Взаимное пересечение многогранников

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА  РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГОУВПО «УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)»

 

ФАКУЛЬТЕТ ЛЕТНОЙ ЭКСПЛУАТАЦИИ И УПРАВЛЕНИЯ ВОЗДУШНЫМ ДВИЖЕНИЕМ

 

КАФЕДРА ЛЕТНОЙ ЭКСПЛУАТАЦИИ И БЕЗОПАСНОСТИ ПОЛЕТОВ

 

Реферат №3

Тема: «Взаимное пересечение многогранников»

 

 

 

 

Ульяновск 2012

Типы задач

Для построения линии пересечения таких поверхностей (ломаной линии) необходимо найти точки пересечения ребер одного многогранника с гранями второго, а затем наоборот – ребер второго с гранями первого, т.е. нужно многократно решить задачу на пересечение прямой с плоскостью. Полученные точки будут являться вершинами ломаной линии.

Следует помнить, что точки линии пересечения всегда будут находиться в пределах площади наложения проекций поверхностей.

Полученные точки соединяем между собой, учитывая при этом, что соединять можно только те точки, которые лежат в одной грани первого многогранника и, одновременно, в одной грани второго многогранника.

При соединении вершин ломаной линией необходимо сразу же решать вопрос видимости отрезков этой ломаной линии. Видимыми будут те отрезки, которые одновременно принадлежат видимым граням обоих многогранников.

Линию пересечения можно построить также путем многократного решения задачи на пересечение двух плоскостей, т.е. строить линию пересечения граней одного многогранника с гранями другого и наоборот. Этот способ требует большего количества построений, поэтому на практике используется реже.

Все задачи на пересечение двух поверхностей можно условно разделить на три типа:

1. Обе  поверхности имеют вырожденный  вид;

2. Одна  из двух поверхностей имеет  вырожденный вид;

3. Ни одна из поверхностей не имеет вырожденного вида.

 

 

1. Первый тип задач - обе  поверхности имеют вырожденный  вид

Пример 1. Построить линию пересечения призмы с параллелепипедом (рис. 1).

В данном случае линия пересечения распадается на две пространственные кривые.

Так как каждая из поверхностей имеет вырожденный вид, то линия пересечения на видах уже есть. На виде спереди она совпадает с вырожденным видом параллелепипеда 1-2-3-4-5-6, а на виде сверху с вырожденным видом призмы 1-2-3-4-5-6 и 1-2-4-6.

 

 

2. Второй тип задач - одна  из поверхностей имеет вырожденный  вид.

Пример 2. Построить линию пересечения прямой треугольной призмы с треугольной пирамидой (рис. 2).

Поскольку боковая поверхность призмы на виде сверху вырождается в линию (треугольник), то точки 1, 2, 3 и 4 здесь будут точками пересечения ребер АS и BS пирамиды с гранями призмы LL'K'K и КК'М'М, а точки 5 и 6 – точки пересечения ближнего ребра призмы КК' с гранями пирамиды ACS и BCS.

Остальные ребра призмы и пирамиды точек пересечения с гранями не имеют. Зная положение точек линии пересечения на виде сверху, способом принадлежности находим их на виде спереди. Для нахождения на виде спереди точек 5 и 6, проводим на гранях АСS и ВСS пирамиды вспомогательные прямые S7 и S8 проходящие через точки 5 и 6, а затем на основании свойства принадлежности находим их.

Полученные вершины линии пересечения соединяем отрезками прямых. При этом соединяем точки, принадлежащие как одной грани призмы, так и одной грани пирамиды.

Видимым будет участок линии пересечения только в том случае, если он находится одновременно в видимой грани призмы и видимой грани пирамиды. Во всех остальных случаях участки линии пересечения будут невидимы.

 

3. Третий тип задач - пересечение  поверхностей общего положения

Этот тип задач является наиболее сложным.

Общим способом построения линии пересечения в этом случае является способ поверхностей-посредников. В качестве поверхностей-посредников используют плоскости общего или частного положения и сферы. Мы не будем рассматривать применение плоскостей общего положения, поскольку на практике чаще используют плоскости-посредники частного положения.

Способ плоскостей-посредников применяют в тех случаях, когда обе поверхности можно пересечь по графически простым линиям. Эти линии на одном из видов будут обязательно совпадать и поэтому такой способ можно трактовать как способ  конкурирующих линий.

Под графически простыми линиями следует понимать две линии – прямую и окружность, построение которых не вызывает затруднений.

При построении линии пересечения всегда следует соблюдать определенную последовательность: в первую очередь строят опорные точки, которые позволяют видеть в каких пределах расположены проекции линии пересечения, и где имеет смысл определять случайные точки.

Построение точек линии пересечения поверхностей указанным способом состоит в проведении проецирующих плоскостей, пересекающих обе данные поверхности по графически простым линиям (прямым или окружностям). Пересечение этих линий, принадлежащих разным поверхностям и лежащим в одной секущей плоскости, определяет точки общие для обеих поверхностей – точки принадлежащие линии их пересечения.

Следовательно, если у пересекающихся поверхностей имеются семейства графически простых линий, лежащих в проецирующих секущих плоскостях (или конкурирующих друг с другом), то точки пересечения этих линий и будут точками искомой линии пересечения.

Рассмотрим несколько примеров построения линии пересечения поверхностей указанным способом.

Пример 3. Построить линию пересечения конуса вращения со сферой (рис. 3).

В качестве посредника здесь следует взять горизонтальную плоскость (или фронтально-конкурирующие параллели hк и hс, которые представляют собой окружности).

Сначала определим опорные точки. Точки А и В, находящиеся в месте пересечения контурных линий конуса и сферы, будут соответственно высшей и низшей, и одновременно точками видимости для вида спереди (т.к. обе поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную фронтальной плоскости проекций).

Для определения точек видимости на виде сверху, возьмем на виде спереди пару конкурирующих линий h1к=h1с, расположенных на уровне экватора сферы. Построив эти линии на виде сверху, находим точки С и D, которые и будут точками видимости этого вида.

Для определения случайных точек берем пару фронтально-конкурирующих линий h²к=h²с. Построив их на виде сверху, находим на пересечении этих линий точки 1 и 2, которые затем отмечаем на виде спереди.

Подобным образом находим и остальные случайные точки линии пересечения, которые затем соединяем плавной кривой; с учетом её видимости.

 

4. Частные случаи пересечения

Если при построении линии пересечения двух поверхностей хотя бы одна из них является проецирующей, следует использовать «вырождение» проекции этой поверхности в линию.

Построение линии пересечения в этом случае значительно упрощается, поскольку линия пересечения поверхностей уже имеется на чертеже - она совпадает с «вырожденной» в линию поверхностью. Другая проекция линии пересечения легко определяется с помощью графически простых линий второй поверхности.

Пример 4. Построить линию пересечения двух цилиндров вращения со скрещивающимися осями, поверхность одного из которых является проецирующей (рис. 4).

В данном случае одна из проекций линии пересечения (горизонтальная) уже имеется, она совпадает с дугой АВ окружности, в которую «вырождается» поверхность вертикально расположенного цилиндра.

Для построения фронтальной проекции (вида спереди) линии пересечения построим фронтальные проекции определяющих ее точек при помощи образующих второго цилиндра (прямых линий).

Опорные точки А и В (дальняя и ближняя) находятся на дальней и ближней образующих наклонного цилиндра, совпадающих на виде спереди (фронтальной проекции) с его осью.

Точки C и D (высшая и низшая) являются одновременно и точками видимости наклонного цилиндра на виде спереди (фронтальной проекции).

Точки E и F (самые левые) являются точками видимости для вертикального цилиндра на виде спереди (фронтальной проекции). Для нахождения их фронтальных проекций удобно построить дополнительный вид наклонного цилиндра на плоскость, перпендикулярную образующим цилиндра. Здесь цилиндр проецируется в окружность, и проекции точек легко определяются с помощью глубины (отмеченной одним штрихом), замеренной на виде сверху.

Построим несколько случайных точек линии пересечения, например точки M и N. Их так же удобно находить при помощи имеющегося дополнительного вида. Для определения положения их проекций используем замеренную на виде сверху глубину, отмеченную двумя штрихами.

Видимость линии пересечения определяется точками видимости C и D наклонного цилиндра, расположенного ближе, чем вертикальный.

На выносном элементе показана форма линии пересечения в зоне точек Е и С. В нижней части, в зоне точек D и F, линия пересечения выглядит аналогично.