняют проверку в нескольких контрольных точках.

 Если надо построить график суммы двух функций, то строят вначале график одной, более простой, функции, затем к нему пристраивают график второй функции, ординаты которого откладывают от соответствующих точек первого графика.

Рассмотрим пример . Построить  график функции 

Строим графики функций-слагаемых     и   у = х.  Затем складываем ординаты кривых при одинаковых значениях х.  Возьмем значения х = , 1, 2, 3,….Складывая ординаты обоих графиков для каждого из этих значений х, получаем точки А, В, С, D. Соединив их плавной линией, получим одну ветвь графика функции (при х > 0). Заметив, что функция нечетная и график ее симметричен относительно начала координат, строим вторую ветвь графика заданной функции (при х<0). Для исследования вопроса о наличии  асимптот графика функции , мы обратили внимание на то, что выражение   и     задают одну и ту же функцию. Значит, чтобы построить график функции , мы можем построить график функции , а они представляют собой сумму двух функций   и .

Чтобы построить график функции  надо сложить соответственные ординаты графиков  и .

 

х	1	2	3	4	0,5	0,2	-0,2	-0,5	-4	-3	-2	-1
р(х)=х	1	2	3	4	0,5	0,2	-0,2	-0,5	-4	-3	-2	-1
q(x)=	1	0,5	0,3	0,25	2	5	-5	-2	-0,25	-0,3	-0,5	-1
	2	2,5	3,3	4,25	2,5	5,2	-5,2	-2,5	-4,25	-3,3	-2,5	-2

 

График функции построен (выделен жирной линией).

 

       Таким образом, перенося полученные теоретические знания о функциях и умения строить графики на свою тему работы, я пришла к выводу, что для построения непрерывных линий рисунка необходимо найти точки пересечения функций, то есть составить кусочно заданную функцию на интервалах.

 

 

 

                          ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ И                  

                                        СОЗДАНИЕ РИСУНКОВ

                            с помощью компьютерных программ

1. Система КОМПАС-График

         Есть несколько специальных компьютерных  программ для построения графиков  функции. Например, с помощью системы КОМПАС-График, как составляющей КОМПАС – 3D V11 можно построить всевозможные графики функций. Для этого система в разделе «Прочие менеджера библиотек» имеет приложение «Библиотека FTDraw», которая позволяет выполнять такие