Туынды арқылы функцияны зерттеу

ФУНКЦИЯНЫ ТУЫНДЫ КӨМЕГІМЕН ЗЕРТТЕУ

 

Функция ұғымын анықтау

     Функция аса маңызды математикалық  ұғымдардың бірі және де ол  заттар мен құбылыстардың өзара  байланысын бейнелейді. Математиканың басқа ұғымдары тәрізді Функция ұғымы да бірден қалыптасқан жоқ. Ол дамудың ұзақ жолынан өтті. “Функция” термині алғаш рет 1692 ж. Г.Лейбництің еңбектерінде кездесті. Функцияның қазіргі ұғымға жақын алғашқы анықтамасын И.Бернулли (1718) берген, ал бұл ұғымды Д.Бернулли, Л.Эйлер, Ж.Фурье, П.Дирихле, Н.И. Лобачевский, т.б. одан әрі дамытты.

Бүгінде функцияны  анықтаудың әр түрлі жолдары белгілі. Солардың бірінде функция ұғымы  бастапқы ұғым ретінде алынады.

     Енді бірінде бастапқы ұғым  ретінде бейнелеуді алалды да, функция деп бір X жиынын екінші Y жиынына бейнелеуді түсінеді. Бұл  жайдайда xєX элементпен yєY болатын,  бір және тек бір ғана элемент  жұптүзей алынатына ерекшеленеді. Сонда функцияныз белгілеп көрсету  үшін  , φ,  ψ және т.с.с. символдар пайдаланады. Ал X жиыны функцияның анықталу облысы және Y жиынын функцияның мәндерінің облысы деп атайды.

     Анықталу облысы X және мәндерінің  облысы Y болатын  (x) функцияны символдар арқылы мына түрде X → Y немесе айнымалылырдың көмегімен x_xєx→y_yєy деп белгілейді, сонда функция мәнінің белгісі ү-тің орнына символын жиі қолданады. Бұл жайдайда ункцияны x→ (x) түрінде белгілейді. Кейде x  жиыны элементтерін функцияның аргументі деп атады да,  -ті аргумент x-тің немесе анымалы x-тің функциясы дейді.

 

Функцияны туынды арқылы зерттеу

 

Алгоритмі:

1) D(y) – анықталу облысын табу

2) Е(у) –  мәндер облысын табу

3) Функция  түрі: тақ, жұп, ЖЖФ, периодты  не периодсыз

4) ОХ және  ОУ қиысу нүктелері

5) Таңба тұрақтылығы

а) оң мән f(x)>0

б) теріс  мән f(x)<0

6) Өсу және  кему аралығы

7) Экстремум  нүктелері

8) Қосымша  нүктелері

9) Функция  графигін салу

Анықталу облысы

а) Көпмүшелік функция: f(x)=aₒ+a₁x+a₂x²+…+a_n xⁿ, мұндағы aₒ, a₁, a₂, a_{n R көпмүшелік функцияның анықталу облысы R, яғни нақты сандар}

б) Рационал функция: f(x)=h(x)/g(x) анықталу облысы g(x)≠0

в) Рационал көрсеткішті дәрежелік  функция: f(x)= анықталу облысы: егер n – тақ сан болса D(y)=R; егер n – жұп сан болса g(x)0

г) Логарифмдік функция: f(x)=log_h(x)g(x) анықталу облысы:  

 

мысалы: Анықталу облысын табу y=lg (2x-3)

D(y): 2x-3>0

2x>3

x>1,5

D(y)=(1,5; +∞  ).

 

Жұп және тақ функция 

у=f(x) функциясының анықталу облысындағы кез келген х үшін,

егер f(-x)=f(x) теңдігі орындалатын болса функция жұп

Графигі ордината осіне қатысты симметриялы

мысалы: Жұп не тақтылығын анықтау y=x4-2x2+2.

y=x4-2x2+2, D(y)=R.

y(-x)=(-x)4-2(-x)2+2=x4-2x2+2=y(x) – жұп

 

егер f(-x)=-f(x) теңдігі орындалатын болса функция тақ

Графигі координаты басына қатысты симметриялы

 

мысалы: Жұп не тақтылығын анықтау y=3x+1/3x.

y(-x)=3(-x)+1/3(-x)=-3x-1/3x=-(3x+1/3x)=-y(x) – тақ

 

 

 

Периодты не периодсыз функция

 

Периодты  функция — аргументіне функцияның периоды деп аталатын нөлге тең емес белгілі бір Т санды қосқанда мәні өзгермейтін функция.

y=f(x)  функциясы периоды T0 болатын периодты функция деп аталады, егер f(x)=f(x+T) болса.

 

мысалы: Функцияның периодтылығын анықтау  f(x)=sin2x,

sin2x=sin2(x+T)=sin(2x+2T), где 2Т=2π, т.е. Т=π.

Өсу және кему аралығы

Функцияның  аралықтағы өсуінің жеткілікті шарты:

Егер дифференциалданатын f(х) функциясының туындысы х аралығының әрбір нүктесінде оң таңбалы, яғни f`(х) >0 болса, онда ол сол аралықта өспелі болады.

 

Функцияның  аралықтағы кемуінің жеткілікті шарты:

Егер дифференциалданатын f(х) функциясының туындысы х аралығының әрбір нүктесінде теріс таңбалы, яғни f`(х) <0 болса, онда ол сол аралықта кемімелі болады.

 

Дәлелдеуі: f(х) функциясы Х аралығында дифференциялданатын  функция болсын.

Кез келген х1 ,х2  (х1 <х2) аламыз. Лагранж формуласы  бойынша  теңдігі орындалатын (х1 ;х2) а алуға болады.  х1 ;х2 Х болғандықтан, аХ болады. Кез келген хХ үшін f`(х) >0 болса, онда f`(а) >0. х1 - х2 >0 болғандықтан (1) теңдіктен  f(x2)-f(x1) >0 немесе f(x2) >f(x1), яғни f(х) өспелі. хХ үшін f`(х) <0 болса, онда f`(а) <0. х2 – х1 >0 болғандықтан  f(x2)-f(x1) <0 немесе f(x1) >f(x2), демек Х  аралығында  f(х) кемімелі.

 

Мысалы: f(х)=х3 +3х2 – 9х +1

 

1.      D(f)R

2.      f '(х)=х3 +(3х2) – (9х)' +1' = f(х)=3х2 +6х -9

3.      f`(х) >0, f`(х) <0 теңсіздіктерін шешу керек.

Ол үшін: 3х2 +6х -9=0

х2 +2х -3=0

D=4

х1=3; х2=1

 

Функцияның экстремумы

 

Егер y=f(x) функциясы x0 нүктенің белгілі бір δ аймағында: x0- δ < x < x0 + δ аңықталса әрі  осы аймақта f(x) > f(x0) (f(x) < f(x0))болса  онда бұл нүкте y=(x) функциясының минимум (максимум) нүктесі деп аталады.

Функцияның  максимум және минимум нүктелерің функцияның экстремум нүктелері деп атайды.

 

мысал:

y= |1-x2| функциясы  x1= 0 нүктеде максимумға ие, ал  минимум нүктелері екеу x2= -1, x3= 1.

 

Теорема.

Егер (a; b) сегментінде  дифференцияланданатың y=f(x) функциясы x0∈ (a; b) нүктеде экстермумға ие болса, онда бұл нүктеде оның туындысы нөлге тең:

f ′(x0)=0.

 

мысал:

y=x2+2x+1

y′(x)=2x+2

2x+2=0

x=-1

 

Сонымен y=x2+2x+1 функциясының экстремумы бар болса, онда ол (экстремум) x=-1 нүктесінде болуы  тиіс.

 

Теорема.

y=f(x) функцисы (a; b) сегментінде  үзіліссіз әрі  дифференциалдансын.

f ′(x0)=0 болсын:

a). Егер x<x0 нүктелерінде  f ′(x) оң ал x>x0 нүктелерінде f ′(x) теріс болса онда x0 нүктеде  y=f(x) функциясы максимумға ие.

b). Егер x0 >x нүктелерінде  f ′(x) теріс ал x0<x нүктелерінде f ′(x) оң болса онда x0 нүктеде y=f(x) функциясы минимумға  ие.

Осы теоремаға  сәйкес y=x2+2x+1 функциясының  y ′(x)= 2x+2 туындысы x<x0=-1 нүктелерінде теріс  ал x>-1 нүктелерінде оң болатындықтан y=x2+2x+1 функциясы x0=-1 нүктесінде минимумға  ие.

 

Функция графигін салыңыз

 

1. Функцияның анықталу облысы мен үздіксіздік облысын тауып және үзілісм нүктелерін табу

2. Вертикаль  және көлбеу асимптоталарды табу

3. Сындық  нүктелерді табу. Функцияның өсу  және кему облыстарын табую  экстремум нүктелерді анықтау

4. Функция  графигінің дөңес және ойыс  болатын облыстарын тауып, оның  иілу нүктесін анықтау

5. Графиктік  координаталар осьтерімен қиылысу  нүктелерін табу

6. Функция  графигін сызып көрсету.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пайдаланылған әдебиеттер

 

С.Саттығұлова, Элементарлық функциялар және олардың  графиктері

Алматы- 1994ж.  Республикалық баспа кабинеті

О.М.Жолымбаев, Г.Е.Берікханова  Математика Алматы- 2004ж.  «Эвро» ЖШС

С.А.Теляковский  Алгебра орта мектептің 9 класына  арналған оқулық

Алматы- 1993ж.  «Рауан»

О.А.Жәутіков Жоғары математикаға кіріспе Алматы- 1984ж. «Мектеп»