Функция туралы

     3. Егер k>0 болса, x>0 болғанда, онда y>0,

                                          x<0 болғанда, онда y<0.

     Егер k<0 болса, x>0 болғанда, онда y<0,

                                      x<0 болғанда, онда y>0.

     4. Егер  k<0 болса, онда R R жиынында өседі, ал k>0 болса, онда кемиді.

     5. Егер x және y айнымалылардың мәндері оң сандар болса, онда x айнымалы мәндері бірнеше есе артса y айнымалы мәндері де сонша есе кемиді, яғни болады.

 

2. Тізбек. 

2.1. Тізбек анықтамасы 

Айталық, x0 нүктесінің қандай да бір аумағында y=f(x) функциясы анықталған болсын және x0 нүктесі ол аумаққа енуі де, енбеуі де мүмкін.

Анықтама-1. Егер мейлінше аз e>0 үшін, e-мен x0 нүктесінен тәуелді d=d(e, x0 )>0 саны табылып, 0<.x- x0 .<d теңсіздігі орындалғанда, f(x)-A.<e теңсіздігі орындалатын болса, онда А саны y=f(x) функциясының x® x0 кездегі шегі деп аталады және lim f (x) = A түрінде жазылады

                          x→x0

1 сурет

Аргумент  шексіздікке ұмтылғандағы функцияның шегі.

Анықтама-2. Егер кез келген e>0 үшін М>0 саны табылып,барлық iхi>M болатындай х – тің мәндері үшін |A-¦(х)|<e теңсіздігі орындалса,А саны           х → ∞. ұмтылғандағы ¦(х) функциясының шегі деп аталады және lim f (х)=A деп жазылады.                                                                                          х→∞

Егер  lim f (х) = A болса,онда ¦(х) графигі х шексіздікке оң мәндерге де,теріс

           х→∞

мәндерге  де ұмтылғанда,у=A түзуіне асимптоталық түрде жақындайды. 2-суретте көрсетілген.

     

     2 сурет

Анықтама-3. Егер кез келген e>0 үшін М>0 саны табылып, барлық х>M болатындай х - тің мәндері үшін |A-¦(х)|<e теңсіздігі орындалса,А саны х→+∞. ұмтылғандағы ¦(х) функциясының шегі деп аталады және lim f (х) = A

                                                                       х→+∞

деп жазылады.3-суретте  көрсетілген.

 
 
 
 

Анықтама-3. Егер кез келген e>0 үшін М>0 саны табылып, барлық х>M болатындай х - тің мәндері үшін |A-¦(х)|<e теңсіздігі орындалса,А саны х→- ∞. ұмтылғандағы ¦(х) функциясының шегі деп аталады және lim f (х) = A

                                                                       х→-∞

деп жазылады.4-суретте көрсетілген.

 

Анықтама-5. Егер кез келген М>0 үшін, |¦(х)|>М орындалатындай,d>0 табылып, х - тің мәндері үшін 0<|х-а|<d теңсіздігі орындалса,онда ¦(х) функциясының шегі х ® а ұмтылғанда шексіздікке тең болады және lim F (x)- ∞            x →a

деп жазылады.

Анықтама-6. Егер кез келген М үшін, ¦(х)>М (¦(х)<М) орындалатындай, d>0 табылып, х – тің мәндері үшін 0<|х-а|<d теңсіздігі орындалса,онда ¦(х) функциясының шегі х ® а ұмтылғанда + ∞ (-∞) тең болады және  lim F (x)+ ∞ (lim F (x)- ∞ ) деп жазылады.5 суретте көрсетілген.                          x →a

   x →a                   

 
 

2.2. Тізбек жинақтылығының функциясы 

1.Егер y=¦(х) функциясының x0 нүктесінде  шегі болса, онда ол жалғыз болады.

2.Егер y=¦(х) функциясының x0 нүктесінде  шегі болса, онда ол x0 нүктесінің шағын аумағында шектеулі болады.

      Анықтама. Алдын-ала берілген саны бойынша саны табылып, айнымалы -ң теңсіздігін қанағаттандыратын барлық мәндері үшін теңсіздігі орындалса, онда саны функциясының аргументі санына ұмтылғандағы шегі деп аталады. Оны былай жазып көрсетуге болады: 

 

Берілген  анықтаманы функцияның нүктедегі шегінің  “ ” тілінде берілген анықтамасы деп атайды. Бұл анықтама мына мағынаны береді: нүктесінің аймағында, яғни аралығында өзгергенде, санының аймағында, яғни аралығында өзгереді. 

2.3. Тізбек жинақтылығының есептеу қасиеттері. 

      1.Келтіру  әдісі. Функциялардың шектерін  табу ережелері (қосындының, көбейтіндінің,  бөлшектің шектері туралы теоремалар) “тамаша шектер” деп аталатын 

       (1) 

       (2) 

түріндегі шектерді пайдалануға негізделген.

(1) формуламен  берілген шекті “бірінші тамаша  шек”, (2) формуламен берілген шекті  “екінші тамаша шек” деп атайды. Формуладағы айнымалыны белгілі  бір шарттарды қанағаттандыратын  функциямен алмастырғанда да формуладағы негізгі заңдылық сақталады. (1), (2) және т.с.с. формулалар үшін ортақ шарт - -ң координаттар басында шектеусіз аздығы. Мұны жалпылап, яғни шектеусіз аз шама деп қарастырамыз да, -ң орнына -ны қойып, жалпы түрде жазылған формулаларды аламыз. 

 немесе  ; 

; 

; 

; 

; 

. 

      Функцияның  шегін есептеу негізінен осы  формулалар арқылы орындалады және бұлар  есеп шығаруда пайдалануға қолайлы. Бұл формулаларды пайдалану үшін алдымен берілген есептің құрылымы осы формулалардың бірімен ұқсас  болуы және ондағы шарттар орындалуы керек. Берілген өрнектің ұқсастығы аз болса, тиісті түрлендірулер жасалады да, құрылымы жағынан ұқсас өрнекті функцияның оң жағындағы санмен алмастырады. Есепті осы әдіспен шығаруды формулаға келтіру немесе қысқаша келтіру әдісі дейді.

      1-мысал.  Мынадай шекті табу керек: . Бұл шекті (1) формулаға келтіру арқылы табамыз, ол үшін бөлшектің алымын да, бөлімін де бір санға немесе функцияға көбейткенде бөлшектің мағынасы сақталатындықтан, берілген шекті былай жазуға болады: 

. Енді көбейтіндінің шегі  туралы теореманы және тұрақты  санды шектің алдына шығаруға  болатындығын пайдалансақ: 

. 

Біз бұл  арада  екенін пайдаландық. 

      2-мысал.  Мынадай    функциясының шегін табу керек. Бұл мысалды да түрлендірудегі мақсатымыз – бірінші тамаша шекті және функцияның шектерінің ережелерін пайдалану. Ол үшін берілген функцияны әр түрлі формулаларға немесе ережелерге келтірілетін құрылымдарға жіктеп жазу керек. Сонда: 

. 

      3-мысал.  Шекті табыңыз:  . 

Біз алдымен  функциясы мен функциясының шектерін жеке-жеке есептейік. Бұл функциялар нүктесіеде үзіліссіз. Үзіліссіз функцияның анықтамасы бойынша, олардың шектерін табу үшін -ң орнына нөлді қос\йса болғаны. Сонда 

; 

. 

Осылардың негізінде  . 

      4-мысал.  .

Шек белгісінің астында тұрған функцияның негізі функциясының шегі -ке ұмтылады, ал функциясының шегі 1-ге тең, ал 1 саны оң болуына байланысты, қарастырып отырған шекті табу үшін (3) теңдіктердің біріншісін пайдалану керек. Сонда  

. 

      5-мысал. .

Негіздегі және көрсеткіштегі функциялардың  шегін табайық: 

. 

. 

 теріс сан болғандықтан, іздеп  отырған шек келесідей түрде  болады: 

. 

      Егер  болса, онда , ал болса, функциясының шегі нөлге тең болады. Ерекше назар аударатын жағдайы, бұл жағдайда функциясы нүктесінде түріндегі анықталмағандықты береді. анықталмағандығын ашу үшін берілген функцияны түрлендіріп, (2) “тамаша шекке” келтіру керек. (2) “тамаша шекке” келтіру деп берілген функцияны түрлендіру арқылы (2) формулаға ұқсастық жасауды айтады. Келтіру үшін былай жасаймыз:

 өрнегі шығады. Ары қарай  түрлендірулер 2-ші тамаша шектің  құрамына байланыстырылған.  

 

Осы өрнекті  дәрежеге шығарайық: 

. 

Енді  осы теңдіктің екі жағынан  шек алсақ, онда  

 

Бұл теңдіктің  оң жағындағы фигуралы жақшалардың  ішіндегі шек  -ге тең, өйткені ол шек астындағы функция (2) формуладағы қойылған шарттарды толығынан қанағаттандырады. Сонда 

.

Теңдік  функцияның шегі бар екендігін білдіреді.

Шынында да,  

      (4) 

болса, онда бұл функцияның шегі -ке тең болады, ал 

      (5) 

болса, онда нөлге тең болады.

Егер

      (6) 

(мұндағы  ) теңдігі орындалса, онда қарастырып отырған функцияның шегі тұрақты шамаға тең болады. Сонымен, жоғарыда айтылғандарды қорытындылап, былай жазуға болады: 

 

      6-мысал.  шегін есептеңіз.

Шек белгісінің астында тұрған функция көрсеткішінің  шегі -ке тең болатындығы бірден көрініп тұр. Берілген шекті есептеу үшін алдымен анықталмағандықтың бар-жоғын білу керек. Ол үшін негіздің шегін табу керек: 

 болғандықтан, анықталмағандығы шығады. Сондықтан, қарастырып отырған шекті табу үшін түрлендіру жасап, оны (2) формулаға келтіруіміз керек. Сонда 

 

 

. 
 

      2. Алмастыру әдісі.

      Практикада  өрнегін бірден немесе түрлендіру арқылы есептеу мүмкін болмағанда, алмастыруын жасайды. Жалпы жағдайда функциясын алу туралы еш нәрсе айтуға болмайды. Дегенмен, функциясын -да жаңа айнымалы тиянақты бір санға ұмтылатындай етіп және мына шегін (мұндағы дегеніміз - -дағы -ң ұмтылатын шамасы) бірден түрлендіру арқылы есептеуге мүмкіншілік болатындай етіп таңдап аламыз. 

      7-мысал.  Мынадай шекті табу керек: .