Дифференциальные уравнения в биологии и медицине: динамика численности популяции. Процесс передачи инфекции в период эпидемии

«Дифференциальные уравнения в биологии и медицине: Динамика численности популяции. Процесс передачи инфекции в период эпидемии».

             
 

Содержание. 
 

Введение

1. Биологические и медицинские понятия

1.1. Понятие  популяции.

1.2. Факторы, регулирующие численность популяции.

1.3. Инфекционные  заболевания и эпидемии.

2. Дифференциальные уравнения.

          2.1. Определение дифференциальных  уравнений и их классификация.

          2.2. Дифференциальные уравнения в биологии и медицине.

          2.3. Процесс передачи инфекции и эпидемии.

Задачи

Заключение

Список литературы. 
 
 
 

    Введение 

    Математические  методы всегда являлись важным инструментом при исследовании вопросов медицинского и биологического характера. Есть множество математических способов позволяющих описать те или биологические процессы. Один из них решение дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения используются не только в биологии и медицине, но и многих других науках, таких как физика, экономика, техника. С их помощью описываются практически любые задачи динамики машин и механизмов.

    Данный  реферат посвящен способам измерения  изменений, происходящих в популяции: динамике численности и процессу передачи  инфекции во время эпидемии. В первой части реферата раскрываются некоторые биологические и медицинские  понятия, во второй дается описание дифференциальных уравнений. 

1. Биологические и медицинские  понятия.

 

    1.1 Понятие популяция.

    Популяция это совокупность особей одного вида, занимающих определенный ареал, свободно скрещивающихся друг с другом, имеющих общее происхождение, генетическую основу и в той или иной степени изолированная от других популяций данного вида.

    Динамика численности особей и механизмы ее регулирования являются одними из важнейших свойств популяции. Всякое значительное отклонение численности особей от оптимальной связано с отрицательными последствиями для ее существования. В связи с этим популяции обычно имеют адаптационные механизмы, способствующие как снижению численности, если она значительно превышает оптимальную, так и ее восстановлению, если она уменьшается ниже оптимальных значений.

    1.2. Факторы, регулирующие численность популяции.

    В целом можно выделить две динамики популяций: независимую от плотности (численности) ее особей и зависимую от плотности.

    Независимый от плотности тип изменения численности обусловливается в основном абиотическими факторами (погодные явления, наличие пищи, различного рода катастрофы и т.п.). Эти факторы могут обеспечивать условия как для неограниченного, хотя и кратковременного, роста популяций, так и для снижения их численности до нуля. Группы этих факторов обычно называют модифицирующими.

    Зависимая от плотности динамика популяций  зависит от биотических факторов. Их называют регулирующими. Они "работают" по принципу обратной отрицательной связи: чем значительнее численность, тем сильнее срабатывают механизмы, обусловливающие ее снижение, и, наоборот – при низкой численности сила этих механизмов ослабевает, и создаются условия для более полной реализации биотического потенциала. Факторы такого типа лежат в основе популяционного гомеостаза, обеспечивающего поддержание численности в определенных границах значений.

    К числу регулирующих факторов относится, в частности, взаимоотношение организмов типа хищник – жертва. Высокая численность  жертвы создает условия (пищевые) для  размножения хищника. Последний, в свою очередь, увеличив численность, снижает количество жертвы. Также к регулирующим факторам можно отнести инфекционные заболевания и эпидемии. При большой численности популяции они быстро распространяются и также способствуют снижению численности, оставляя после себя самых приспособленных. 

    1.3. Инфекционные заболевания и эпидемии.

    Инфекционные  заболевания — это группа заболеваний, вызываемых проникновением в организм патогенных (болезнетворных) микроорганизмов

    Эпидемия - широкое распространение какого-либо инфекционного заболевания. Эпидемический процесс заключается в непрерывной передаче возбудителя инфекции в коллективе. Для возникновения эпидемического процесса необходимы три фактора (или условия):

• источник возбудителя инфекционного процесса
• механизмы его передачи
• восприимчивые к заболеванию люди.

    Существует 2 способа изучения эпидемий. Изучение больших групп и изучение малых  групп. Теория больших групп занимается общим исследованием характера  возникновения эпидемий в целом  сообществе или в больших популяциях и рассматривает довольно упрощенные модели распространения эпидемий в  весьма упрощенной форме. Основное значение этих исследований состоит в том, что они связаны с работой  органов общественного здравоохранения. Теорию малых групп можно разработать  более детально. Она позволяет  не только составлять общие прогнозы возможного развития той или иной эпидемии среди группы школьников или  в семье, но и получать информацию по вопросам, имеющим  конкретное клиническое или биологическое значение (например, продолжительность заразного или латентного периода).

2. Дифференциальные  уравнения.

    2.1. Определение дифференциальных уравнений и их классификация.

    Дифференциальные  уравнение для функции x (t) это уравнение содержащее производные x (t) по времени t. Порядок дифференциального уравнения определяется как наивысший порядок производных, встречающихся в записи уравнения.

    Примеры дифференциальных уравнений:

    Простейшие  модели роста популяции можно  выразить с помощью линейных дифференциальных уравнений первого порядка. К  примеру, если предположить, что необходимые  популяции ресурсы находятся  в изобилии, то скорость роста будет  пропорциональна размеру популяции. И это предположение можно  выразить уравнением  , где a –постоянная.

    Уравнение служит примером линейного дифференциального уравнения.  Дифференциальное уравнение называется линейным, если уравнения в членах, содержащих функцию х (t) и ее производные, они встречаются только в первой степени и нет членов, содержащих произведение функции на ее производную (таких, как ). В линейном уравнении отсутствуют такие члены, как, например и.т.п. Когда имеются подобные члены, уравнение называют нелинейным.

    Примеры линейных уравнений:

    Примеры нелинейных уравнений:

 

    Общий вид линейного дифференциального  уравнения первого порядка:

     (*) 

    Это уравнение называется однородным, если f(t)=0 при всех t. В противном случае оно называется неоднородным. Если коэффициент а (t) постоянный, то уравнение (*)называют уравнением с постоянными коэффициентами. 

    2.2. Дифференциальные уравнения в биологии и медицине.

    Одной из самых знаменитых математических моделей, описывающих биологические сообщества является модель Лотки-Вольтерры. Она описывает популяцию, состоящую из двух взаимодействующих видов. Первый из них, именуемый хищниками, при отсутствии второго вымирает по закону

    а второй — жертвы — при отсутствии хищников неограниченно размножается. Взаимодействие двух этих видов моделируется так. Жертвы вымирают со скоростью, равной числу встреч хищников и жертв, которое в данной модели предполагается пропорциональным численности обеих популяций, т. е. равной dxy (d > 0). Поэтому

    Хищники же размножаются со скоростью, пропорциональной числу съеденных жертв:

    Система уравнений

    описывающая такую популяцию хищник — жертва и называется системой (или моделью) Лотки — Вольтерры.

    Модель  Лотки-Вольтерры имеет один недостаток. Она не учитывает совокупность всех факторов действующих на популяцию.

      Этого недостатка лишена модель  Холлинга — Тэннера, учитывающая большее число реальных факторов. В этой модели скорость изменения популяции хищников задается выражением ax – bx2/y = x(a – bx/y). Оно выбрано из следующих соображений. Когда пищи (жертв) много (y ≈ +∞), популяция хищников растет по правилу Мальтуса с показателем a. С уменьшением числа жертв скорость роста популяции хищников падает и при y < bx/a становится отрицательной. Скорость изменения популяции жертв состоит из трех компонент. Первый член cy соответствует закону Мальтуса, второй –dy2 описывает внутривидовую конкуренцию и вызван ограниченностью ресурсов экологической ниши, занимаемой популяцией жертв. При отсутствии хищников жертвы подчиняются уравнению

    Наконец, третий компонент скорости изменения  популяции жертв в модели Холлинга — Тэннера описывает ее взаимодействие с хищниками и имеет вид –pxy/(q + y) (p, q > 0).

 
 
 

    2.3.Процесс передачи инфекции и эпидемии.

    Дана  изолированная популяция. Особи популяции делятся на три класса. Инфицированный класс численностью x(t) (t - время) состоит из инфицированных (заболевших) особей, каждая из этих особей заразна (предполагается, что инкубационный период заболевания пренебрежимо короток). Второй класс численностью y(t) составляют восприимчивые особи, т. е. особи, которые могут заразиться при контакте с инфицированными особями. Третий класс состоит из невосприимчивых особей (приобретших иммунитет или погибших в результате заболевания). Его численность обозначается z(t). Предполагается также, что общая численность популяции n постоянна (т. е. не учитываются рождения, естественные смерти и миграция). Две гипотезы, лежащие в основе модели таковы:

    1) заболеваемость в момент времени t равна x(t)y(t) (эта гипотеза основывается на правдоподобном предположении, что число заболевающих пропорционально числу встреч между больными и восприимчивыми особями, которое в свою очередь в первом приближении пропорционально x(t)y(t)); таким образом численность класса x растет, а численность класса y убывает со скоростью ax(t)y(t) (a > 0);

    2) численность становящихся невосприимчивыми особей (приобретших иммунитет или погибших) растет со скоростью, пропорциональной численности заболевших, т. е. со скоростью bx(t) (b > 0). В результате мы получаем систему уравнения

 
 
 
 

    Задачи:

    Пример 1.

    Популяция бактерий растет так, что скорость ее роста в момент t (время выражается в часах) равна размеру популяции, поделенному на 10. Описать этот процесс роста дифференциальным уравнением. Каков порядок этого уравнения?