Бета-функция

Учреждение образования

 

 

Физико–математический факультет

 

Кафедра математического анализа

 

 

 

 

 

К у р с о в а я   р а б о т а

 

Бета-функция

 

 

 

 

 

Защищена «____»_______2015г.

с отметкой «___________»

 

___________ / __________

 

___________ / __________

 

 

Минск, 2015

 

 

Оглавление

 

ВВЕДЕНИЕ

Целью курсовой роботы является: изучение понятия бета-функция.

При написании работы были поставлены задачи:

1. Дать определение бета-функции
2. Сформулировать и доказать свойства бета-функции.

 

 Курсовая работа состоит из 1 глав, 3 параграфов

 

 

ГЛАВА БЕТА-ФУНКЦИЯ

§1. Определение бета-функции

Название интеграл Эйлера первого рода дано Лежандром интегралу вида

B(a,b) =  (1)

где a, b > 0. Он представляет функцию от двух переменных параметров a и b: функцию В («Бета»)

1.1.Область определения бета-функции В(a)

Подынтегральная функция при a<1 и b<1 имеет две особые точки x = 0 и x= 1.

 Для отыскания области определения B(a,b) представим интеграл (1) в виде суммы двух интегралов

 

первый из которых (при a<1) имеет особую точку x = 0, а второй (при b<1) — особую точку x = 1. Интеграл

 

 — несобственный интеграл 2-го рода. Он сходится при условии, что                   1 – a < 1, т.е. при a>0, а интеграл

 

сходится при b>0. Тем самым, бета-функция В(a, b) определена для всех положительных значений a и b. Интеграл (1) равномерно сходится в каждой области a ≥ x > 0, b ≥ y > 0, так что бета-функция непрерывна при a>0, b>0.

В противном случае интеграл расходится.

1.2.Второе представление бета-функции 
    (2)

Доказательство: Выполним подстановку в формулу (1, §1), получим

 

 

 

1.3. Аналитическое  представление бета-функции

Для функции В есть и другое аналитическое представление, которое часто бывает полезно. Если в интеграле (1) произвести подстановку , где y – новая переменная, изменяющаяся от 0 до , то получим

(3)

Доказательство:

Заменим

 

Пологая здесь b = 1 – a (если 0<a<1), найдем

1.4. График бета-функции

 

 

§ 2. Свойства бета-функции

Бета-функция обладает следующими свойствами:

Свойство 1: Бета-функция является симметричной относительно перестановки ее аргументов, то есть

(1)

Доказательство:

Выполнив замену переменной

t = 1 – x, dt = –dx,

получим утверждение:

 

 

Свойство 2: Рекуррентное соотношение

(2)

 

Доказательство: С помощью интегрирования по частям из формулы (1,§1), при b>1, получим

B(a,b) =

 

 откуда

 

 

Эту формулу можно применять с целью уменьшения b, пока b остается больше 1; таким образом всегда можно достигнуть того, чтобы второй аргумент стал ≤1.

Того же можно добиться и в отношении первого аргумента, так как – ввиду симметричности В – имеет место и другая формула приведения:

(3)

Свойство 3: Функция удовлетворяет следующим функциональным соотношениям:

(4)

(5)

(6)

Доказательство: Соотношения (4) – (6) могут быть выведены с помощью непосредственного вычисления интеграла (1, §1) для бета-функции

1. Вычислим интеграл (1, §1) при b = 1:

 

Что совпадает с (4).

2. Для доказательства соотношения (5) положим в (1, §1) b = 1 – a:

 

Производя замену получим

 

Полученный интеграл можно вычислить с помощью теории вычетов. Для этого от интегрирования вдоль действительной оси перейдем к интегрированию по замкнутому контуру С, изображенному на рис.2. Функция

 

В области, ограниченной контуром С, не имеет других особенностей, кроме полюса при Поэтому при

 

С другой стороны, в силу условия , интегралы по окружностям радиусов r и R стремятся к нулю при а интеграл по нижнему берегу разреза отличается от интеграла  по верхнему берегу множителем . В результате при получаем

 

Что эквивалентно (5) при .

3. Чтобы доказать соотношение (6), положим в (1, §1) b=a:

 

Так как парабола симметрична относительно прямой , то

 

Откуда после замены получим

 

Что эквивалентно (6) при*e a>0.

 

Свойство 4: Если b=n – натуральное число, то

(7)

Доказательство: Из равенства (2) следует, что

 

Но

 

Поэтому для и – одновременно – для получается окончательное выражение

 

 

Если и а равно натуральному числу m, то

(8)

Эту формулу можно применять и при m = 1 или n = 1, если под символом 0! разуметь 1.

 

§3. Выражение бета-функции через гамма-функцию

Гамма-функцией (Эйлеровым интегралом второго рода ) называется функция Г(a) заданная для положительных значений переменной y формулой . Значения гамма-функции для отрицательных нецелых значений переменной у определяется с помощью рекуррентного соотношения .

Бета-функция может быть выражена через гамма-функцию. Найдем  эту связь двумя методами.

Метод1. Чтобы установить взаимодействие между Эйлеровыми интегралами первого и второго рода, необходимо выполнить в формуле гамма-функции подстановку x = ty, где t < 0. Тогда формула гаммы-функции

 

будет иметь вид

 

разделим обе части равенства на :

 

Затем сделаем замену a → a+b, t → t+1, что влечет

 

Далее умножим обе части этого равенства на и проинтегрируем результат по переменной t от 0 до +:

(1)

Заметим, что согласно равенству (3,§1),

 

Далее изменим порядок интегрирования в правой части уравнения (1)

 

 

 

Следовательно,

(*)

Метод2. В данном методе используем следующую формулу гамма-функции:

(2)

Запишем эту формулу в виде

 

Перемножив эти равенства, получим

 

 где областью интегрирования  в двойном интеграле является первая четверть (0 ≤ x≤ +, 0 ≤ x ≤ +). Переходя к полярным координатам, получим

 

 

C учетом формул (2,§1) и (2) имеем

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК