Использование дифферинциальных уравнений в военной технике

Содержание:

Введение ………………………………………………………………………………..2

1. Определение дифференциального уравнения (ДУ) …………………………..3

1.1 Существование решения  дифференциального уравнения первого  порядка ….6

1.2 Дифференциальное уравнение  первого порядка с разделяющимися  переменными …………………………………………………………………………10

1.3 Однородное дифференциальное  уравнение первого порядка …………………12

1.4 Линейные дифференциальные  уравнения первого порядка …………………..14

1.5 Уравнение Бернулли  ……………………………………………………………..14

2. Формализация  проблемной ситуации в разработке  автопилота. ……………….15

Заключение ……………………………………………………………………………20

Список использованной литературы ………………………………………………..21

 

 

 

Введение.

Начало использования математических знаний в военном деле относится к глубокой древности. Известно, что в Древнем Вавилоне арифметические сведения употреблялись при подсчете необходимых запасов для армии, геометрия же использовалась при строительстве укреплений и подсчете объема необходимых земельных работ.

А создание математического анализа – дифференциального и интегрального исчислений – в значительной мере было связано с задачами, выдвинутыми артиллерией, и что позднее, в свою очередь, развитие новой математики оказывало огромное влияние на прогресс самой артиллерии. Во все времена считалось, что артиллерийский офицер одновременно является хорошим знатоком математики. Многочисленные задачи в военном деле и военной науки сводятся к математическому моделированию процессов в виде формулы, т.е. в виде функциональной зависимости. Так, например, переходные процессы в радиотехнике, артиллерии, авиации, движение космических объектов, исследуются с помощью дифференциальных уравнений.

 Всё это и явилось  главной причиной выбора темы  работы.

 Материалом для данной  работы послужила теория дифференциальных  уравнений и наиболее известные  задачи естествознания, решаемые  с помощью дифференциальных уравнений.

 Целью настоящей работы  является рассмотрение возможности  применения

 дифференциальных уравнений  для решения задач, которые необходимы  в военном деле, а конкретно  в данной курсовой работе формализации проблемной ситуации в разработке автопилота.

Достижение предполагаемой цели связано с решением частных задач :

1. Описать теоретические  основы дифференциальных уравнений;

2. Формализация проблемной ситуации в разработке автопилота (Использование дифференциальных  уравнений в авиации)

 Концепция работы строится  на основе имеющихся по проблеме  исследований теории дифференциальных  уравнений И. А. Зайцева, Н. Я.

 Виленкина, И. И. Баврина и др.

1. Определение  дифференциального уравнения (ДУ)

Уравнение, связывающее функцию y, ее аргумент x и ее производные, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Обыкновенное дифференциальное уравнение символически можно записать в виде

 или  .                         (1)

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Например:

А) является дифференциальным уравнением 1-го порядка;

Б) является дифференциальным уравнением 2-го порядка;

В) является дифференциальным уравнением n-го порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y=f(x), которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество.[1, стр. 71-75]

Например, пусть дано дифференциальной уравнение .

Тогда любая функция вида y=c1sinx+c2cosx, где c1, c2 – произвольные постоянные, является решением этого уравнения.

Действительно, дифференцируя уравнение y=c1sinx+c2cosx дважды по x получаем

. Подставляя выражения для и y в левую часть исходного дифференциального уравнения получаем .

Процесс решения дифференциального уравнения называют интегрированием. Поэтому само решение называют еще интегралом уравнения.

Как правило, дифференциальному уравнению отвечает множество решений (смотрите вышеприведенный пример), задаваемых семейством функций y=f(x,c) в явном виде или Ф(x,y,c)=0 в неявном виде. В этих уравнениях с-параметр семейства. Таких параметров, вообще говоря, может быть несколько.

В общем случае обыкновенному дифференциальному уравнению n-го порядка

 отвечает семейство решений, содержащих n параметров.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция y=f(x, c1, c2, …, cn), зависящая от аргумента x и n произвольных постоянных c1, c2, …, cn, которая будучи подставлена в уравнение обращает его в тождество.

Отметим, что эта функция может задаваться и неявным образом, тогда она представляется уравнением Ф(x , y,c1, c2, …, cn)=0.

Общее решение дифференциального уравнения называется также общим интегралом.

Чтобы из общего уравнения выделить некоторое конкретное частное решение дифференциального уравнения, необходимо задать значения для параметров c1, c2 , …, cn. Обычно значения этих произвольных постоянных c1, c2 , …, cn определяются заданием начальных условий: y(x0)=y0, . Эти начальные условия дают соответственно n уравнений

,

,

,

,

 

решая которые относительно c1, c2 , …, cn находят значения этих постоянных.

Например, для дифференциального уравнения 1-го порядка общее решение имеет вид y=f(x,c). Тогда начальное условие y(x0)=y0 выделяет из всего семейства интегральных кривых кривую, проходящую через точку M(x0,y0).[2, стр 701-703]

Геометрическая интерпретация.

Геометрическое представление решения дифференциального уравнения рассмотрим на примере уравнения 1-го порядка вида .

В плоскости введем декартову систему координат с осями x и y. Каждой точке M(x,y) плоскости поставим в соответствие вектор , отложенный от точки M.

Таким образом дифференциальное уравнение порождает в плоскости XOY поле направлений (естественно, указанное поле существует только в области определения функции f(x,y)). Тогда решением дифференциального уравнения будет такая кривая, которая в каждой точке касается вектора поля направляющей.

Действительно, пусть y=h(x) уравнение указанной выше кривой. Тогда в каждой точке кривой касательная к ней имеет направление , где a - угол наклона касательной к оси x. Из (условие касания кривой с вектором ) и равенства абсцисс векторов и вытекает тождество , выполняющееся в точках кривой y=h(x). Последнее означает, что y=h(x) является решением уравнения .

И обратно, если y=h(x) решение дифференциального уравнения , то . Последнее соотношение означает, в каждой точке кривой y=h(x) направление ее касательной совпадает с вектором поля направлений, т.е. в каждой точке кривая y=h(x) касается вектора поля направлений.

В качестве иллюстрации возьмем уравнение .

Для построения поля направлений удобно использовать метод изоклин. Изоклина это линия в каждой точке которой вектор поля направлений одинаков. Таким образом, изоклины даются уравнением f(x,y)=l, и каждой точке изоклины соответствует вектор .

Для рассматриваемого дифференциального уравнения изоклины задаются уравнением или y=-lx.Как видно, изоклинами являются прямые, проходящие через точку начала координат. На рис. 2 изображены изоклины отвечающие значениям , черточками изображены направления векторов в таких изоклин. Из рис. 2 видно, что интегральные кривые уравнения напоминают гиперболы. Действительно, как будет показано ниже, общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения имеет вид yx=c, т.е. задает семейство гипербол. Параметрам c>0 отвечают гиперболы I и III координатных узлов, значениям c<0 отвечают гиперболы II и IV координатных узлов. [3, стр 57-67]

 

 

1.1 Существование  решения дифференциального уравнения  первого порядка

Задано дифференциальное уравнение вида

или, иначе, .

Пусть y=y(x) – решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0. Тогда из следует, что f(x,y(x)) – производная функции y(x) и, следовательно, y(x) – первообразная для f(x,y(x)). Если F(x) – некоторая другая первообразная для f(x,y(x)), то , как известно, y(x)=F(x)+c0. Из y(x0)=y0, y(x0)=F(x0)+c0 получаем c0=y0-F(x0), т.е. y(x)=F(x)-F(x0)+y0.

Семейство всех первообразных для f(x,y(x)) представляется неопределенным интегралом . Тогда разность F(x)-F(x0) равна значению определенного интеграла , следовательно, получаем

,

т.е. y(x) является решением интегрального уравнения

Задача поиска решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию y(x0)=y0, получила в литературе название задачи Коши.

Первое доказательство существования и единственности решения дифференциального уравнения было получено в 1820-1830 г.г. и связано с именем Коши (1789-1857).

Теорема. Пусть задано уравнение и начальные значения x0,y0.

Тогда если

А) функция f(x,y) непрерывна по обеим переменным x и y в замкнутой области ;

Б) функция f(x,y) удовлетворяет в областиR по переменной y условию Липшица, т.е. , где L – постоянная;то существует единственное решение y=y(x) указанного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0 и являющееся непрерывно дифференцируемым в интервале , где .

Доказательство теоремы приводить не будем, укажем лишь, что может быть осуществлено методом последовательных приближений Пикара (1856-1941), использующего ранее приведенное интегральное уравнение.

Последовательность функций, дающих приближенное решение уравнения, строится по правилу:

, ,

Далее можно показать, что функция дает единственное решение дифференциального уравнения в промежутке .

Выше был рассмотрен случай дифференциального уравнения первого порядка разрешенного относительно производной y/.

Более общим видом является случай уравнения вида , не разрешимого относительно производной y/.

Допустим, что данное уравнение может быть разрешено относительно y/, и в общем случае это дает несколько вещественных уравнений (k=1,2,…,m).

Если при этом каждая из функций (k=1,2,…,m) удовлетворяет теореме существования и единственности решения, то через точку (x0,y0) будет проходить m интегральных кривых уравнения . Пусть при этом каждая точка кривой имеет свой наклон касательной, отличный от других кривых. В этом случае также говорят, что задача Коши имеет единственное решение. Общим решением уравнения называют совокупность всех общих решений каждого из уравнений (k=1,2,…,m), т.е. решения y=Yk(x,c) (k=1,2,…,m).

Пример. Рассматривается дифференциальное уравнение вида . Разрешая его относительно y/ получаем два уравнения y/=1 и y/=-1, т.е. через каждую точку плоскости xOy проходят две интегральные кривые, касательные к которым имеют два разных угла наклона к оси Ox в 450 и 1350. Общим решением уравнения будет семейство интегральных кривых y=x+c и y=-x+c.

Особым решением дифференциального уравнения

 или 

называется решением y=y(x), которое во всех своих точках не обладает свойством единственности. Через каждую точку такого решения проходит не менее двух интегральных кривых, имеющих одинаковое направление касательной.

Отметим, что из сказанного выше следует, что дифференциальное уравнение может иметь решения не являющиеся ни частными, ни особыми, а именно, если эти решения получаются склеиванием кусков из частных и особых решений.

Особые решения дифференциального уравнения

Пусть рассматривается дифференциальное уравнение первого порядка общего вида F(x,y,y/)=0.

Тогда существование его особого решения прежде всего может быть связано с условием , не обеспечивающим представление y/ как неявной функции переменных x и y, задаваемой уравнением F(x,y,y/)=0.

Таким образом, формируя систему уравнений

,

и исключая из нее переменную y/, получаем функцию y=y(x), которая может дать особое решение дифференциального уравнения F(x,y,y/)=0.

Определение. Кривая, получаемая исключением параметра p из системы уравнений

,

называется дискретной кривой уравнения F(x,y,y/)=0.

Для того, чтобы дискретная кривая давала особое решение дифференциального уравнения, остается проверить, что она удовлетворяет уравнению F(x,y,y/)=0, и что через каждую ее точку проходит хотя бы одна интегральная кривая общего решения этого уравнения, т.е. проверить, что в точках дискретной кривой нарушается свойство единственности решения дифференциального уравнения. [5, стр 127-138]

 

 

1.2 Дифференциальное  уравнение первого порядка с  разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка

                             (2)

называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде или .Разнося переменные x и y и их дифференциалы в разные стороны такого уравнения, оно может быть записано в виде

(отсюда происходит название  данного типа уравнения).