Функцияның шегі

Функцияның шегі.

 

1. Функцияның  нүктедегі шегі.

Анықтама: Айталық, f(x) функциясы а нүктесінің қайсыбір маңайында, мүмкін сол нүктенің өзінен басқа, анықталған болсын. Егер а-ға жинақталатын кез келген аргументтін мәндерінің х_n а, тізбегі үшін функцияның сәйкес мәндерінің f(x_n), тізбегі В санына жинақталса, онда В саны f(x) функциясының  а нүктесіндегі шегі деп аталады (немесе х а-ға ұмтылғандағы).

   Бұл жағдайда  деп жазады.

Қысқаша, егер а-ға жинақталатын кез келген аргументтін мәндерінің х_n а, тізбегі үшін болса, онда болады.

1 Мысал: болатының дәлелдеу керек.

Δ Аргуметтін мәндерінің кез келген нөлге ұмтылатын х_n 0, тізбегін, яғни, болған жағдайын қарастырайық. Онда, f(x)=x² ,болғандықтан, болады.

    Сондықтан, ▲

2 Мысал:  болатының дәлелдеу керек.

Δ Аргуметтін мәндерінің кез келген бірге ұмтылатын х_n 1, тізбегін, яғни, болған жағдайын қарастырайық. Онда, f(x)= , болғандықтан, болады.

    Сондықтан,  ▲

2. Шектің жалғыз болуы  туралы теорема.

Теорема: Функцияның нүктедегі  бір ғана шегі болады.

  ٱ    х=а нүктесінде f(x) функцияның екі әр түрлі А және В шектері бар болсын.

       Шектің  анықтамасына сәйкес аргументтің  мәндерінің кез келген х_n а, және болатын х_n, тізбегі үшін:

Тізбетің шегі жалғыздығы бойынша А=В теңдігіне келеміз. Бұл функцияның екі әртүрлі шектері бар деген болжамымызға қарама-қайшылық әкеледі. Сондықтан, функцияның нүктеде тек бір ғана шегі бар болады.■

3. Шектер туралы теоремалар.

Теорема 1: Функциялардың  қосындысының (айырмасының) шегі олардың шектерінің қосыныдысына (айырмасына) тең:

Теорема 2: Функциялардың  көбейтіндісінің шегі олардың шектерінің көбейтіндісіне  тең:

 

Теорема 3:  Екі функциялардың  бөліндісінің  шегі олардың шектерінің бөліндісіне тең:

ٱ болсын. Онда функцияның нүктедегі шегінің анықтамасы бойынша кез келген х_n а, және болатын аргументтің мәндерінің х_n тізбегі үшін болады.

  Ақырғы теңдіктерді және жинақталатын тізбектердің бөліндісінің шегі  туралы теореманы пайдалана отырып келесі теңдікке келеміз:

 

Осыдан, яғни, екені шығады.■

1 және 2 теоремалар дәл солай  дәлелденеді.

Салдар: Тұрақты көбейткішті  шек таңбасының сыртына шығаруға болады:

 

Терема 4: Егер болса және а нүктесінің қайсыбір маңаында теңдіктері орындалса, онда болады.

1 Мысал:  -ті табу керек.

Δ  Шектер туралы теоремаларды қолданып келесіге келеміз:

▲

 

2 Мысал:  -ті табу керек.

Δ  Мұнда бөлімнің шегі нөлге  тең, сондықтан бөліндінің шегі туралы теореманы қолдануға болмайды. Алымын көбейткіштерге жіктейік:

Х²-5х+6=(х-3)(х-2).

2 нүктесіндегі шекті  тапқанда тек х 2 қарастырылғандықтан х-2-ге қысқартуға болады, сонда

 

▲

 

    Ескерту: осы мысалда х=2 нүктесінде бөлшектің алымы мен бөлімі нөлге айналады. Мұндай жағдайларда түріндегі анықталмағандығы бар деп айтады, ал шекті табуды түріндегі анықталмағандығын ашу деп айтады.

4. Біржақты шектер.

   Егер шекті  тапқанда х-тің мәндерін тек а нүктесінің сол жағынан ғана қарастырсақ, онда шек солжақтық деп аталады да былай белгіленеді .

 Егер шекті тапқанда  х-тің мәндерін тек а нүктесінің оң жағынан ғана қарастырсақ, онда шек оңжақтық деп аталады да былай белгіленеді .

 

 

   Солжақтық және  оңжақтық шектер біржақтық шектер деп аталады, ал шек екіжақтық деп аталады.

  Анықтамалардан, егер f(x) функциясының х₀ нүктесінде шегі бар болса және болса, онда біржақтық f(x₀+0) және f(x₀-0) шектері де бар болады да f(x₀+0) = f(x₀-0) = А болады.

   Сонымен, f(x) функциясының х₀ нүктесіндегі  шегін анықтау үшін келесі үш шарттың орындалуын тексеру жеткілікті:

1. солжақтық шектің бар болуы;
2. оңжақтық шектің бар болуы;
3. біржақтық шектерінің тең өзара болуы;

1 Мысал: f(x) функциясының х 0 шегін табу керек.

Δ  Берідген функция  сандық түзудің барлық бойында анықталған (1 сурет). Барлық х<0 теңсіздігін қанағаттандыратын х үшін f(x)= болғандықтан болады. Дәл солай болады.

  Сонымен, f(+0) = f(-0) = 0.

Біржақтық шектер нөл  нүктесінде өзара тең болғандықтан f(x) функциясының нөл нүктесінде бар болады да олардың ортақ мәніне тең болады, яғни, ▲

5. Функцияның шексіздіктегі  шегі. Функцияның шегі туралы.

f(x) функциясы сандық түзуінің бойында анықталған болсын. Егер болатын кез келген х_n тізбегі үшін болса, онда  В саны f(x) функциясының шегі деп аталады.

  Бұл жағдайда  деп жазады. Дәл солай,  егер болатын кез келген х_n тізбегі үшін болса, онда  болады.

 Анықтама: Егер х_n а және болатын кез келген аргументтін мәндерінің х_n тізбегі үшін болса, онда f(x) функциясының а нүктесіндегі шегі шексіздік болады дейді де   деп жазады.

  Егер бұл анықтамада х_n а шартын х_n а шартына ауыстырса, онда функцияның сол жақтық шексіз а нүктесіндегі шегінің анықтамасы шығады.

2 Мысал:  шегін табу керек.

Δ Алым мен бөлімді х³-қа бөлеміз:

▲

Ескерту: бұл есепте алым мен бөлім шексіздікке ұмтылады. Ондай жағдайларда түріндегі анықталмағандығы бар дейді де шекті табуды түріндегі анықталмағандығын ашу деп айтады.

  Егер  болса, онда f(x) функциясы шексіз (ақырсыз) үлкен деп аталады. Егер де болса, онда f(x) функциясы шексіз (ақырсыз)  кіші  деп аталады. Дәл солай , шексіз (ақырсыз) үлкен және шексіз кіші  функциялар да анықталады.