Интегрирование рациональных функций

 

 

 

 

 

Кафедра: Естественных и общепрофессиональных предметов

 

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

ПО  ВЫСШЕЙ  МАТЕМАТИКЕ

    

 

 

 

 

 

 

Подготовил:       

Принял        

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

1.	ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ	….….………………………..  3
2.	ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ  ЗАДАЧ	………………………………   11
3.	ТЕСТЫ	……………………………....  16
4.	ПРЕЗЕНТАЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ	……………………………..… 18
5.	ИСПОЛЬЗОВАННАЯ  ЛИТЕРАТУРА	………………………………..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ  МАТЕРИАЛ

 

План:

1. Интегрирование рациональных функций
2. Интегрирование некоторых иррациональных функций
3. Интегрирование биноминальных дифференциалов.

 

Интегрирование  рациональных функций.

 

Интегрирование рациональных дробей

Для того, чтобы  проинтегрировать рациональную дробь  необходимо разложить ее на элементарные дроби

Теорема: Если  - ,правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде:   ), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:

где – некоторые постоянные величины.

При интегрировании рациональных дробей прибегают к  разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин   применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях .

Пример. Вычислить интеграл

Т.к    то

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие  числители, получаем:

             ⇒

   ⇒

            ⇒ 

 

Итого:

 

Интегрирование  некоторых иррациональных функций

 

Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.

Рассмотрим некоторые  приемы для интегрирования различных  типов иррациональных функций.

 

Интеграл вида

где - натуральное число.

С помощью подстановки  функция рационализируется.

Тогда

 

Пример.

 

Если в состав иррациональной функции входят корни различных  степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.

Проиллюстрируем это  на примере

Пример

 

                                              

 

Интегрирование  биноминальных дифференциалов.

 

Определение: Биноминальным дифференциалом называется выражение

 

 

где m, , и – рациональные числа.

Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821-1894), интеграл от биноминального дифференциала может быть выражен  через элементарные функции только в следующих трех случаях:

1. Если – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки , где   - общий знаменатель и .
2. Если целое число, то интеграл рационализируется подстановкой,

  где s – знаменатель числа р.

3. Если - целое число, то используется подстановка , где s – знаменатель числа р.

 

Однако, наибольшее практическое значение имеют интегралы от функций, рациональных относительно аргумента  и квадратного корня из квадратного  трехчлена.

На рассмотрении этих интегралов остановимся более подробно

 

Интегралы вида 

Существует несколько  способов интегрирования такого рода функций. В зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала, предпочтительно  применять тот или иной способ.

Как известно, квадратный трехчлен путем выделения полного  квадрата может быть приведен к виду:

Таким образом, интеграл приводится к одному из трех типов:

 

 

 

1 способ.Тригонометрическая подстановка.

 

Теорема: Интеграл вида подстановкой или сводится к интегралу от рациональной функции относительно или .

 

Пример:  Вычислить интеграл 

 

 

Теорема: Интеграл вида подстановкой

  или сводится к интегралу от рациональной функции относительно и .

Пример: Вычислить интеграл

 

Теорема: Интеграл вида подстановкой   или   сводится к интегралу от рациональной функции относительно или .

Пример: Вычислить интеграл

 

2 способ. Подстановки  Эйлера.

 

1. Если  , то интеграл вида рационализируется подстановкой
2. Если и то интеграл вида рационализируется подстановкой
3. Если , а подкоренное выражение раскладывается на действительные множители , то интеграл вида рационализируется подстановкой .

Отметим, что  подстановки Эйлера неудобны для  практического использования, т.к. даже при несложных подинтегральных  функциях приводят к весьма громоздким вычислениям. Эти подстановки представляют скорее теоретический интерес.

3 способ. Метод неопределенных коэффициентов.

Рассмотрим интегралы  следующих трех типов:

 

где – многочлен, n – натуральное число.

Причем интегралы II и III типов могут быть легко приведены  к виду интеграла I типа.

Далее делается следующее преобразование:

в этом выражении  - некоторый многочлен, степень которого ниже степени многочлена , а - некоторая постоянная величина.

Для нахождения неопределенных коэффициентов многочлена , степень которого ниже степени многочлена , дифференцируют обе части полученного выражения, затем умножают на и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , определяют и коэффициенты многочлена .

Данный метод  выгодно применять, если степень  многочлена больше единицы. В противном случае можно успешно использовать методы интегрирования рациональных дробей, рассмотренные выше, т.к. линейная функция является производной подкоренного выражения.

Пример. Вычислить интеграл

Теперь продифференцируем  полученное выражение, умножим на и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях .

             

Итого

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

 

Пример 1.

Найти интеграл 

Решение:

Сделаем подстановку:

Вычислим интеграл

Пример 2 

Вычислить интеграл

Решение:  

Используем  следующую подстановку:

Тогда интеграл равен

Разделим числитель на знаменатель, выделив правильную рациональную дробь.

Находим искомый  интеграл:

Пример 3

Вычислить интеграл   

Решение:

Сделаем подстановку:

Интеграл принимает  вид:

Пример 4

Вычислить интеграл

Решение:

Сделаем подстановку

Пример 5

Вычислить интеграл

 

 

Пример 6

Вычислить интеграл

 

Пример 7

Вычислить интеграл

                                              

Решение: 

Выберем в качестве новой переменной  t=

Тогда 

Поэтому

Пример 8

Найти неопределенный интеграл

Решение:

То есть Так как  целое число то вводим новую переменную  

Выражаем х  через z:

Выполняем подстановку  в исходный интеграл:

Пример 9

Найти неопределенный интеграл

Решение:

Для начала вынесем  двойку из под знака радикала:

В подкоренном  выражении выделяем полный квадрат:

Поэтому

Пример 10

Вычислить интеграл

Решение:

Сделаем подстановку:

 

 

 

 

3.ТЕСТЫ

 

1.  В интеграле вида используется подстановка

   (где s – знаменатель числа р) если …

a)           b)*           c)        d)   

2. Каких из выражениях являются Биноминальным дифференциалом ?

a)   b)*    c)      d)

3. Найдите интегралы от рациональных функций: 

a)         b)   

c)*           d)

4. Интеграл вида рационализируется c помощью подстановоки…

1. Подстановки Эйлера
2. *подстановки
3. подстановки 
4. Рационализируется без подстановок.

5. Найдите интегралы от иррациональных функций

1. *     b)
2.                             d) +1+c

6. Интеграл вида рационализируется подстановкой если…

 a)*     b)       c)       d)

7. Неопределенный интеграл   равен:

1.    b)  

c)         d)   

8. Найдите интегралы от иррациональных функций: 

1.    b)   c)    d)*

9. Найдите интегралы от иррациональных функций 

1. *

10. Интеграл вида рационализируется подстановкой если …

1. *     b)      c)       d)