Интегралы

Реферат по математике на тему «Интегралы»

Студентки ЗИО 2-1

Королевой Екатерины

Преподаватель: Полищук Владимир Сергеевич

Интеграл – расширенное  математическое понятие суммы. Решение интеграловили их нахождение называется интегрированием. Пользуясь интегралом можно найти такие величины, как площадь, объем, массу и другое. 
Решение интегралов (интегрирование) есть операция обратная диференциированию. 
Чтобы лучше представлять, что есть интеграл, представим его в следующей форме. Представьте. У нас есть тело, но пока не можем описать его, мы только знаем какие у него элементарные частицы и как они расположены. Для того, чтобы собрать тело в единое целое необходимо проинтегрировать его элементарные частички – слить части в единую систему. 
В геометрическом виде для функции y=f(x), интеграл представляет собой площадь фигуры ограниченной кривой, осью х, и 2-мя вертикальными линиями х=а и х=b .

 
 
Так вот площадь закрашенной области, есть интеграл от функции в пределах от a до b. 
Не верится? Проверим на любой функции. Возьмем простейшую у=3. Ограничим функцию значениями а=1 и b=2. Построим: 
 
Итак ограниченная фигура прямоугольник. Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. В наше случае длина 3, ширина 1, площадь 3*1=3. 
Попробуем решить тоже самое не прибегая к построению, используя интегрирование: 
 
Как видите ответ получился тот же. Решение интегралов – это собирание во едино каких-либо элементарных частей. В случае с площадью суммируются полоски бесконечно малой ширины. Интегралы могут быть определенными и неопределенными. 
Решить определенный интеграл значит найти значение функции в заданных границах. Решение неопределенного интеграла сводиться к нахождению первообразной. 
 
F(x) – первообразная. Дифференцируя первообразую мы получим исходное подинтегральное выражение. 
Основные функции и первообразные для них приведены в таблице: 
 
Основные приемы решения интегралов: 
Решить интеграл, значит проинтегрировать функцию по переменной. Если интеграл имеет табличный вид, то можно сказать, что он решен. Если же нет, то основной задачей при решении интеграла становиться сведение его к табличному виду. 
Сначала следует запомнить основные свойства интегралов: 
 
А теперь собственно приемы решения интегралов: 
1. Замена переменной. 
 
2. Интегрирование по частям. Пользуются следующей формулой. 
 
3. Интегрирование дробно-рациональных функций. 
 - разложить дробь на простейшие 
 - выделить полный квадрат. 
 - создать в числителе дифференциал знаменателя. 
4. Интегрирование дробно-иррациональных функций. 
 - выделить под корнем полный квадрат 
 - создать в числителе дифференциал подкоренного выважения. 
5. Интегрирование тригонометрических функций. 
 При интегрировании выражений вида 
применяет формулы разложения для произведения. 
Для выражений 
 m-нечетное, n –любое, создаем d(cosx). Используем тождество sin²+cos²=1 
m,n – четные, sin²x=(1-cos2x)/2 и cos²x=(1+cos2x)/2 
Для выражений вида: 
 - Применяем свойство tg²x=1/cos²x - 1