Градиент и производная по направлению

Градиент и  производная по направлению.

1. Линии и поверхности уровня.
2. Градиент функции.
3. Производная по направлению.

 

Если в пространстве R⁽²⁾ в некоторой области D задана функция двух переменных u = u(x;y), то совокупность точек области D, в которых u(x;y)=с, (с ) образуют линии, называемые линиями уровня.

Если в пространстве R⁽³⁾ в некоторой области D задана функция трех переменных u = u(x;y;z), то совокупность точек области D, в которых u(x;y;z)=с, (с ) образуют поверхности, называемые поверхностями уровня.

 

Пример 1. Построить линии или поверхности уровня для функций

1. u(x;y) = x + y; 2) u(x;y) = -x² + y; 3) u(x;y;z) = x² + y² – z. 

1) Уравнения линий уровня х + у = с, то есть это семейство прямых, параллельных друг другу, заполняющих всю координатную плоскость хоу, нигде не пересекающихся.

 

 

                                2) Уравнения линий уровня у – х² = с, то есть это

                                      семейство парабол  у = х² + с, смещенных по оси

                                      оу на const = c, заполняющих всю координатную

                                      плоскость хоy и нигде не пересекающихся.

 

 

 

     3) Уравнения поверхностей уровня

 

x² + y² – z = с или x² + y² = z + с, то есть

семейство параболоидов, смещенных

на const = c (с ) по оси oz, заполняющих

все пространство R⁽³⁾ и нигде

не пересекающихся. На рисунке

изображены две поверхности 

уровня.

 

 

 

   Градиентом дифференцируемой функции u = u(x;y)  (u = u(x;y;z)) называется вектор, перпендикулярный к линии (поверхности) уровня функций u = u (x;y)  (u = u (x;y;z)):

grad u(х;у) =             в R⁽²⁾;   grad u(х;у;z) =                 в R⁽³⁾.

Пример 2. Найти градиент функции u(x;y) = x² + y к линии уровня при с = 1 в точках А(0;1) и В(1;0).

 Уравнения линий  уровня х² + у = с.

Выделим из семейства  линий уровня линию 

при   с = 1: х² + у =1. Это парабола

 у =1 –  х² с вершиной в точке (0;1) и ветвями,

 направленными вниз.

Найдем градиент в  произвольной точке:

grad u(х;у) =                 = {2x; 1};

 

в точке А(0;1): grad u(х;у) = {0; 1}; в точке В(1;0): grad u(х;у) = {2; 1} и они перпендикулярны к линии уровня в данных точках.

 

Производная по направлению вектора .

Пусть в области D задана скалярная функция u = u(x;y;z) и выделена поверхность уровня u(x;y;z)=с, на которой взята точка М(х;y;z).

Из точки М проведем вектор ={x;y;z}, на котором выделим .

Спроектируем  на плоскость xoy: пр_xoyΔl=М'М'₁. Нормируем вектор ( ):

              , где ,  ,  , .

 

Запишем полное приращение   

для u(x;y;z) , где ε(x,y,z,Δx,Δy,Δz) – бесконечно малая более высокого порядка.

   Разделим приращение Δu на   .

Переходя к  пределу при  → 0, будем иметь  значение производной по направлению вектора в R⁽³⁾: .

Производная по направлению – скорость роста функции u(x;y;z) по направлению вектора .

Связь производной по направлению и градиента.

 

Терема. Если в области D пространства R⁽³⁾ задана непрерывная дифференцируемая   функция    u = u(x;y;z), определены в любой точке D

градиенты    grad u(х;у;z) =          , то производная по направлению вектора равна проекции градиента на его направление, то есть .

Действительно, так как  , gradu =                     , то .

С другой стороны  , где угол между градиентом gradu и вектором обозначен φ.

Следовательно, мы доказали, что  .

Свойства производной по направлению.

1. Производная по направлению имеет наибольшее значение по направлению градиента, что следует из коллинеарности , то есть cos 0 = 1 и .
2. Производная по направлению равна нулю по направлению, перпендикулярному градиенту, что следует из ортогональности  gradu, то есть cos (π/2) = 0 и   .

Замечания. 1) Другие обозначения градиента функции:

                         gradu = gru = , где вектор называется                   оператор Гамильтона или оператор набла.

Тогда = =             – разные формы записи градиента.

2. Если функция u = u(x,y) R⁽²⁾, то  градиент функции – это вектор = =                  ,

а производная по направлению – число, равное                                                   .

 

 

Пример 3. Найти производную функции u = x² + y² + z² по

                  направлению вектора = {2;1;-2} в точке М(1;1;1).

 

Производную функции u = x² + y² + z² по направлению вектора

={2;1;-2}

найдем по определению  .

Вычислим градиент  gradu = = {2x; 2y; 2z} в произвольной точке, а затем в точке М(1;1;1): gradu(М) = {2; 2; 2}.

Нормируем вектор = {2;1;-2}.

Для этого найдем его длину  и координаты  единичного вектора , где cosα = 2/3; cosβ= 1/3; cosγ = – 2/3/

.