Дифференциальные уравнения

б) если характеристическое уравнение  имеет 1 корень, то уравнение имеет  решение

где С₁, С₂ -  некоторые числа.

в) если уравнение не имеет действительных корней, то

 С₁, С₂ - некоторые числа.

Пример 1: Решить уравнение y”-3y’+2y=0

Решение: Составляем характеристическое уравнение и решаем его.

Отсюда, общее решение имеет  вид

Пример 2: Решить уравнение y”-2y’+y=0

Решение:

Пример 3: Решить уравнение y”-2y’+2y=0

Решение:

уравнение не имеет решений Þ

 

 

Линейные  неоднородные дифференциальные уравнения 2^го порядка

 с постоянными  коэффициентами

 

Определение: Линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2^го порядка с постоянными коэффициентами называют уравнение вида

y”+py’+gy=r,  (1)

где p,g-const., r(x)-некоторая функция.

ТЕОРЕМА:  Общее решение неоднородного уравнения (1) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения

y”+py’+gy=0

и частного решения данного неоднородного  уравнения.

Т.к. способ нахождения общего решения однородного уравнения известен, то остается найти частное решение соответствующего неоднородного уравнения.

Для нахождения частного решения применяют  обычно метод неопределенных коэффициентов(метод  вариации произвольных постоянных).

1. Находим общее решение однородного уравнения:

у=С₁у₁(х)+С₂у₂(х)

2. Находим решение уравнения в виде

у=С₁(х)у₁(х)+С₂(х)у₂(х),

где С₁(х),С₂(х)-функции независимой переменной, которые могут быть найдены из решения системы

С₁’y₁+C₂’y₂=0

C₁’y₁’+C₂’y₂’=к

Пример: Решить уравнение y”-3y’+2y=e^x

Решение:

а) у²-3у+2=0

у₁=2,у₂=1

у=С₁е^2х+С₂е^х-общее решение однородного уравнения.

б) Составим систему:

 С₁’*e^2x+C₂’e^x=0                        C₁’e^2x+C₂’e^x=0                      

C₁’*2e^2x+C₂’e^x=e^x                               C₁’e^2x=e^x

                                                 

C₁’=

-уравнение с разделяющимися переменными

                          

 

Решение задач

 

1. y”-2y’-8y=0                     (y=C₁e^4x+C₂e^-2x)
2. y”-6y’+9y=0                    (y=e^3x(C₁+C₂x)
3. y”-6y’+13y=0                  (y=e^3x(C₁cosx2x+C₂sin2x)  
4. y”-5y’+6y=e^x                            (y=C₁e^3x+C₂e^2x+ e^x)

Решение: решим уравнение y”-5y’+6y=0

          у=С₁е^2х+С₂е^3х-общее решение однородного уравнения.

   C₁’e^2x+C₂’e3x=0             Þ              C₁’e^2x+C₂’e^3x=0           

C₁’2e^2x+C₂’3e^3x=e^x                                          C₂’e^3x=e^x

     

 -C₁’e^2x=C₂’e^3x                                    C₂’=e^-2x 

C₂’=-C₁’e^x                                          C₂=

Метод вариации произвольных постоянных достаточно сложен, поэтому в ряде случаев используют другие методы решения. Сначала находят общее решение однородного дифференциального уравнения, а затем частное решение неоднородного уравнения. При этом частное решение неоднородного уравнения устанавливается по виду правой части уравнения и задача сводится к отысканию коэффициентов этого частного решения.

 

 

 

 

 

 

Частные случаи

 

1. Правая часть уравнения  y”+py’+gy=r(x) (1)

есть показательная  функция r(x)=ae^ax, где а, a- некоторые действительные числа.

Частное решение уравнения (1) следует искать в виде

Z=C₀x^se^ax,

где С₀-неопределенный коэффициент; s-показатель кратности значения х=a, как корня характеристического многочлена.

Далее находим Z’ и Z” и подставляем эти выражения в данное уравнение.

Пример 1: y”-3y’+2y=2e^3x. Найти частное решение дифференциального уравнения.

Решение: здесь a=3.

Найдем корни характеристического  уравнения.

Þ частное решение можно записать в виде

Z=C₀x⁰e^3x=C₀e^3x

Þ Z’=3C₀e^3x, Z”=9C₀e^3x

Подставим Z,Z’,Z” в уравнение

9C₀e^3x-3·3C₀e^3x+2C₀e^3x=2e^3x

2C₀e^3x=2e^3x

C₀=1Þ частное решение Z=e^3x

Пример 2: Найти частное решение уравнения y”-2y’+y=6e^x

Решение: Здесь a=1

Найдем корни характеристического  уравнения.

l=1 является корнем кратности 2.

Þ S=2Þ частное решение Z=C₀x²e^ax

т.е. Z=C₀x²e^x

Z’=C₀ (x2e^x+x²e^x)=2C₀xe^x+C₀x²e^x

Z”=2C₀(e^x+xe^x)+C₀(2xe^x+x²e^x)=

=2C₀e^x+2C₀xe^x+2C₀xe^x+C₀x²e^x=

=2C₀e^x+4C₀xe^x+C₀x²e^x

Подставим Z,Z’,Z” в данное уравнение

2C₀e^x+4C₀xe^x +C₀x²e^x-4C₀xe^x-2C₀x²e^x+C₀x²e^x=6e^x

2C₀e^x=6e^x

C₀=3Þ частное решение Z=3x²e^x

Пример 3: Найти частное решение уравнения y”-3y’+2y=e^2x

Решение: Здесь a=2

Найдем корни характеристического  уравнения.

значение a совпадает с одним из значений l.

Þ S=1Þ частное решение будем искать в виде

Z=C₀xe^2x

Найдем Z’,Z”

Z’=C₀(e^2x+x2e^2x)=C₀e^2x+2C₀xe^2x

Z”=2C₀e^2x+2C₀(e^2x+x2e^2x)=

=2C₀e^2x+2C₀e^2x+4C₀xe^2x=

=4C₀e^2x+4C₀xe^2x

Подставим Z,Z’,Z” в уравнение

4C₀e^2x+4C₀xe^2x-3C₀e^2x-6C₀xe^2x+2C₀xe^2x=e^2x

C₀e^2x=e^2x

C₀=1Þ частное решение Z=xe^2x

2). Правая часть уравнения  является многочленом степени n, т.е. имеет вид:

r(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ, где а₀, а₁,…, а_nÎR,а_n¹0.

Тогда частное решение  следует искать в виде

Z=(C₀+C₁x+…+C_nxⁿ)x^s

Т.е. в виде произведения многочлена той же степени n на х^s,

где S=0, если g¹0

       S=1,если g=0 и p¹0

       S=2,если g=p=0

Пример 4: Найти частное решение уравнения y”-3y’=1+6x

Решение:

По сформулированному  правилу частное решение будем  искать в виде

Z=(C₀+C₁x)x^s,где S=1, т.к. g=0, а р¹0

Þ Z=(C₀+C₁x)x¹=C₀x+C₁x²

Найдем С₀ и С₁ для этого найдем Z’,Z”

Z’=C₀+2C₁x

Z”=2C₁

Т.к. Z- решение уравнения, то С₀ и С₁ должны быть такими, что равенство

Z”-3Z’=1+6x,

т.е.

2С₁-3C₀-6C₁x=1+6x

(2C₁-3C₀)-6C₁x=1+6x

Þ получаем систему

2С₁-3C₀=1         C₁=1                           C₁=-1

-6C₁=6               2*(-1)-3C₀=1              C₀=-1

Þ частное решение имеет вид

Z=-x-x²

3). Правая часть уравнения  имеет вид:

r(x)=acosxbx+bsinbx,

где a,b,bÎR,b¹0

Тогда частное решение следует  искать в виде

Z=x^s*(C₀cosbx+C₁sinbx),

Где S=1, если р=0,

       S=0, в остальных случаях.

Пример 5:   Найти частное решение уравнения y”-3y’+2y=sinx

Решение: Частное решение имеет вид

Z=x^s(C₀cosx+C₁sinx)

Здесь S=0, т.к. р¹0 Þ Z=C₀cosx+C₁sinx

Найдем Z’,Z”

Z’=-C₀sinx+C₁cosx

Z”=-C₀cosx-C₁sinx

Подставим в уравнение 

-С₀cosx-C₁sinx+3C₀sinx-3C₁cosx+2C₀cosx+2C₁sinx=sinx

(C₀cosx-3C₁cosx)+(C₁sinx+3C₀sinx)=sinx

(C₀-3C₁)cosx+(C₁+3C₀)sinx=sinx

Учитывая, что sinx=0*cosx+1*sinx получим систему

 С₀-3С₁=0              С₀=3С₁               С₀=3С₁          С₀=0,3          

3С₀+С₁=1             9С₁+С₁=1           С₁=0,1           С₁=0,1

Þ частное решение имеет вид Z=0.3cosx+0.1sinx

Замечание: Если правая часть уравнения является суммой некоторых функций, т.е.

r(x)=r₁(x)+r₂(x)+…+r_k(x),

то для нахождения частного решения такого уравнения  достаточно сложить частные решения Z_i уравнений:

y”+py’+gy=r_i(x),

т.е.  Z=Z₁+Z₂+…+Z_k

Пример 6: Решить уравнение Y”-3y’+2y=2e^3x+e^2x+sinx

Решение: Найдем общее решение однородного уравнения y”-3y’+2y=0

Частное решение будет  равно сумме частных решений уравнений

y”-3y’+2y=2e^3x            Z₁=e^3x

y”-3y’+2y=e^2x        т.е.     Z₂=xe^2x

y”-3y’+2y=sinx           Z₃=0.3cosx+0.1sinx

Þ Z=e^3x+xe^2x+0.3cosx+0.1sinx

y=y+Z=C₁e^x+C₂e^2x+e^3x+xe^2x+0.3cosx+0.1sinx