Екінші ретті қисықтар (парабола)

Қазақстан Республикасының Білім және Ғылым министрлігі

Шәкәрім атындағы Семей мемлекеттік университеті

Қаржы-экономика  факультеті

Экономика және бизнес кафедрасы

Жоғарғы математика пәні

 

 

 

 

 

 

 

Тақырыбы: Екінші ретті қисықтар (парабола)

Екінші  ретті беттер (конус)

Орындаған: Уразбекова С.

Тексерген: Ракишева Д.С.

 

 

 

Семей қаласы

2012 жыл

Мазмұны

1. Кіріспе
2. Парабола туралы түсінік
3. Конус - екінші ретті бет
4. Парабола мен конус күнделікті өмірде
5. Пайдаланған әдебиттер

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Парабола

Парабола(грек. Parabole) – тік дөңгелек конустың төбесі арқылы өтпейтін және кез келген жанама жазықтығына параллель болатын жазықтықпен сол конустың қиылысу сызығы. Парабола – жазықтықтың М(х, у) нүктелер жиыны, осы жиыннан F(p/2,0) анықталған нүктесіне дейінгі ара қашықтық r=FM (Парабола фокусы) D1D1 анықталған түзуіне дейінгі ара қашықтыққа (d=DM) тең (Парабола директрисасы). Фокус арқылы өтетін, директрисаға перпендикуляр болатын түзу Парабола осі, ал осьтің Парабола мен қиылысу нүктесі Парабола төбесі деп аталады.

Бас нүктесі Парабола ның төбесінде жатқан және Ох осі директрисадан фокусқа қарай бағытталған тік бұрышты координаттар жүйесіндегі Параболаның теңдеуі мынадай канондық түрде жазылады: у2=2px, мұндағы р (фокустық параметр)– фокус пен директрисаның ара қашықтығы немесе фокус арқылы өтетін оське перпендикуляр хорда ұзындығының жартысы. Парабола – екінші ретті сызық. Ол өз осіне қарағанда симметриялы болатын шексіз созылып жатқан қисық сызық. Кейде n-ретті Параболаны y=axn дәрежелі функциясының графигі деп те атайды. Параллель хордалардың ортасы арқылы өтетін түзу Параболаның диаметрі деп аталады. Параболаның Мнүктесіндегі ТМ жанамасы мен MN нормалі FM фокустық радиус-векторы мен DM диаметрі арасындағы бұрыштың биссектрисасы болып табылады. М(х, у) нүктесіндегі Парабола қисықтығының радиусы формуласымен есептеледі, ал төбесінде R=p. Параболаның осы қасиеті прожекторлық құрылғыларда пайдаланылады. Полярлық координаттар жүйесінде Парабола теңдеуі , ал вертикаль осьті Параболаның теңдеуі y=ax2+bx+c түрінде болады. Парабола аталуын Апполоний Пергский (б.з.б. 200 ж.ш.) Параболаны конустық қималардың бірі ретінде қарастыра отырып енгізген.

 

Парабола. Екінші ретті сызықтарға жанама.

  Парабола деп фокус деп аталатын берілген нүктесіне дейінгі ара қашықтығы нүктесі арқылы өтпейтіндей берілген түзуіне дейінгі ара қашықтыққа тең жазықтықтағы нүктелер жиынын айтамыз.

 нүктесінен  директрисасына дейінгі ара қашықтық параметр деп аталады және  әрпімен белгіленеді.

Координат жүйесін келесі жолмен таңдап аламыз. абсцисс осін фокусы арқылы директрисаға перпендикуляр және -дан -ке қарай бағыттап жүргіземіз, ал ординатын фокус пен директрисаны қосатын кесіндінің ортасынан осіне перпендикуляр етіп жүргіземіз. Таңдап алынған координат жүйесінде директрисаның теңдеуі, ал фокусы болады.

  - параболаның кез келген  нүктесі болсын. Онда анықтама  бойынша  . Координатқа көшіріп

теңдеуіне келеміз. Теңдіктің  екі жағын да квадраттап біраз  түрлендіргеннен кейін параболаның төмендегідей канондық теңдеуіне келеміз:

. 

 

 

   

 

                                                                   

 

Параболаның қасиеттері.

1. Параболаның кез келген нүктесінің абсциссасы әрқашан да нөлден үлкен.

2. Парабола координат басы арқылы өтеді.

3.  Парабола абсцисса осіне қарағанда симметриялы.

4.   абсциссасы өскен сайын  ординатасы абсолюттік шамасы бойынша өседі. 

 

 

 

 

Параболаға жүрігзілген жанамалар. 

 

Қисықтың  нүктесінен жүргізілген жанамасы деп нүктесі -ға шексіз ұмтылған кездегі қимасының шектік қалпын айтамыз . Қисық теңдеуі арқылы берілсін. - нүктесіне жақын жатқан қисықтың бір нүктесі болсын. Онда қиманың түрі мынадай:

,

мұндағы - қисықтың бұрыштық коэффициенті.

Егер  болса, онда

Бұл жағдайда жанама теңдеуі

.

Сол сияқты қисықтың теңдеуі  болса, онда нүктесіндегі жанама теңдеуінің түрі

.

Параболаға жүргізілген  жанама теңдеуін түрінде жазайық. Онда екінші жағдай үшін жанама теңдеуін қолданып немесе  теңдеуін аламыз. Мұндағы нүктесі параболада жатқандықтан жанама теңдеуі

түріне оңай келтіріледі.

 

           Екінші ретті беттер

 

           Екінші ретті беттер деп, координаталар  жүйесінде екінші дәрежелі теңдеулермен  берілетін беттерді айтады.

           Екінші ретті беттердің қасиеттері  техникада, құрылыс негіздерінің  конструкцияларында сонымен бірге  күн сәулесінің қуатын от қуатына  айналдыру мақсатында қолданылады.

   Мысалы, шағылыстыру  айналары, түрлі прожекторлар параболоидтың  қасиеттеріне, ал бір қуысты гиперболоидтың  түзу сызықты жасаушылары болу  қасиеттерін құрылыста қолданады.  Ал сфералық айналарды қолданып, өмірдің түрлі қажетіне пайдаланады.

3.Конус. Конус деп берілген нүктеден өтетін және бағыттаушы қисықтың бойымен жылжитын жасаушы түзудің үздіксіз қозғалысынан шығатын бетті айтады.

  Конустың бағыттаушысы  эллипс, ал жасаушы түзуі координаталардың бас нүктесінен өтсін. Сонда конустың теңдеуі:

 болады.Мұндағы z=c конусты  XOY жазықтығына параллель қиып  өтетін жазықтық. Ал егер a=b болса,  онда конустың перпендикулярлық  қимасы шеңбер болады:

- айнымалы концстың теңдеуі. 

Егер a=b=c  болса, онда мынандай конус шығады:

 Төбесі координаталардың бас нүктесінде апликата осіне симметриялы екінші ретті конустық беттің теңдеуі.

 Дәл осындай қалған  екі оське симметриялы конустық  беттің теңдеулері мынандай болады:

 

Қосымша ақпарат

 Параболалық орбита мен серіктің  сонымен қозғалуы 

Баскетбол добының құлауы

 

 

 Калифорниядағы параболалық пішіндегі Күн станциясы

Параболалық су ағынының траекториясы

 

 

 Сұйығымен айланып тұрған  ыдыс

 

Жол кедергісі

  Стефан Августиннің "Су конусы"

Конус-фиксатор

http://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%B0

http://lib.kazita.kz/matem/htmls/lection10.html