Физические единицы и их измерение

С развитием  производства и товарообмена количество измеряемых свойств расширялось, многие из них не были столь наглядными, как перечисленные выше, к тому же остро стоял вопрос межгосударственной унификации мер. Как следствие, неизбежен был переход от мер к единицам физических величин. Дальнейшее развитие науки и техники поставило вопрос об измерительном контроле свойств, до недавних пор считавшихся неизменяемыми. Прежде всего, следует отметить качественные свойства. К качественным свойствам можно применять признаки дискретности, упорядоченности и др. если мы представим себе такое качественное свойство, как цвет, то вспомним, что в последнее время широко используются цветовые атласы (наборы), сопоставление с которыми позволяет четко идентифицировать и классифицировать тот или иной оттенок. К нему не применимы традиционные понятия измерений, такие, как больше или меньше, однако можно найти порядок расположения цветов (цветовая гамма) и выстроить шкалу наименований. Подобный подход позволяет сделать вывод о наличии еще более общих признаков, чем единицы измерений, - шкал измерений и распространить понятия и подходы метрологии на практически все многообразие предметов, процессов, явлений – на весь окружающий нас мир.

Вообще говоря, теория шкал разрабатывается уже достаточно долго, исходя из потребностей и логики  развития физико-математических наук. В соответствии с этим отправной точкой теории шкал является положение о том, что свойство (свойства) объекта образуют дискретное множество, между элементами которого существует любого рода логические взаимосвязи. Тогда под шкалой измерений данного свойства понимают отображение элементов данного множества на систему условных знаков с аналогичными отношениями. Системами условных знаков могут являться множество обозначений (названий), например цветов; совокупность классификационных символов или понятий, баллов оценки состояния объекта, действительные числа. Таким образом, для установления шкалы измерений необходимо, как минимум, две предпосылки – описание дискретного множества и установления логической взаимосвязи между его элементами.

В настоящее  время в соответствии с логической структурой проявления свойств в  теории измерений принято различать  пять типов шкал измерений:

• шкала наименований (классификаций);
• шкала порядков (рангов);
• шкала разностей (интервалов);
• шкала отношений;
• Абсолютная шкала.

Шкала наименований – шкала, элементы (ступени) которой характеризуются только соотношениями эквивалентности (совпадения, равенства и сходства) конкретных качественных проявлений свойств( например, атлас цветов).

Измерения с помощью шкал наименований представляют собой процесс  сравнения исследуемого объекта  со шкалой и установления элементов  шкалы, совпадающих с объектом. В  шкалах наименований принципиально невозможно ввести единицы измерений и нулевой элемент (нулевую точку шкалы). Это чисто качественные шкалы. Они допускают проведение некоторых статистических операций при обработке результатов измерений, полученных с их помощью. Для создания шкалы наименований нет необходимости в эталонах, но если эталон шкалы наименований создан, то он воспроизводит весь применяемый на практике участок шкалы.

Шкала порядка (ранга) – шкала, элементы которой допускают логическую взаимосвязь элементов не только в виде отношений эквивалентности (как у шкал наименований), но и отношений порядка по возрастанию или убыванию количественного проявления измеряемого свойства (например, шкалы чисел твердости, баллов землетрясений, и силы ветра).

У шкал порядка (ранга) есть предпосылка для введения единицы измерения, но этого не удается сделать ввиду их абсолютной нелинейности. Также, как и для шкал наименований, для шкал порядка наличие эталонов не является необходимым. В них может быть или может отсутствовать нулевой элемент. Внесение любого изменения в шкалы наименований и порядка невозможно, так как это фактически обозначает создание новой шкалы.

Шкалы разностей (интервалов) – шкала, допускающая дополнительно к соотношениям эквивалентности и порядка суммирования интервалов (разностей) между различными количественными проявлениями свойств (например, шкалы времени, температуры Цельсия).

Шкалы разностей имеют  условные (принятые по соглашению) единицы  измерений и нулевые элементы, соответствующие характерным (реперным) значениям измеряемой величины. В этих шкалах допустимы линейные преобразования и процедуры статистической обработки результатов измерений.

Шкалы отношений  – шкалы, к множеству количественных проявлений которых применимы соотношения эквивалентности и порядка – операции вычитания и умножения (шкалы отношений первого рода – пропорциональные шкалы) и суммирования (шкалы отношений второго рода – аддитивные шкалы).

В шкалах отношений используются условные (принятые по соглашению) единицы  измерений и естественные нули (например, шкала термодинамической температуры (шкала первого рода); шкала массы (шкала второго рода)). Шкалы отношений допускают все арифметические и статистические операции.

Абсолютные шкалы  – шкалы, обладающие всеми признаками шкал отношений, но дополнительно в них существует естественное однозначное определение единицы измерений. Такие шкалы используются для измерений относительных величин, таких, как, например, коэффициент полезного действия. Абсолютные шкалы могут опираться на эталоны, воспроизводящие любые их участки, но могут быть построены и без эталонов.

Практическая реализация шкал измерений достигается посредством  стандартизации как самих шкал и  единиц измерений, так и способов и условий их воспроизведения.

 

4. Случайная погрешность.

О природе случайных погрешностей, их источниках и путях возникновения известно мало, можно лишь сказать, что существует много причин, вызывающих появление эти погрешностей. Каждая из них незаметно воздействует на результат воздействия, но суммарное их воздействие может вызывать заметные погрешности. В каждый данный момент эти причины проявляют себя по-разному, без закономерной связи между собой, независимо друг от друга. Как следствие, заметные погрешности появляются без закономерной связи с предыдущими и последующими погрешностями.

Теория вероятностей разрабатывает  математические методы изучения свойств  случайных событий в больших  совокупностях. Теория погрешностей, использующая математический аппарат теории вероятностей, основывается на аналогии между появлением случайных погрешностей при многократно повторяемых измерениях и совершением случайных событий. Недостаточное значение природы и происхождения случайных погрешностей не в коей мере не ограничивает эффективность применения вероятностных методов.

Случайной называют такую величину, которая в результате опыта может применять то или иное значение, неизвестно заранее – какое именно. Случайные величины, принимающие только отдельные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить, называются прерывными, или дискретными, случайными величинами. Такими величинами являются, например, возможное число очков при бросании кости, возможное число попаданий при ста выстрелах, возможное число горошин в одном килограмме. Величины, возможные значения которых не отделены друг от друга и непрерывно заполняют некоторый промежуток, называются непрерывными случайными величинами. Промежуток, который заполняют подобные величины, может иметь как резко выраженные границы, так и границы неопределенные, расплывчатые. Непрерывными случайными величинами являются длина отрезка линии, промежуток времени, интервал температуры.

Факторы, определяющие возникновение  случайных погрешностей проявляются  нерегулярно, в различных комбинациях  и с интенсивностью, которую трудно предвидеть. Случайная погрешность случайно изменяется при повторных измерениях одной и той же физической величины. Однако, если оперировать исправленными результатами измерений, т.е. такими, из которых исключены систематические погрешности, то чисто случайные погрешности будут обладать следующими свойствами:

• Равные по абсолютной величине положительные и отрицательные погрешности равновероятны;
• Большие погрешности наблюдаются реже, чем малые;
• С увеличением числа измерений одной и той же величины среднее арифметическое погрешностей стремится к нулю, и, следовательно, среднее арифметическое результатов измерений стремится к истинному значению измеряемой величины.

Фактическое значение случайной погрешности, полученное при поверки средства измерения, не характеризуют его точности. Для оценки интервалов значений погрешностей и вероятности появления определенных значений необходимы многократные измерения и использование математического аппарата теории вероятностей.

Наиболее универсальный  способ описания случайных величин  заключается в отыскании их интегральных или дифференциальных функций распределения.

Интегральной  функцией распределения F(x) называют функцию, значение которой для каждого х является вероятностью появления значений х_i ( в i-м наблюдении), меньших х:

F (x)=P{x_i ≤x}=P {-∞<x_i≤x},

где Р – символ вероятности события, описание которого заключено в фигурных скобках.

Обычно график интегральной функции распределения  результатов наблюдений представляет собой непрерывную неубывающую кривую, начинающуюся от нуля на отрицательной бесконечности и асимптотически приближающуюся к единице при увеличении аргумента до плюс бесконечности.

Если интегральная функция имеет точку перегиба при значении х, близком к истинному значению измеряемой величины, и принимает в этой точке значение, равное 0,5, то говорят о симметричности распределения результатов.

Более наглядным  является описание свойств результатов  наблюдений, содержащих случайные погрешности, с помощью дифференциальной функции распределения, иначе называемой плотностью распределения вероятностей:

р(х)=

Поскольку F (x = + ∞) =1, то , то есть площадь, заключенная между кривой дифференциальной функции распределения и осью абсцисс, равна единице. Вероятность попадания случайной величины х в заданный интервал (х₁; х₂) равна площади, заключенной между абсциссами х₁ и х₂:

Р {x₁<x<x₂}=

Отыскание функций  распределения требует проведения весьма трудоемких исследований и вычислений. На практике встречаются трапециидальные,  уплощенные, экспоненциональные и другие виды распределений. Однако для наибольшего числа встречающихся на практике случайных величин можно ожидать распределение по так называемому закону нормального распределения.

Теоретически  доказано, что распределение случайных  погрешностей будет близко к нормальному  всякий раз, когда результаты наблюдений формируются под действием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных.

Плотность нормального  распределения вероятностей для  случайной величины описывается  уравнением

Р (х)=

^- , где

m_x  и - математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, являющиеся основными параметрами нормального распределения; е – основание натурального логарифма.

Кривая имеет  точки перегиба, соответствующие  абсциссам m_х .

Если данную кривую рассматривают как плотность  распределения случайных погрешностей, то начало координат переносят в центр распределения и по оси абсцисс откладывают значения погрешностей m_x. Уравнение принимает вид

Р(

)=

Математическое  ожидание случайной величины m_x= ² P(x)dx представляет собой оценку истинного значения измеряемой величины. Математическое ожидание случайных погрешностей равно нулю.

Дисперсия результатов наблюдений является характеристикой их рассеивания:

D(x)=

Она имеет размерность  квадрата измеряемой величины и не всегда удобна для использования в качестве характеристики рассеивания.

Среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений имеет размерность измеряемой величины и наиболее часто используется в качестве основного параметра, характеризующего рассеивание результатов измерений.

Если абсцисса функций нормального распределения  выражается в долях среднего квадратического  отклонения

t=

 и начало  координат находится в центре  распределения, то распределение  называется нормированным. Уравнения дифференциальной и интегральной функций нормированного нормального распределения принимают следующий вид:

P(t)= F(t)=dt

Определенный  интеграл

Ф(t)=

Называют функцией Лапласа. Заметим, что F(t)-Ф(t)=0,5.

В производственной практике часто считается необходимым выполнение следующего условия: допустимое предельное отклонение от заданного номинального размера должно быть не меньше интервала . В этом случае в среднем только одно из 370 изделий будет бракованным.

Область технологического рассеивания какого-либо размера  изделия, как правило, подчиняется  нормальному закону, и периодически определяемое отклонение является показателем  изменений в технологическом  цикле.