Функции и их свойства

=yили =0

 

относительно ех, найдём (при_у 1) два значения

,

откуда

x=ln

.

Снова — двузначная функция, которая распадается на две однозначные ветви, отвечающие порознь изменению х от 0 до и от до 0.

4) Если же у = shx, то - при любому - из уравнения

=yили =0

найдём лишь одно значение для ех:

так как второе значение — с минусом при корне, как отрицательное, невозможно и должно быть отброшено. Отсюда

x

,

так что здесь обратная функция однозначна.

Заметим, что по графику функции у=f(х) легко сообразить, будет ли обратная для неб функция х=g(у) однозначной или нет. Первый случай представится, если любая прямая, параллельная оси х, пересекает этот график разве лишь в одной точке. Наоборот, если некоторые из таких прямых пересекают график в нескольких точках, обратная функция будет многозначной. В этом случае по графику же легко разбить промежуток изменения х на части так, чтобы каждой части уже отвечала однозначная «ветвь» этой функции. Например, по одному взгляду на параболу (черт.15), которая служит графиком функции у = х2, ясно, что обратная ей функция двузначна и что для получения однозначных «ветвей» достаточно раздельно рассматривать правую и левую части этой параболы, т.е. положительные и отрицательные значения х.

Если функция х=g(у) является обратной для функцииу=f(х), то, очевидно, графив обеих функций совпадают. Можно, однако, потребовать, чтобы и аргумент обратной функции обозначался буквой х, т. е. вместо функции х=g(у) рассматриватьу=g(х). Тогда лишь придется горизонтальную ось назвать осью у, а вертикальную - осью х; график всё еще останется прежним. Если же пожелать,чтобы (новая) ось х была бы, как привычно,горизонтальной, а (новая)ось у — вертикальной, то эти оси нужно будет переставить однунаместо другой, что уже изменит и график. Для осуществления этогопроще всего повернуть плоскость чертежа хОуна 180° вокруг биссектрисы первого координатного угла(черт.16).

 Таким образом, график у =g(х)  получается как зеркальное отражениеграфика у=f(х) относительно этойбиссектрисы. Почерт. 9 и 10, например,сразу видно, что они  именно   так  получены   один   из   другого.   Точно  так же,исходя из высказанных соображений, легкообъяснить симметричность (относительно биссектрисы черт. 16)  каждого из черт.  7 и 8.

Обратные тригонометрические функции.

В дополнение к.темклассам элементарных функций, которые были упомянуты в 48, рассмотрим теперь

70Обратные тригонометрические функции:

у =arcsin х, у = arcosx, у = arctg х,

у =arcctg х, (у= arcsecх, у = аrccscх).

Остановимся сначала на первой из них. Функция у = sin хопределена в промежутке X =(- ), причём её значения заполняют сплошь промежуток Y= [-1,1]. Параллель оси х пересекает синусоиду, т. е. график функции у=sin х (черт.11) в бесконечном множестве точек; иначе говоря, каждому значению уиз промежутка [-1,1] отвечает бесконечное множество значений х. Поэтому обратная функция, которую обозначают так:

х =Arcsiny,

будет (бесконечно-)многозначной.

Обычно рассматривают лишь одну «ветвь» этой функции, отвечающую изменению х между и ; каждому у из [-1, 1] в этихпределах отвечает одно значение х; его обозначают через

x =arcsiny

и называют главным  значением арксинуса.

Следует отметить, что аргумент х тригонометрической функции выражает угол в радианах; разумеется и здесь значения обратных тригонометрических функций, если их рассматривать как меру угла (или дуги) все выражены в радианах (в радиусах).

Поворачивая синусоидуоколо биссектрисы первогокоординатного угла(черт.17),  получаем график   многозначной функцииу=Arcsinx ;сплошной линией выделен график главной  ветви её _у=arcsinх, которая   однозначно   определена   в   промежутке   [-1,   1],   значений   x   и   притомудовлетворяет неравенству

которое   характеризует   её   среди   другихветвей.

Вспоминая   из   элементарной  тригонометрии, как выражаютсявсе значения угла,имеющего данный синус, через одно из этихзначений, легко  написать формулы, дающие всезначения арксинуса:

Arcsinx

Исходя   из   теоремы   сложения   для  синуса

можно получить теорему сложения для арксинуса. Именно, положим здесь (где х и улежат между 1 и +1); тогда

причём корни берутся   со знаком плюс, таккак углы и , по характерному свойствуглавного значения арксинуса,  лежат  между и ,так что косинусы их положительны.  Итак,

oткуда

Формула может быть написана проще:

лишь в том случае, если и не выходит из промежутка . Это условие автоматически выполняется, если аргументых и у (а с ними ) имеют разные знаки. В случае же одинаковых знаков высказанное условие, как легко видеть, равносильно такому:

Подобные   же    рассуждения   применимы   к   функции у = соsx( . И здесь обратная функция

y=

оказывается (бесконечно-)многозначной (см. черт. 11). Для выделения однозначной ветви, её подчиняют условию:

;

это есть главная  ветвь арккосинуса.

Функцияarccosхсвязана  с   arcsinx   очевидным   соотношением

;

действительно, не только косинус угла равен , но и сам угол содержится именно между 0 и . Остальные значения Arccosх выражаются через главное его значение по формуле

.

Функция у=tg хопределена для всех значений х, кроме значений х = ( , ...).  Значения узаполняютздесь промежуток ( ), причём каждому у снова соответствует бесконечное множество значений х (см. черт. 12). Поэтому обратная функция x=Arctg у, заданная в промежутке ( ), будет (бесконечно-)многозначной. На черт.18 изображен график функции у =Arctg х, полученный поворотом на 180° вокруг биссектрисы первого координатного угла графика функции у= tgх. За главное значение арктангенса, arctgх, принимают то из значений этой многозначной функции, которое удовлетворяет неравенствам

.

Такимпутём определяется однозначная функция — главная ветвь арктангенса, заданная для всех значений х. Остальные значения арктангенса, как легко показать, получаются так:

Теорема сложения для тангенса:

,

если  положить даёт (при xy )

,

и так что

.

И в данном случае равенство приводится к простому виду

,

лишь если ,т.е.если

Нетрудно   установить   прямую   связь   между  функциями arctgxи arcsinх:

или    .

( )   ( )

Например,    если   положить ,    так    что то , причём   корень   берётся   со   знаком плюс, потому что вытекает,   что ; отсюда и вытекает, что .

Упомянем ещё о функции ; её главное значение определяется неравенствами

и связанно с соотношением

.

Остальные значения арккотангенса имеют вид

.

Суперпозиция функций.

Познакомимся с понятием суперпозиции (или наложения) функций, которая состоит в том, что вместо аргумента данной функции подставляется некоторая функция от другого аргумента. Например, суперпозиция функций дает функцию аналогично получаются и функции

, и т.п.

В общем виде, предположим, что функция определена в некоторой области , а функция определена в области , причем значения ее все содержатся в области У. Тогда переменная z, как говорят, через посредство у, и сама является функцией от х:

По заданному х из Xсначала находят соответствующее ему (по правилу, характеризуемому знаком f) значение у изУ, а затем устанавливают соответствующее этому значениюу (по правилу,характеризуемому знаком ) значение z; его и считают соответствующим выбранному х. Полученная функция от функции или сложная функция и есть результат суперпозиции функций и .

Предположение, что значения функции f(х) не выходят за пределы той области Y, в которой определена функция (у), весьма существенно: если его опустить, то может получиться и нелепость. Например, полагая ,а , мы можем рассматривать лишь такие значения х, для которых , ибо иначе выражение logsinх не имело бы смысла.

Мы считаем полезным здесь же подчеркнуть, что характеристика функции, как сложной, связана не с природой функциональной зависимости zот x, а лишь со способом задания этой зависимости. Например, пусть для у в [—1, 1], а у=sinх для х в . Тогда

.

Здесь функция сох х оказалась заданной в виде сложной функции.

Теперь, когда полностью выяснено понятие суперпозиции функций, мы можем точно охарактеризовать простейший из тех классов функций, которые изучаются в анализе: это, прежде всего, перечисленные выше элементарные функции, а затем — все те, которые из них получаются с помощью четырёх арифметических действий и суперпозиций, последовательно применённых конечное число раз. Про них говорят, что они выражаются через элементарные в конечном виде; иногда их все также называют элементарными.

Существуют и другие функции, также играющие важную роль в анализе, но уже выходящие за пределы класса элементарных функций.