Актуарная оценка резервов в рисковом страховании

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 30 Ноября 2013 в 17:33, курсовая работа

Краткое описание

Данная работа посвящена анализу страховых резервов и методам их оценки в рисковом страховании. В первой части работы автор раскрывает экономическую сущность и значение страховых резервов, а также их состав и особенности формирования.
Во второй части подробно описываются методы формирования резервов убытков:
Метод цепной лестницы (the chain-ladder method)
Метод мюнхенской цепной лестницы
Метод Борнуэттера-Фергюсона

Содержание

Введение 3
Страховые резервы 4
Определение 4
Состав страховых резервов 5
Резерв предупредительных мероприятий 6
Резерв незаработанных премий 7
Резервы убытков. Постановка проблемы 9
Резерв заявленных, но неурегулированных убытков 11
Резерв произошедших, но незаявленных убытков 12
Треугольник развития 12
Виды данных 14
Метод цепной лестницы 14
Метод мюнхенской цепной лестницы 17
Метод Борнуэттера-Фергюсона 21
Заключение 25
Список литературы 26

Прикрепленные файлы: 1 файл

12345.docx

— 139.43 Кб (Скачать документ)

 

В итоге получаем:

 

 

Год развития

1-2

2-3

3-4

4-5

5-6

Ratio

570 904

370207

=

1.542

463 306

420 428

=

1.102

349 506

324 897

=

1.076

226 844

216 623

=

1.047

106 264

103 162

=

1.030


Таблица 5. Взвешенные факторы развития

Рассчитанные взвешенные коэффициенты развития используются для  завершения треугольника развития, как  показано в таблице 6:

Год события

Год развития

1-2

2-3

3-4

4-5

5-6

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1.547

1.581

1.570

1.479

1.550

1.542

1.113

1.118

1.097

1.087

1.102

1.102

1.086

1.075

1.069

1.076

1.076

1.076

1.050

1.045

1.047

1.047

1.047

1.047

1.030

1.030

1.030

1.030

1.030

1.030


Таблица 6.

Таблица 6 приводит в итоге  к законченному треугольнику развития, показанному в таблице 7:

Год события

Год развития

1

2

3

4

5

6

1991

1992

1993

1994

1995

1996

52 546

62 285

72 173

86 135

97 068

128 982

81 275

98 495

113 299

127 359

150 476

198 906

90 461

110 096

124 340

138409

165 823

219 192

98 277

118 346

132 883

148 893

178 383

235 794

103 162

123 682

139 153

155 918

186 799

246 920

106 264

127 401

143 337

160 606

192 416

254 344


Таблица 7. Законченный треугольник  развития.

Оцененный резерв находится  как разница между колонкой 6 –  оцененной конечной стоимостью убытков  за период событий 1992-1996, и текущими кумулятивными оплаченными убытками:

 

 

Год события

Оцененный конечный убыток

Оплаченные убытки

Резерв

1992

1993

1994

1995

1996

127 401

143 337

160 606

192 416

254 344

123 682

132 883

138 409

150 476

128 982

3 719

10 454

22 197

41 940

125 362

Тотал

878 104

674 432

203 672


Таблица 8. Необходимые резервы.

Кроме того, из года в год факторы могут быть перемножены для того чтобы дать факторы, которые принимают убытки от данного уровня зрелости и до конечного. Обратные этих факторов представляют долю конечных убытков, которые ожидаются на каждом истечении времени задержки (Booth, P., Chadburn, R., Cooper, D., Haberman, S., James, D.- Modern

Actuarial Theory and Practice, Chapman & Hall/CRC, London). Таблица 9 демонстрирует вычисления:

Период развития             1-2            2-3             3-4              4-5               5-6

Факторы развития          1.542        1.102         1.076          1.047          1.030

Период развития       1-ultimate    2-ultimate  3-ultimate    4-ultimate   5-ultimate

Кумулятивные факторы  1.972       1.279          1.160         1.079          1.030

Обратные (                     0.507        0.782           0.862          0.927            0.971


Таблица 9.

Из базовой модели цепной лестницы:

 

  обычно оценивается с использованием последней информации календарного периода. В нашем случае:

 
 
 
 
 

Разница между значениями и теми, которые были получены выше обусловлены округлением фактора до трех знаков после запятой.

Стоит отметить, что оцененные  значения должны быть постоянными, если тенденции в данных стабильны, независимо от периода задержки, при которой производится оценка.

Год события

Год развития

1

2

3

4

5

6

1991

1992

1993

1994

1995

1996

103 617

122 822

142 320

169 853

191 412

254 344

103 928

125 947

144 877

162 856

192 416

104 969

127 753

144 281

160 606

106 009

127 656

143 337

106 264

127 401

106 264


Таблица 10. Оцененные конечные убытки по каждому периоду развития

Этот простой анализ дает начальное понимание тенденций  в данных, которые могут выходить за рамки модели. Он также дает указание на стабильность, с которой конечные убытки были оценены в прошлом, и, следовательно, размер ошибки, которые возможны в рамках данного метода.

Также могут быть вычислены  возрастающие будущие убытки при  помощи простого вычитания последовательных значений в таблице 7. В итоге получаем:

 

Год события

Год развития

1

2

3

4

5

6

1991

1992

1993

1994

1995

1996

52 546

62 285

72 173

86 135

97 068

128 982

28 729

36 210

41 126

41 224

53 408

69 924

9 186

11 601

11 041

11 050

15 347

20 286

7 816

8 250

8 543

10 484

12 560

16 602

4 885

5 336

6 270

7 025

8 417

11 126

3 102

3 719

4 184

4 688

5 617

7 425


Таблица 11. Возрастающие оплаченные убытки.

Прогнозируемые будущие  платежи по календарным периодам могут быть получены из диагоналей треугольника возрастающих оплаченных убытков:

Год события

Календарный год платежа

1997

1998

1999

2000

2001

1991

1992

1993

1994

1995

1996

 

3 719

6 270

10 484

15 347

69 924

 

 

4 184

7 025

12 560

20 286

 

 

 

4 688

8 417

16 602

 

 

 

 

5 617

11 126

 

 

 

 

 

7 425

Тотал

105 744

44 055

29 707

16 743

7 425


Таблица 12. Оцененные будущие  платежи по календарным годам.

 

 

Теперь перейдем к описанию стохастической модели метода цепной лестницы11.

Представим конечный убыток в мультипликативной форме:

 

где – мультипликативное приращение аккумулированного уровня убытка

i-го года события при переходе от k-го к (k+1)-му году развития. Мультипликативное представление возможно только при условии для всех i, k; иначе произведение нужно начинать не с , а с первого положительного .

Тогда предположение (в среднем) одинаково для всех лет событий  распределения конечного убытка по годам развития можно трактовать как независимость математического ожидания случайной величины от года события i:

 

Параметры задают среднее  приращение уровня убытка при переходе от k-го к (k+1)-му году развития.

В методе цепной лестницы оценки параметров определяются как взвешенные по арифметические средние

 

наблюдаемых значений случайных  величин . Следующая характерная особенность метода цепной лестницы состоит в том, что конечный убыток оценивается величиной

 

а резерв

величиной

то есть прогноз основывается только на текущем уровне убытка года события i, а все предыдущие состояния игнорируются.

Таким образом, метод цепной лестницы неявно предполагает отсутствие полезной информации во всех состояниях убытка, кроме текущего. Предположение формализуется следующим образом:

(ЦЛ1) Существуют такие множители развития , что

 

ЦЛ1 означает зависимость условного математического ожидания величины только от и независимость от прежних состояний . Учитывая свойство итеративности математического ожидания, из ЦЛ1 непосредственно выводим равенство

 

Кроме ЦЛ1 будет используется предположение

(ЦЛ2) Годы событий {}, 1≤i≤I, независимы.

 В книге Томаса Мака  выводится и точность оценки  резерва:

Теорема. При выполнении ЦЛ1 и ЦЛ2 средняя квадратичная ошибка оценки резервов по методу цепной лестницы оценивается величиной

 

где – оценка для и для упрощения записи принято

Метод мюнхенской цепной лестницы12

Расчет резерва произошедших, но не заявленных убытков может осуществляться как на основании треугольника оплаченных убытков, так и на основании треугольника заявленных убытков. Однако несмотря на имеющее в реальности место совпадение итоговых уровней заявленного и оплаченного убытка в конце срока развития, их прогнозные значения, построенные на двух видах треугольников, могут сильно различаться. Много лет актуарии всего мира жили с этой проблемой, пока сотрудник Мюнхенского перестраховочного общества Герхард Кварг в 2004 году не установил причину несоответствия. При более детальном анализе было выявлено, что между двумя треугольниками – заявленных и оплаченных убытков – существует связь, которая обычно не учитывается при проведении двух прогнозов изолированно друг от друга.

Решению этой задачи служит мюнхенский метод цепной лестницы, позволяющий приблизить друг к другу  прогнозы, основанные на заявленных и  оплаченных убытках, в той же мере, в какой приближены друг к другу  наблюдаемые данные двух треугольников  развития.            

 Мюнхенская цепная  лестница представляет собой  ничто иное как обобщение метода цепной лестницы в том смысле, что при отсутствии упомянутой выше зависимости между наблюдаемыми данными автоматически получается такой же прогноз, как и по обычному методу цепной лестницы.

Обозначим теперь уровень  оплаченного убытка через , уровень заявленного убытка через , а соответствующие множители развития через и , т.е.

Как можно наблюдать, оценки конечного убытка и различаются, несмотря на имеющее место в реальности равенство . Следующая теорема показывает, что это не случайность, а неизбежное следствие используемого способа расчета.

Информация о работе Актуарная оценка резервов в рисковом страховании