Численные методы

 

 

Пример 1. Пользуясь интерполяционной формулой Лагранжа, составить уравнение прямой, проходящей через точки , если

Решение. В данном случае многочлен Лагранжа примет вид

 

Уравнение искомой прямой есть

 

2. Интерполяционный многочлен Ньютона

 

Первый интерполяционный многочлен Ньютона 

 

Первый интерполяционный многочлен Ньютона:

 

где  

 

Многочлен (3.3) называется первым интерполяционным многочленом Ньютона .

При n=1 и n=2 из формулы (3.3) получаем частные случаи:

линейная интерполяция

 

 

 

квадратичная интерполяция

 

Пример 2. По данной таблице значений найти функцию

x	y	Δy
2,70	0,3704	-0,0028
2,72	0,3676	-0,0026
2,74	0,365

Решение. Используя формулу (3.3) при n=1получим

 

 

 

Второй интерполяционный многочлен  Ньютона

 

Отличие второго интерполяционного многочлена Ньютона от (3.3), предусматривает поочередное подключение узлов в обратном порядке: сначала последний, потом предпоследний и т.д. и имеет вид:

 

 

 

+                          (3.4)

где  

Ее также целесообразно использовать при значениях , т.е. в окрестности узла для интерполирования назад (при q ∈ (-1, 0)) и экстраполирования вперед (при q > 0).

Пример 3. Используя таблицу значений функции y = sinx, требуется найти приближенные значения : а) sin 33; б) sin 41; в) sin 48; г) sin 54, записав предварительно соответствующие каждому случаю интерполяционные формулы.

Решение. Составив таблицу разностей таблица 3.2, видим, что третьи разности практически постоянны. Поэтому в формулах достаточно взять четыре члена.

а)  Для вычисления имеем

 

По первой интерполяционной формуле (3.3) и учитывая данные из таблицы, получим

 

б) Для вычисления , имеем точку расположенную в конце узла, поэтому для экстраполяции функции здесь однозначно следует применить вторую  интерполяционную формулу Ньютона (3.4). Считая   записываем формулу экстраполяции с учётом

 

 

 

Таблица 3.2

x (в градусах)	x (в радианах)	y	Δy	Δy2	Δy3
30	0,5236	0,5000
			0,0736
35	0,6109	0,5736		-0,0044
			0,0692		-0,0005
40	0,6981	0,6428		-0,0049
			0,0643		-0,0005
45	0,7854	0,7071		-0,0054
			0,0589		-0,0003
50	0,8727	0,7660		-0,0057
			0,0532
55	0,9599	0,8192

 

3. Метод наименьших квадратов

 

В дальнейшем  табличные данные из таблицы 3.1 называются статистическими (экспериментальными) и на основе этих данных должна быть получена функция, связывающая переменных и :

                                       .

Для определения такой функции  необходимо решить две задачи, называемые двумя основными задачами статистики:

- определение общего вида аппроксимирующей  функции  может включать в себя неизвестные параметры, например, общий вид линейной функции зависит от двух параметров, а общий вид квадратичной функции - от трех параметров и т.д. ;

- определение конкретного вида  функции, когда определены значения  неизвестных параметров  и или

Первая задача решается феноменологическим методом, исходя из интуиции исследователя и заданной таблицы значений аргумента и функции . Для решения второй задачи используется метод наименьших квадратов.

 

Суть метода наименьших квадратов

 

Рассмотрим  метод нахождения параметров приближающей функции в общем виде  на примере  приближающей функции с тремя  параметрами:

                                                                                        ( 3.5)

Имеем  Сумма квадратов разностей соответствующих значений функций будем иметь вид:

 

Задача  сводится к отысканию минимума.  Используем необходимое условие экстремума:

 

т.е.

 

 

                                             (3.6)

 

 

Из  системы линейных уравнений (3.6) определяются  коэффициенты а,b,c и получаем конкретный вид искомой функции

Рассмотрим самый простой случай аппроксимации, когда в качестве  аппроксимирующей функции рассматривается линейная функция . Этот случай называется линейной аппроксимацией. Тогда функция имеет следующий вид

 

где и – неизвестные параметры, а условие минимума

 

 

После простых преобразований можно  получить систему двух уравнений с двумя неизвестными и

 

 

Решая эту систему, можно получить значения неизвестных параметров и

 

где

 

 

2. Индивидуальные задания

 

В заданий 1 по заданной таблице 3.2 значений функции составить формулу интерполяционного многочлена, вычислить значение функций, и начертите графики таблицы и найденного многочлена:

1. формула Лангранжа;
2. формула Ньтона;
3. метода наименьшего квадрата.

Построить график и отметить на нем узловые точки. В заданий 2 вычислить значение функции и построить график.

 

Таблица 3.2

	Задание 1								Задание 2
№1	x	10.5	11	11.5	12	12.5	13	13.5
	y	4	6	10	40	20	12	8	100
№2	x	12.5	13	13.5	14	14.5	15	15.5	7.8
	y	5	15	40	25	8	4	1
№3	x	10	11	12	13	14	15	16	1200
	y	8	10	60	12	5	3	2
№4	x	45	50	55	60	65	70	75	440
	y	4	6	8	10	35	20	12
№5	x	11	11.5	12	12.5	13	13.5	14	5.2
	y	5	10	30	25	15	10	5
№6	x	12	13	14	15	16	17	18	500
	y	5	15	10	25	8	4	3
№7	x	30	32	34	36	38	40	42	5.8
	y	5	15	40	25	8	4	3
№8	x	10	11	12	13	14	15	16	500
	y	4	6	10	40	30	12	8
№9	x	13	14	15	16	17	18	19	400
	y	5	10	30	25	15	10	5
№10	x	25	30	35	40	45	50	55	330
	y	6	7	13	11	22	20	16
№11	x	7	8	9	10	11	12	13	6.25
	y	4	6	11	14	21	18	16
№12	x	5	10	15	20	25	30	35	170
	y	4	10	9	23	8	5	2
№13	x	6	8	10	12	14	16	18	1.14
	y	7	12	15	23	11	9	4
№14	x	7	8	9	10	11	12	13	900
	y	5	8	11	20	17	9	2
№15	x	-5	-3	-1	1	3	5	7	830
	y	7	10	14	24	16	8	3
№16	x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	1.25
	y	4	6	11	14	21	18	16
№17	x	5.5	10.5	15.5	20.5	25.5	30.5	35.5	2.4
	y	4	10	9	23	8	5	2
№18	x	6.2	8.2	10.2	12.2	14.2	16.2	18.2	150
	y	7	12	15	23	11	9	4
№19	x	7	8	9	10	11	12	13	3.56
	y	-5	-8	-11	-20	-17	-9	-2
№20	x	5	7	9	11	13	15	17	1.25
	y	-7	-10	-14	-24	-16	-8	-3
№21	x	2.3	2.5	2.7	2.9	3.1	3.3	3.5	400
	y	6.1	6.3	6.6	7.4	7.6	7.8	8.0
№22	x	2	2.5	3	3.5	4	4.5	5	2.5
	y	2.3	2.6	3.4	4.2	4.6	4.8	6
№23	x	2	2.5	3	3.5	4	4.5	5	1.17
	y	-2.3	-2.6	-3.4	-4.2	-4.6	-4.8	-6
№24	x	10.5	11	11.5	12	12.5	13	13.5	2.35
	y	-4	-6	-10	-40	-20	-12	-8
№25	x	12.5	13	13.5	14	14.5	15	15.5	350
	y	-5	-15	-40	-25	-8	-4	-1

 

 

3.3 Контрольные вопросы

 

1.В чем заключается задача интерполирования и аппроксимации?

2. В чем обоснованность приближения таблично заданной функции методом интерполирования.

3. Как обосновываются существование  и единственность интерполяционного  многочлена? Как связана его степень  с количеством узлов интерполяции?

4. Запишите интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона.

5. Какие требования предъявляются а) к интерполяционным полиномам;

б) к аппроксимационным полиномам?

6. В чем заключается идея метода наименьших квадратов?

7. В каких случаях применяются формулы Ньютона для интерполирования  
а) вперед, б) назад?

 

4 Лабораторная работа №4. Методы численного интегрирования

 

Цель работы:  изучение методов вычисления определенных интегралов на компьютере.

 

 

4.1 Теоретические сведения

 

Пусть на отрезке задана функция . Разобьем отрезок с помощью точек на элементарных отрезков На каждом из этих отрезков возьмем произвольную точку . Предел интегральной суммы при увеличении числа точек разбиения называется определенным интегралом от функции на отрезке :

 

 

2. Метод прямоугольников

 

Формула прямоугольников для вычисления определенного интеграла

                                               (4.1)

Алгоритм данного метода очень  простой, требуется составить простой цикл для вычисления суммы.

Алгоритм вычисления будет  следующий:

        а) ввод граничных условии a,b, количество итерации n;

        б) вычисление шага , присваиваем ;

        в) начало цикла ;

        г) в цикле   ;

        е) вывод  значения .

 

4.1.2  Метод трапеций

 

Следующим простейшим полиномом является линейная функция. Если выбрать ее совпадающей  с  на концах частичного отрезка − то получим трапецию. Площадь ее принимается в качестве приближения к значению определенного интеграла и вычисляется по формуле трапеций (см. рисунок 4.1):

 

 

Рисунок 4.1 - Метод трапеций

 

Для случая равномерного шага формула трапеций для вычисления определенного интеграла

 

                                  (4.2)

Алгоритм вычисления будет  следующий:

        а) ввод граничных условии a,b, количество итерации n;

        б) вычисление шага , присваиваем ;

        в) вычисляем ;

        г) начало цикла ;

       д) в цикле   ;

         е) вывод  значения .

 

4.1.3  Формула Симпсона

 

Составная формула Симпсона или формула парабол:

 

(4.3)

 

Формула Симпсона выглядит более громоздкой по сравнению  с формулами прямоугольников и трапеций, но она значительно точнее их и может привести к требуемому результату при меньших .

Алгоритм вычисления будет  следующий:

        а) ввод граничных условии a,b, количество итерации n;

        б) вычисление шага , присваиваем ;

        в) вычисляем ;

        г) начало цикла ;

       д) в цикле: при четном при нечетном вычисляется , ;

         е) вывод  значения .

 

4.2 Индивидуальные задания

 

 Решить определенный интеграл нижеперечисленными методами и построить блок-схему:

1. прямоугольника;
2. трапеции с помощью;
3. Симпсона.

Используя ручной расчёт или алгоритмический язык высокого уровня, сделать сравнительный анализ используемых методов.

Вычислить для заданного числа разбиений отрезка [a,b] вышеперечисленными методами и построить график.

 

Таблица 4 - Индивидуальные задания

№	Подынтегральная функция	a	b	№	Подынтегральная функция	a	b
1		0		14		0	1
2		0		15		0	1
3		0	1	16		0	1
4		0	1	17		2	3
5		0	1	18		0,5	1,5
6		0	1	19		-1	1
7		0		20		1	2
8		0		21		0,2	1,2
9				22		-1	0
10		0		23		1,5	2,5
11		0	1	24		1	2
12		0	1	25
13		0	1