Термодинамика

особей в  популяции  .  Это  число  играет  роль  параметра  порядка  .  Если

различные  виды  поддерживаются  общим  пищевым  ресурсом  ,  то  начинается

межвидовая  борьба , и тогда применим принцип  Дарвина  :  выживает  наиболее

приспособленный  вид  .  (  Нельзя  не  отметить   сильнейшую   аналогию   ,

существующую  между конкуренцией лазерных мод и межвидовой  борьбой  ).  Если

имеются   однотипные   пищевые   ресурсы   ,   то    становится    возможным

сосуществование видов . Численность видов может  быть  подвержена  временным

колебаниям.

 

 

                                 ОДИН  ВИД.

   Рассмотрим  сначала одну популяцию с числом  особей в ней  n . При  наличии

пищевых ресурсов  А особи размножаются со скоростью :

                                    [pic]

и гибнут со скоростью :

                                    [pic]

   Здесь   k  и d  - некоторые коэффициенты рождаемости и смертности  ,  в

общем случае зависящее  от  параметров  внешней  среды  обитания  .  Если  бы

количество  пищи было неограниченно , то эволюционное уравнение выглядело  бы

так :

                                    [pic]

   Введем  обозначение       ( = kA - d

   Оно было  бы линейным  и  описывало   бы  неограниченный  экспериментальный

рост (при  kA > d), либо экспериментальную гибель (при  kA < d) популяции.

                                    [pic]

   Рис. 3.4     Кривая 1:  Экспоненциальный рост ; (>0 , kA>d

                   Кривая 2:  Экспоненциальная гибель ; (>0 , kA>d.

 

[pic]

    В  общем случае , однако , пищевые ресурсы  ограничены , так что  скорость

потребления пищи

                                    [pic]

   Вместе  с тем в общем случае возможно  восстановление пищевых  ресурсов  со

скоростью :

                                    [pic]

   Здесь  ,  конечно  ,  рассмотрен  придельный  случай  сохранения  полного

количества  органического вещества

                             A + n = N = const ,

N - способность  среды обитания поддерживать  популяцию.

   Тогда  с учетом  A  =  N  -  n   получится  следующее  уравнение   эволюции

популяции одного вида (логистическое уравнение Ферхюльста ) :

                              [pic]     (3.17)

   Решим  уравнение (3.17) аналитически , перепишем  его следующим образом

                      [pic]   , обозначим   kN - d = k1

   Получим  :

                                    [pic]

   Воспользуемся  [pic]табличным интегралом  ,  [pic]  ,полученное  уравнение

примет вид :

                                 [pic][pic]

решим это уравнение , преобразуя

                                    [pic]

                                    [pic]

сократим полученное выражение на  k  , и перенесем  переменную  k1  в  правую

часть , получим

                                    [pic]

отсюда    n(t)  (  [pic]

                                    [pic]

   Начальные условия :

                                    [pic]

откуда

                                    [pic]

   Подставляя   с   в решение , получим уравнение  в следующем виде

                                    [pic]

ранее мы обозначали , что  [pic] , подставляем и преобразуем

                                    [pic]

сократим на   k - коэффициент рождаемости  ,  окончательно  получим  решение

уравнения (3.17)

                                    [pic]

 

   Итак , получено  аналитическое решение логистического  уравнения   -    это

решение указывает  на то , что рост популяции  останавливается  на  некотором

конечном стационарном уровне:

                                    [pic]

то есть параметр    n1   указывает  высоту  плато  насыщения  ,  к  которому

стремится  n(t)  с течением времени .

   Параметр   n0   указывает  начальное   значение  численности  одного  вида

популяции : n0 = n(t0) . Действительно , [pic]  ,то есть   n1  -  предельная

численность вида в данной среде обитания  .  Иначе  говоря  ,  параметр   n1

характеризует емкость среды по отношению к  данной популяции .  И  наконец  ,

параметр (kN - d)  задает крутизну начального роста .

   Отметим  , что  при  малой  исходной  численности   n0   (начальное   число

особи) начальный  рост популяций будет почти экспоненциальным

                                    [pic]

Рис. 3.5.          Логистическая кривая.

               (эволюция популяции одного вида)

   Решение   уравнения  (3.17)  можно  представить   с  помощью  логистической

кривой  (рис.  3.5)  .  Эволюция  полностью  детерминирована   .   Популяция

перестает расти , когда ресурс среды оказывается  исчерпанным .

     Самоорганизация   -   при   ограниченном   пищевом   ресурсе.   Система

самоорганизованна и взрывоподобный  рост  популяции  (рис.  3.4   Кривая  1)

сменяется кривой с насыщением .

   Подчеркнем , что при описании  данной  биологической  системы  используют

понятийный  и  физико-математический  аппарат  из  нелинейной  неравновесной

термодинамики.

   Может  случится , однако, что всегда за  событиями  ,  не  управляемыми  в

рамках модели , в той же среде появится , первоначально  в малых  количествах

, новые виды (характеризуемые другими экологическими  параметрами  k,N  и  d)

. В связи  с такой экологической флуктуацией  возникает вопрос  о  структурной

устойчивости  :  новые  виды  могут  либо   исчезнуть   ,   либо   вытеснить

первоначальных  обитателей . Пользуясь линейным анализом  устойчивости  ,  не

трудно показать , что новые виды вытесняют старые  только  в  том  случае  ,

если

                                    [pic]

   Последовательность ,  в  которой  виды  заполняют   экологическую  нишу  ,

представлена  на рисунке 3.6.

                                    [pic]

             Рис. 3.6.     Последовательное  заполнение экологической

                                ниши различными видами .

   Эта модель  позволяет придать точным количественный  смысл  утверждению  о

том  ,  что  «выживает  наиболее  приспособленный»  ,  в  рамках  задачи   о

заполнении  заданной экологической ниши .

 

                       2. СИСТЕМА «ЖЕРТВА - ХИЩНИК».

 

   Рассмотрим  систему, состоящую из двух  видов -  это  «жертва»  и   «хищник»

(например , зайцы  и лисицы) ,  то  эволюция  системы   и  ее  самоорганизация

выглядят иначе , чем в предыдущем случае.

   Пусть  в биологической системе имеются две популяции - «жертв»  -  кролики

(К) , и «хищников» - лисиц (Л), численностью К и  Л .

    Проведем  теперь  рассуждение   ,   которое   позволит   нам   объяснить

существование диссипативных структур .

   Кролики  (К) поедают траву (Т) . Предположим , что запас  травы  постоянен

и неисчерпаем . Тогда , одновременное наличие травы  и кроликов  способствуют

неограниченному росту кроличьей популяции . Этот процесс можно  символически

изобразить  так :

                      Кролики + Трава ( Больше кроликов

                                 К + Т ( 2К

   Тот факт , что в стране  кроликов  всегда  имеется  в  достатке  травы  ,

вполне аналогичен непрерывному подводу тепловой энергии  в задаче с  ячейками

Бенара . Вскоре процесс , в целом , будет выглядеть  как  диссипативный  (во

многом аналогично процессу Бенара ).

   Реакция   «  Кролики   -   Трава   »  происходит  спонтанно   в  направлении

увеличения  популяции  кроликов,  что  является  прямым  следствием  второго

начала термодинамики .

   Но вот в нашу картину , где мирно резвятся кролики  ,  прокрались  хищные

лисицы (Л), для  которых кролики являются добычей . Подобно  тому  ,  как  по

мере поедания травы кроликов становится больше , за счет  поедания  кроликов

возрастает  число лисиц :

                       Лисицы + Кролики ( Больше лисиц

                                 Л + К ( 2Л

   В свою  очередь лисицы , как и кролики  являются жертвами  -  на  этот  раз

человека , точнее говоря происходит процесс

                                Лисицы ( Меха

   Конечный  продукт - Меха , не играет непосредственной  роли  в  дальнейшем

ходе процесса . Этот конечный продукт можно ,  однако  ,  рассматривать  как

носитель энергии, выводимой из  системы  ,  к  которой  она  была  в  начале

подведена (например, в виде травы ).

   Таким  образом , в экологической системе  также существует поток энергии  -

аналогично  тому  ,  как  это  имеет  место  в   химической   пробирке   или

биологической клетке .

    Совершенно  ясно  ,  что  в  действительности  происходят  периодические

колебания численности  популяции кроликов и  лисиц  ,  причем  за  нарастании

численности  кроликов  следует  нарастание  численности  лисиц   ,   которые

сменяются уменьшением  численности  кроликов  ,  сопровождающимся  столь  же

резким снижением численности лисиц , затем повышенным  подъемом  численности

кроликов и  так далее (рис. 3.7).

                                    [pic]

Рис. 3.7.   Изменение  численности популяций кроликов и лисиц

                  со временем. Наличие периодичности  означает

                  возникновение экологической структуры.

   С течением  времени численность обеих популяций  меняется в соответствии  с

последовательным  прохождением  точек  графика  .  Через   некоторое   время

(конкретное  значение зависит от быстроты поедания лисицами кроликов , а  так

же от скорости размножения обоих видов) весь цикл начинается вновь.

   Поведение  популяций при  различных   степенях  плодовитости  ,  а   так  же

различных способностях избегать истребления можно  изучить  количественно  с

помощью программы : ПОПУЛЯЦИЯ (в приложении).

   Эта программа  реализует решение  уравнений   для  диссипативной  структуры

«кролики - лисицы». Результат решения  изображается  графически  .  Решается

система дифференциальных уравнений

                                    [pic]

   Здесь  буквы  К, Л, Т -  означают  соответственно  количество  кроликов  ,

лисиц , травы  ;  коэффициенты   k1,  k2,  k3  -  обозначают  соответственно

скорость рождения кроликов , скорость поедания кроликов лисицами и  скорость

гибели лисиц.

   В программе  понадобится уточнить значение  отношений (примерно равное  1),

постоянное  количество травы (так же принимаемое  обычно равным 1),  начальные

значения популяции  кроликов и лисиц (обычно  0,4),  продолжительность  цикла

(типичное значение 700) и шаг по оси времени (обычно равный 1).

   Программа  популяции - это график. Он показывает  поведение  популяций  при

различных степенях плодовитости , а так же различных  способностях  избегать

истребление.

    Совершенно  ясно  ,  что  в  действительности  происходят  периодические

колебания численности  популяции кроликов и  лисиц  ,  причем  за  нарастании

численности  кроликов  следует  нарастание  численности  лисиц   ,   которые

сменяются уменьшением  численности  кроликов  ,  сопровождающимся  столь  же

резким снижением  численности лисиц , затем повышенным  подъемом  численности

кроликов и  так далее, то есть видно , что система  самоорганизуется.

   Программа  прилагается.

 

 

 

                                    [pic]

                                 ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

   Мы видели , что необратимость времени тесно  связана с неустойчивостями  в

открытых  системах  .  И.Р.  Пригожин  определяет  два  времени  .  Одно   -

динамическое , позволяющее задать описание  движения  точки  в  классической

механике или изменение волновой функции в квантовой механике . Другое  время

- новое внутренние  время  ,  которое  существует  только  для  неустойчивых

динамических  систем . Оно характеризует  состояние  системы  ,  связанное  с

энтропией .

   Процессы  биологического или общественного  развития  не  имеют  конечного

состояния . Эти  процессы неограниченны . Здесь , с одной  стороны  ,  как  мы

видели , нет  какого-либо противоречия со вторым началом  термодинамики , а  с

другой стороны - четко виден поступательный характер развития (прогресса)  в

открытой  системе.  Развитие  связано  ,  вообще  говоря  ,  с   углублением

неравновесности , а значит , в принципе с  усовершенствованием  структуры  .

Однако с  усложнением структуры возрастает число и глубина неустойчивостей  ,

вероятность бифуркации .

    Успехи  решения  многих   задач   позволили   выделить   в   них   общие

закономерности , ввести новые понятия и на этой основе сформулировать  новую

систему взглядов - синергетику  .  Она  изучает  вопросы  самоорганизации  и

поэтому должна давать картину развития и  принципы  самоорганизации  сложных

систем , чтобы  применять  их  в управлении  .  Эта задача  имеет огромное

значение , и , по нашему мнению , успехи в ее  исследовании  будут  означать

продвижение   в   решении   глобальных   задач   :   проблемы   управляемого

термоядерного синтеза , экологических проблем , задач управления и других  .

 

   Мы понимаем , что все приведенные в работе  примеры относятся к  модельным