Инверсия и ее свойства

Инверсия

Вступление

В школьном курсе планиметрии рассматривают  два вида преобразований плоскости: движения и преобразования подобия (гомотетию). Как гомотетия, так и  движения являются линейными преобразованиями, то есть такими, при которых прямые переходят в прямые. Или, другими словами, в декартовой системе координат эти преобразования задаются линейными уравнениями.

Безусловно, класс линейных преобразований плоскости  гораздо шире и отнюдь не исчерпывается  лишь движениями и гомотетиями. Однако, иногда бывает  полезно рассмотреть и нелинейные преобразования. При таких преобразованиях прямая может перейти в какую-либо кривую.  Правда, в средней школе на уроках геометрии мы привыкли встречаться с одной-единственной кривой – окружностью. Не будем нарушать эту традицию, идущую еще от Евклида, и рассмотрим преобразование плоскости, при котором некоторые прямые переходят в окружности. Это замечательное преобразование называется инверсией.

Определение

Рассмотрим на плоскости окружность ω с центром О и радиусом R и произвольную точку А₁, отличную от центра О. Дадим следующее определение:

Точка А₂ называется симметричной точке А₁ относительно окружности ω с центром О и радиусом R, если точка А₂ лежит на луче ОА₁ и ОА₁ · ОА₂ = R².

Из определения непосредственно  следует, что

1. Для каждой точки плоскости, кроме центра О, существует единственная точка, симметричная ей относительно окружности ω.
2. Для центра О симметричной точки не существует.
3. Если точка А₂ симметрична точке А₁ относительно окружности ω, то и точка А₁ симметрична точке А₂ относительно окружности ω.
4. Каждая точка, лежащая на окружности ω, симметрична сама себе.
5. Если А₁ и А₂ – различные симметричные точки, то одна из них лежит внутри окружности ω, а другая – снаружи.

Теперь можно рассмотреть отображение  плоскости на себя, которое переводит любую точку, кроме центра О, в точку, симметричную ей относительно окружности ω. Это преобразование и называется инверсией плоскости относительно окружности ω. Вопрос о судьбе центра О оставим пока открытым. Будем рассматривать плоскость с выколотой точкой. На такой «проколотой плоскости» инверсия полностью и однозначно определена для всех точек.

Наглядно представить себе инверсию можно, как результат «выворачивания»  плоскости через окружность ω. Все  точки окружности инверсии остаются на месте, все точки, находившиеся внутри окружности ω, оказываются снаружи, все точки, располагавшиеся снаружи окружности, попадают внутрь.

Если точки А₁ и А₂ меняются при этом местами, то по определению симметричных точек ОА₁ · ОА₂ = R² , то есть ОА₂  =  R²  / ОА₁ . Значит, чем больше величина ОА₁, тем меньше величина ОА₂ и наоборот. Чем ближе точка расположена к центру инверсии, тем дальше ее образ от этого центра. Если придвигать точку А₁ все ближе и ближе к центру О, тем самым приближая величину ОА₁ к нулю, то величина ОА₂ будет неограниченно возрастать, и, в конце концов, точка А₂ «уйдет в бесконечность».

Уместно также пояснить, почему мы называем точки А₁ и А₂ «симметричными». Для этого рассмотрим точку А₁, такую, что ОА₁ «мало отличается» от R, то есть точку, лежащую близко к окружности инверсии. Ее образ А₂ также лежит недалеко от окружности инверсии, но по другую сторону. Если при этом сделать радиус R очень большим (как говорят, «достаточно большим»), так что видимая часть окружности ω станет весьма похожей на прямую (так же, как видимая нами часть земной поверхности весьма похожа на плоскость), то точки А₁ и А₂ станут «весьма похожи» на точки, симметричные относительно этой «почти прямой».

Ограничимся пока этими расплывчатыми  рассуждениями, а в дальнейшем сформулируем и докажем ряд строгих утверждений, придающих смысл всем словам, взятым в кавычки.

 

Задача 1

Рассмотрим на координатной плоскости  окружность ω : x² + y² = R² и точку А₁(x₁ , y₁). Найдите координаты точки А₂, симметричной точке А₁ относительно окружности ω.

Построение

Из определения симметричных точек  следует пока лишь, что для любой  точки плоскости (слова «кроме центра О» будем в дальнейшем пропускать) однозначно определена симметричная ей точка. Хотелось бы, однако, не просто быть уверенным в ее существовании, но и уметь достаточно быстро ее построить циркулем и линейкой. Самое известное построение вытекает из следующего утверждения:

Пусть точка А лежит  снаружи окружности ω с центром  О, АМ и АN – касательные к окружности ω; прямые ОА и MN пересекаются в точке В. Тогда точки А и В симметричны относительно окружности ω.

Доказательство этого утверждения  совсем не сложно.

 

Во-первых, точка В лежит на отрезке  ОА, поскольку МВ является высотой  прямоугольного треугольника ОМА.

Во-вторых, из подобия прямоугольных треугольников ОМА и ОВМ следует пропорция  
OM / OB = OA / OM, или ОА · ОВ = ОМ² , что и требовалось доказать.

 

 

 

Теперь можно построить точку, симметричную любой точке плоскости  относительно данной окружности. Чертеж легко воспроизводится, как начиная с окружности и точки А снаружи нее, так и начиная с окружности и точки В внутри нее.

Однако, несмотря на простоту построения, оно, пожалуй, обладает определенным недостатком. Точки А и В названы «симметричными», относительно окружности, а вот само построение в каком-то смысле «несимметрично». Действительно, если точка А лежит снаружи окружности ω, то для построения надо сначала провести касательную, а потом опустить на прямую ОА перпендикуляр из точки касания. Если же данная точка лежит внутри окружности, то построение ведется в обратном порядке; сначала – перпендикуляр, потом – касательная.

Хотелось бы найти такое построение, чтобы оно «работало» совершенно одинаковым образом, независимо от того, как именно расположена исходная точка, внутри или снаружи окружности. Это построение получается из следующей задачи

Задача 2

Пусть К, M, N – произвольные точки на окружности ω; р – серединный перпендикуляр к отрезку MN. Тогда  прямые KM и KN пересекают прямую р в  точках А и В, симметричных относительно окружности ω.

Указание:

Как и в предыдущем случае, достаточно найти на чертеже  подходящие подобные треугольники.

Необходимо также доказать, что точка О не может лежать между точками А и В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя полученный результат, проводим построение точки, симметричной данной точке А, следующим образом:

 

1. Проведем прямую ОА и произвольную секущую, проходящую через точку А, и пересекающую окружность ω в точках М и К.
2. Опустим из точки М перпендикуляр на прямую ОА и продолжим его до пересечения с окружностью в точке N.
3. Прямая KN пересекает ОА в искомой точке В.

 

Легко видеть, что если на нашем чертеже  просто поменять местами буквы А  и В, а также М и N, то описание построения вообще не изменится. Последовательность действий останется той же самой, поскольку произвольную секущую КМ можно провести, как из внутренней точки окружности, так и из внешней, а для построения безразлично лежит исходная точка А на отрезке КМ или на его продолжении.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим также, что первый способ построения является вырожденным случаем второго, при котором точки М и К сливаются, а секущая превращается в касательную. Если попытаться аккуратно провести все построения циркулем и линейкой, то преимущества второго способа становятся очевидными. Действительно, отрезок MN можно заменить подходящей дугой окружности с центром, лежащим на прямой ОА. Тогда для построения надо провести всего три прямые и одну окружность.

Сравнение явно не в пользу первого  способа, где по ходу построения надо проводить перпендикуляры или делить отрезок пополам, что требует проведения дополнительных прямых и окружностей.

Свойства инверсии

До сих пор мы применяли инверсию лишь к единственной точке. Посмотрим  теперь, что произойдет, если применить это преобразование к более сложному объекту. Естественно попробовать подействовать инверсией на прямую. Если эта прямая проходит через центр инверсии, то точки, находившиеся внутри окружности, окажутся снаружи, и наоборот, но в целом прямая перейдет сама в себя. Гораздо интереснее случай, когда исходная прямая не проходит через центр инверсии. Прежде чем рассмотреть этот случай, докажем несложную лемму. В силу важности назовем ее

Основная лемма

 Пусть А₁, А₂ и В₁, В₂ – пары различных точек, симметричных относительно окружности ω. Тогда все эти четыре точки лежат на одной окружности.

По определению симметричных точек 
ОА₁ · ОА₂ = R² = ОВ₁ · ОВ₂ , следовательно 
ОА₁ / ОВ₁ = ОВ₂ / ОА₂ . Из пропорциональности сторон следует подобие треугольников ОА₁В₁ и ОВ₂А₂ по двум сторонам и углу между ними.

 

Из подобия треугольников следует равенство углов 
Ð ОА₁В₁ = Ð ОВ₂А₂. А равенство этих углов и означает, что четырехугольник А₁А₂В₂В₁ – вписанный, или, другими словами, все четыре точки лежат на одной окружности, что и требовалось доказать.

 

Теперь можно доказать первое важное свойство инверсии.

Теорема 1

Прямая, не проходящая через центр  инверсии, переходит в окружность, проходящую через центр инверсии.

Опустим из центра О перпендикуляр  ОМ на данную прямую и рассмотрим точку  К, симметричную точке М относительно окружности. Возьмем также на прямой произвольную точку А и построим симметричную ей точку В.

 

По основной лемме  точки К, М, А, В лежат на одной  окружности. Вписанный угол М –  прямой, а значит, вписанный в  ту же окружность угол В тоже прямой.

 

Треугольник ОВК –  прямоугольный, следовательно точка В лежит на окружности с диаметром ОК. Эта окружность и является образом исходной прямой при инверсии.

 

 

 

 

Задача 3

Если исходная прямая касается окружности, то точки М и К совпадают  и доказательство теряет силу. Как  изменить доказательство теоремы для этого частного случая?

Особенно легко построить  образ прямой, которая пересекает окружность инверсии. Поскольку точки  окружности инверсии остаются неподвижными, достаточно провести окружность через  центр инверсии и две точки  пересечения окружности инверсии и исходной прямой.

Полученный чертеж содержит окружность ω, прямую а, пересекающую ее в двух точках В и С и окружность α, проходящую через точки О, В, С. Эта окружность α является образом прямой а при инверсии относительно окружности ω.

Легко видеть, что касательные, проведенные к обеим окружностям  из точки А, лежащей на прямой а, равны между собой. Это следует из теоремы о квадрате касательной.

 

AP² = AB · AC = AQ²,   значит AP = AQ.

 

Оказывается, это утверждение  остается верным даже, если окружности α и ω не пересекаются.

 

Задача 4

Пусть окружность α является образом  прямой а при инверсии относительно окружности ω; точка А лежит на прямой а. Тогда касательные, проведенные  к окружностям α и ω из точки  А равны между собой.

 

Теорему (1) можно, очевидно сформулировать и так:

Теорема 1'

Окружность, проходящая через центр  инверсии, переходит в прямую, не проходящую через центр инверсии.

Теперь представляется естественным применить инверсию к  произвольной окружности. Докажем следующую  важнейшую теорему.

Теорема 2

Окружность, не проходящая через центр  инверсии, переходит в окружность, не проходящую через центр инверсии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для доказательства рассмотрим инверсию относительно окружности ω  и окружность α₁, не проходящую через центр инверсии О. Проведем в окружности α₁ диаметр В₁С₁, проходящий через центр О и построим точки В₂ и С₂, соответственно симметричные точкам В₁ и С₁ относительно окружности ω. Докажем теперь, что точки, симметричные точкам окружности α₁, расположены на окружности α₂, построенной на диаметре В₂С₂.

Возьмем на окружности α₁ произвольную точку А₁, и построим точку А₂, симметричную точке А₁ относительно окружности ω. Теперь применим основную лемму к двум четверкам точек – А₁, А₂ ; В₁, В₂  и А₁, А₂ ; С₁, С₂. Первая четверка дает равенство углов ÐА₁В₁С₁ = ÐВ₂А₂М, а вторая – ÐА₁С₁В₁ = ÐС₂А₂О.

Треугольник А₁В₁С₁ является прямоугольным, так как В₁С₁ – диаметр окружности, значит ÐА₁В₁С₁ + ÐА₁С₁В₁ = 90°, следовательно, ÐВ₂А₂М + ÐС₂А₂О = 90°. Из последнего равенства следует, что угол ÐВ₂А₂С₂ – прямой, и значит, точка А₂ расположена на окружности α₂ с диаметром В₂С₂, что и требовалось доказать.

На приведенном чертеже  окружности α₁ и α₂ не пересекают окружность инверсии ω и не содержат внутри себя ее центр. Доказательство, разумеется, остается в силе и при любом другом расположении окружностей, хотя чертеж становится немного более запутанным. Попробуйте самостоятельно рассмотреть возникающие здесь случаи и проследить на них все шаги доказательства.