Четные и нечетные функции

 

Из  истории функции:

     Термин  «функция» ввел в математику Готфрид  Лейбниц (1646-1716).Он употреблял его в  очень узком смысле, связывая только с геометрическими образами.

Лишь  И.Бернулли дал определение функции, свободное от геометрического языка: «Функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом преобразования этой переменной величины и постоянных».

     Леонард Эйлер (1707-1783 гг.), вводя в своём  учебнике понятие функции, говорил  лишь, что «когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых».

     В развитие понятия функции внесли свой вклад французский математик 

Ж.-Б. Фурье (1768-1830 гг.), русский ученый Н.И. Лобачевский (1792-1856 гг.), немецкий математик Дирихле ( 1805-1859 гг.) и др. ученые, и общепризнанным стало следующее определение: « Переменная величина у называется функцией переменной величины х, если каждому значению величины х соответствует единственное определенное значение величины у»

 

Определения 

     Функция f (x) называется четной, если для любого х D выполняются условия:

1) -х D, то есть область определения D(f) функции f симметрична относительно начала координат.

2) f (–x) = f (x), то есть в симметричных точках х и –х функция f принимает одинаковые значения.

     График  четной функции на всей области определения  симметричен относительно оси OY. Четные функции обладают «хорошими» алгебраическими свойствами: сумма, разность, и произведение двух четных функций тоже являются четными функциями.

Примерами четных функций могут служить y = cos x, y = |x|, y = x² + |x|, f(x)=x^2k ,x R 
 

                                                                y=х²

                    
 
 

          Функция f (x) называется нечетной, если для любого  х D выполняются условия:  
    1)-х D

    2) f (–x) = –f (x). 

Иными словами функция называется нечетной, если ее график на всей области определения симметричен относительно начала координат. Примерами нечетных функций являются y = sin x, y = x³. 

 
 
 
 
 
 

                       

 
 

 
 
 
 

     Свойства  четности и нечетности для функций  не являются отрицаниями  друг друга, как для четности и нечетности натуральных чисел. Равенства  f(-x)= f(x) и f(-x)= -f(x) не противоречат друг другу. Они могут выполняться одновременно - правда, только в случае, когда f(x)= f(-x)=0. Поэтому функция может быть одновременно и четной, и нечетной. Простейшим примером такой функции является функция у=0. Функции, которые одновременно четные и нечетные – это функции, имеющие в качестве области определения произвольное множество чисел, но принимаемые на ней только нулевое значение. 

Чтобы исследовать функцию  на четность или нечетность нужно: 

1. Проверить симметрична ли область определения функции относительно начала координат
2. Проверить равенства f(-x)= f(x)

                                           f(-x)= - f(x)

Примеры:

     1)f(x)=

D(f)= (- ; -3) (-3;3) (3; + ).

f(-x)= .

Значит  f(x) - нечетная функция.

     2)g(x)=

D(f)= (- ; -2) (-2;2) (2; + ).

f(-x)= = f(x).

Значит  f(x) - четная функция.

    3)h(x)= x cos3x-sinx+2

  h(-x)= (-x) cos3(-x)-sin(-x)+2= -x cos3x+sinx+2.

Значит  h(x) – не является четной и не является нечетной функцией.

  При решении задач, где требуется  выяснить, является ли заданная функция четной или нечетной, нужно быть очень внимательным и не судить только по-внешнему виду главного равенства.

  Например:

f(x)=log (x+ )   ,  D(f)=R

f(-x)=log (-x+ )  

f(x)+ f(-x)= log ((x+ ) ( -x)) = log (x +1-x )= log 1= 0

     Значит f(-x)= -f(x), y= f(x)- нечетная функция.

  Ссылка  на то, что выражения f(x) и f(-x) «разные», поэтому f(x) f(-x), ничего не доказывает. Условие четности заключается в истинности высказывания: « Для любого x D(f) выполнено числовое равенство f(-x)= -f(x)»

      А утверждение о том, что условие  четности не выполняется, заключается  в истинности высказывания, являющегося отрицанием предыдущего: «Существует      x D(f) такое, что f(-x) f(х). Функция   у = не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения  D = несимметрична относительно начала координат. Область определения функции y = x³ + 1 охватывает всю числовую ось и поэтому симметрична относительно начала координат, однако f (–1) ≠ f(1). Значит, функция y = x³ + 1 не является ни четной, ни нечетной. 

Представляют  интерес следующие  утверждения:

• 1.Сумма (разность) четных функций четна, а нечетных – нечетна.
• 2.Произведение или частное двух нечетных функций четно.
• 3.Произведение или дробь двух четных функций четно.
• 4.Произведение или дробь четной и нечетной функции нечетно.
• 5.Композиция двух четных функций четна.
• 6.Композиция двух нечетных функций нечетна.
• 7.Композиция любой функций с четной четна (но не наоборот)
• 8.Функция, обратная четной, четна, а нечетной – нечетна.
• 9.Производная четной функции нечетна, а нечетной – четна.

То  же верно про производную третьего пятого и вообще любого нечетного  порядка.Производная четного порядка  сохраняет четность.

     Докажем утверждения под номером 7 и 9.

№7.

Дано:

y= f(x)   и y= g(x)-четная функция.

Доказать:

y=f (g(x))- четная функция.

Доказательство:

Так как  g(x)-четная функция, то g(-x)=g(x) , следовательно f(g(-x))= f(g(x)), что и требовалось доказать

№9

Дано:

f (x)-четная функция.

Доказать:

f ^/(x)-нечетная функция/

Доказательство:

f ^/(-x)=(f(-x))^/(-x)^/=f^/ (x)(-1)=-f ^/(x)

Что и  требовалось доказать.

      Как правило, функция, взятая «наугад», не будет ни четной, ни нечетной. Возникает вопрос: зачем вводить понятия четности и нечетности, если «большинство» функций таковыми не являются?

Ответ на этот вопрос мы нашли в статье А.Землякова  «Четные и нечетные функции», где он приводит два примера: физический и математический. 

Физический  пример использования  чётных и нечётных функци. 

     Если  физическая система обладает какой-нибудь симметрией, то и связанные с нею  функции часто имеют те или иные свойства симметрии. В простейших случаях возникают как раз четные или нечетные функции.

рисунок 6 

Пример:  

     На  горизонтальный стержень – ось Ох – надета однородная пружина, концы  которой закреплены в симметричных точках x=-d и x=d, а к середине пружины – в точке x=0 – прикреплена шайба, свободно (без трения) перемещающаяся вдоль стержня.

а) Пусть  шайба отведена в точку с координатой  x. Обозначим через F(x) величину силы, действующей на шайбу со стороны пружины (точнее говоря, проекцию этой силы на ось Ох), а через U(x)-потенциальную энергию шайбы в этом положении. Очевидно, пружине безразлично, вправо или влево отводится шайба: абсолютная величина силы и потенциальная энергия при смещениях x и –x одинаковы, то есть

 и U(x) =U(-x)

Учитывая, что сила в положениях x и –x направлена в противоположные стороны (рис б, в), можем записать F(-x)=-F(x).

Таким образом, из одних лишь соображений  симметрии мы получаем следующее:

1)Функция F(x), выражающая зависимость силы F от смещения x, нечетная;

2)Функция  U(x),выражающая зависимость потенциальной энергии от смещения, четная.   

Математический  пример. 

     Очевидно, степенная функция f(х)= хⁿ, где n N, при этом четном n будет четной, а при нечетном n – нечетной. Произвольный многочлен p(x), вообще говоря, не будет ни четной, ни нечетной функцией. Однако его можно представить в виде суммы двух многочленов

p₊(x) и p_--(x), являющихся соответственно четной и нечетной функциями.

Например:

p(x)= х⁷+2х⁶-х⁵-3х⁴-13х²+х+17= p₊(x) + p_-(x),где

p₊(x)= 2х⁶-3х⁴-13х²+17  -  сумма одночленов из p(x), содержащих х в четной степени, а

 p_-(x)= х⁷-х⁵+х -  сумма одночленов из p(x), содержащих х в нечетной степени.

      Оказывается, что не только многочлен, но и любую функцию с симметричной областью определения можно представить в виде суммы четной и нечетной функции!

Теорема:

Если  функция f удовлетворяет условию симметрии (С), то ее можно представить в виде суммы двух функций - четной f₊(х) и нечетной f _-(х):

            f(х) = f₊(х)+ f _-(х)                 (1)

области определения которых те же, что  у функций f_: D(f₊)= D (f _-)= D (f), причем такое представление единственно.

      Доказательство.

Допустим, что функция f(х) уже представлена в виде (1) и функции f _- и f₊  удовлетворяют соотношениям

             f₊(-х)+ = f₊(х),

             f _-(-х) =-f _-(х)                                       (2)

Подставив в формулу (1) вместо х значение –х, из формул (2) получим

                       f(-х)= f₊(х) – f _-(х)                  (3)

Складывая равенства (1) и (3), получаем

                         f(х)+ f(-х)= 2 f₊(х), откуда

                   f₊(х)=                           (4а)

Аналогично, вычитая (3) из (1), находим

                         f _-(х)=                           (4б)

Таким образом, если функция f представима в виде (1), то функции f₊ и f _-  однозначно отыскиваются по функции f с помощью формул (4). Следовательно, если представление (1) существует, то оно единственно.

      А теперь - небольшой трюк: для произвольной функции f определим функции

f₊ и f _- соотношениями (4).