Движение.
Движение плоскости - это отображение
плоскости на себя, которое сохраняет
расстояния между точками.
Центральная и осевая симметрия.
Определение. Симметрия (означает «соразмерность»
) — свойство геометрических объектов
совмещаться с собой при определенных
преобразованиях. Под симметрией понимают
всякую правильность во внутреннем строении
тела или фигуры.
Симметрия относительно точки — это центральная
симметрия , а симметрия относительно прямой —
это осевая симметрия .
Симметрия относительно точки предполагает,
что по обе стороны от точки на одинаковых
расстояниях находится что-либо, например
другие точки или геометрическое место
точек (прямые линии, кривые линии, геометрические
фигуры).
Если соединить прямой симметричные
точки (точки геометрической фигуры) через
точку симметрии, то симметричные точки
будут лежать на концах прямой, а точка
симметрии будет ее серединой. Если закрепить
точку симметрии и вращать прямую, то симметричные
точки опишут кривые, каждая точка которых
тоже будет симметрична точке другой кривой
линии.
Симметрия относительно прямой (оси симметрии)
предполагает, что по перпендикуляру,
проведенному через каждую точку оси симметрии,
на одинаковом расстоянии от нее расположены
две симметричные точки. Относительно
оси симметрии (прямой) могут располагаться
те же геометрические фигуры, что и относительно
точки симметрии.
Линия осевой симметрии, вертикальна,
и горизонтальные края листа перпендикулярны
ей. Т. е. ось симметрии служит перпендикуляром
к серединам горизонтальных ограничивающих
лист прямых. Симметричные точки (R и F,
C и D) расположены на одинаковом расстоянии
от осевой прямой — перпендикуляра к прямым,
соединяющим эти точки. Следовательно,
все точки перпендикуляра (оси симметрии),
проведенного через середину отрезка,
равноудалены от его концов; или любая
точка перпендикуляра (оси симметрии)
к середине отрезка равноудалена от концов
этого отрезка.
Поворот.
Поворотом на плоскости около
данной точки называется такое движение,
при котором каждый луч, исходящий из этой
точки, поворачивается на один и тот же
угол в одном и том же направлении. Угол
на который поворачивается фигура, относительно
точки, называется углом поворота.
Поворот
плоскости вокруг центра O на
угол
Обозначение:
или
Свойство поворотов:
(n - целое).
Композиция поворотов: (тождественное
преобразование).
Координатные формулы
поворота на угол
Если
и
то при повороте вокруг точки
:
при повороте вокруг точки
Параллельный перенос.
Параллельный перенос-
это такое отображение плоскости на себя,
при котором каждая точка плоскости А
отображается в такую точку А1 ,что
АА1=а.
Свойство параллельного
переноса:
Параллельный перенос-движение
При параллельном переносе
прямая проходит либо в параллельную прямую,
либо в себя.
Определение гомотетии.
Гомотетией с центром в точке O и коэффициентом k
называется такое преобразование плоскости,
при котором любая точка A переходит в
точку A' такую, что
=
.
Из определения гомотетии следует,
что при k = 1 гомотетия является тождественным
преобразованием.
При k = -1 гомотетия становится
центральной симметрией.
Две гомотетии с центром в O и коэффициентами
k и
являются взаимно обратными.
Это означает, что если одна из них переводит
точку A в точку A', то другая переводит
A' в A.
(На рисунке: треугольник
АВС - фиксированный, Расположение точки
О (центра гомотетии) и коэффициент гомотетии
k можно менять. Треугольник А'В'С' - образ
треугольника АВС при соответствующей
гомотетии.