Функция и производная

значение указанной  частной производной в указанной  точке.

Найдем сначала  производные первого порядка  

Частными производными второго порядка являются 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание 2.4.2

   Даны: скалярное  поле  , точки и .

,  ,  .

   Найти:

   а) градиент поля  в точке ;

   б) производную функции  в точке по направлению от точки к точке

Решение:  

а) Градиент поля в точке вычисляется по формуле .

   Найдем частные производные данной  функции и их значения в  точке  : 
 
 

Следовательно 

  б) Производная  скалярного поля  по направлению вектора в точке вычисляется по формуле , где , , .

   Для решаемой  задачи      

Длина вектора 

  Следовательно:    
 

Задание 2.4.6

   Найти  и в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать рисунок области D. 

   Своего наибольшего и наименьшего  значений в заданной области  функция может достигать либо  в экстремальной точке, принадлежащей  заданной области, либо на границе  области.

Изобразим заданную область

 Найдём стационарные точки функции из системы

Для заданной функции система примет вид  

  подставляя выраженное значение x в первое уравнение находим значения y и подставляя их во второе уравнение находим x

Решая систему уравнений получаем 2 стационарные точки. Первая точка совпадает с точкой A(0;0), вторая точка M. Эта точка нам не подходит, так как лежит вне области D.

     Исследуем каждую из сторон области D на предмет нахождения экстремумов: 

     Исследуем сторону AB

z(0;y) = 4. Т.к значение постоянно то стационарных точек нет.

     Исследуем BC 
 
 
 
 

     Исследуем CD 
 
 
 
 

     Исследуем AD 
 
 
 
 

      Найдем  значение f в углах нашей области 

A(0;0)=4  C(2;2)    

Сравнивая найденные значения функции, делаем вывод, что в заданной области  наименьшее значение функции , наибольшее значение . 
 

Задание 2.4.4

   Найти функции, заданной неявно уравнением. 

Решение:

Частные производные   функции, заданной неявно, находятся по формулам  
 

   Для заданной функции  
 
 

Задание 3.3.5

   В таблице приведены пять экспериментальных  значений искомой функции  . Аппроксимировать эту функцию линейной функцией методом наименьших квадратов. Построить график аппроксимирующей функции и экспериментальные точки.

   Все промежуточные  вычисления проводить с точностью  до трех знаков после запятой  (если округление дает ноль, то  учесть первую значащую цифру), а ответы округлить до двух  знаков после запятой.