Вписанные и описанные окружности в треугольниках и четырехугольниках

Магнитогорский Государственный  Университет

 

 

 

 

 

 

Реферат на тему:

 

«Вписанные и описанные  окружности в треугольниках и  четырехугольниках»

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила

Студентка 4 курса МаГУ

ФМФ 41

Исакова Надежда

 

 

 

 

 

 

 

 

Магнитогорск   2012

 

 

Содержание:

1. Введение.

2. Теория.

  2.1. Вписанные окружности.

  2.2. Описанные окружности.

3. Практика. Задачи.

4. Список литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы.

 

Для теории использованы:

 

1.Геометрия. Учебник для  7 – 9 кл. ср.школы. / Л.С. Атанасян и др.,                  

М. : Просвещение, 1990.

2. А.П. Киселев, Н.А. Рыбкин. «Геометрия. Планиметрия. 7 – 9 классы»,

М. : Дрофа, 1995.

 

Для практики использованы:

Математический форум  для школьников и абитуриентов.

 http://www.diary.ru

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Введение

Тема «Вписанные и описанные  окружности в треугольниках и  четырехугольниках» является довольно сложной, а времени на уроках ей уделяется мало. Геометрические задачи включаются во вторую часть ЕГЭ. Для решения этих заданий необходимы твердые знания и опыт в решении геометрических задач данной темы.

Цель данной работы:

Углубить знания по теме «Вписанная и описанная окружности в треугольниках и четырехугольниках»

Задачи:

Систематизировать знания по этой теме

Подготовиться к решению  задач, в том числе экзаменационных

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Теория

2.1. Вписанная окружность

Определение: если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а  многоугольник – описанным около  этой окружности.

(рис 1)

Теорема: 

В любой треугольник можно  вписать окружность.

 

Доказательство.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и обозначим  буквой О точку пересечения его биссектрис. Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОL, и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА.

 

 

  (рис 2)

 

 

Так как точка О равноудалена от сторон треугольника АВС, то ОК = ОL = ОМ. Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L и М. Стороны треугольника АВС касаются этой окружности в точках К, L и М, так как они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL и ОМ. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник АВС. Теорема доказана.

 

Замечание.

 

1) Отметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. В самом деле, допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудален от сторон треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.

 

 

 

 

2) В отличие от треугольника  не во всякий четырехугольник  можно вписать окружность. Рассмотрим, например, прямоугольник, у которого смежные стороны не равны, т. е. прямоугольник, не являющийся квадратом. Ясно, что в такой прямоугольник можно “поместить” окружность, касающуюся трех его сторон, но нельзя “поместить”  окружность так, чтобы она касалась всех четырех его сторон, т. е. нельзя вписать окружность.

 

 

 

 

 

 

                                                                          (рис 3)

 

 

Если же в четырехугольник  можно вписать окружность, то его  стороны обладают следующим замечательным  свойством:

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. 

 

(рис 4)                                                         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2. Описанная окружность

 

 

Определение: если все вершины многоугольника лежат  на окружности,      то окружность называется описанной около многоугольника, а          многоугольник – вписанным в эту окружность.

  (рис 5)

Теорема: Около любого треугольника можно описать окружность. 

 

Доказательство.

Рассмотрим произвольный треугольник  АВС. Обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведем отрезки ОА, ОВ и ОС.

 

(рис 6)

 

Так как точка О равноудалена от вершин треугольника ABC, то OA =OB = OC. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника АВС. Теорема доказана.

 

Замечание.

 

1) Отметим, что около треугольника можно описать только одну окружность. В самом деле, допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.

 

2) В отличие от треугольника  около четырехугольника не всегда  можно описать окружность. Например, нельзя описать окружность около  ромба, не являющегося квадратом.

(рис 7)

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его  углы обладают следующим замечательным  свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов  равна 180⁰.

 

(рис 8)

 

Доказательство.

 

/   А, как вписанный в окружность О, измеряется  ¹/₂  BCD.  
/   С, как вписанный в ту же окружность, измеряется  ¹/₂  BAD.

Следовательно, сумма углов  А и С измеряется полусуммой дуг BCD и BAD в сумме же эти дуги составляют окружность, т. е. имеют  360°.  
Отсюда  /  А + /  С = 360° : 2 = 180°.  Аналогично доказывается, что и /  В + /  D = 180°. Доказано.

 

Верно обратное утверждение: Если сумма противоположных углов  четырехугольника  

равна 180⁰, то около него можно описать окружность.

 

Доказательство.

 

Пусть сумма противоположных  углов четырёхугольника ABCD равна 180°, а именно  
 /  А + /  С = 180° и /  В + /  D = 180°  (рис 8).

Докажем, что около такого четырёхугольника можно описать  окружность.

Через любые 3 вершины этого  четырёхугольника можно провести окружность, например через точки А, В и С.   Где будет находиться точка D?

 

Точка D может занять только одно из следующих трёх положений: оказаться  внутри круга, оказаться вне круга, оказаться на окружности круга.

(рис 9) (рис 10)

 

Допустим, что вершина  окажется внутри круга и займёт положение D' (рис 9). Тогда в четырёхугольнике ABCD' будем иметь:

/  В + /  D' = 2d.

Продолжив сторону AD' до пересечения  с окружностью в точке Е и соединив точки Е и С, получим вписанный четырёхугольник АВСЕ, в котором по прямой теореме

/  B + /  Е = 2d.

Из этих двух равенств следует:

/  D' = 2d — /  B; 
/  E = 2d — /  B;

откуда

/  D' =  / E,

но этого быть не может, так как /  D', как внешний относительно треугольника CD'E, должен быть больше угла Е. Поэтому точка D не может оказаться внутри круга.

 

Так же доказывается, что  вершина D не может занять положение D" вне круга (рис 10).

 

Остаётся признать, что  вершина D должна лежать на окружности круга, т. е. совпасть с точкой Е, значит, около четырёхугольника ABCD    можно описать   окружность.  Доказано.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Практика

Задача 1: окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его боковых сторон в точках K и A. Точка K делит сторону этого треугольника на отрезки 15 и 10, считая от основания. Найдите длину отрезка KA.

Дано: ∆ BCD – равнобедренный, K є BC, A є DC, BK = 15, KC = 10

 

 

 

Найти: KA

Решение:

CD = CB = BK + KC, CD = CB = 15 + 10 = 25

CK = CA = 10 (отрезки  касательных, проведенные из одной  точки), CB = CD, следовательно AD = CD – CA, AD = 25 – 10 = 15

BE = BK = 15, DE = DA = 15 (отрезки  касательных, проведенные из одной  точки), следовательно BD = 15 + 15 = 30

∆ CKA ~ ∆ CBD (ﮮC – общий, CK : CB = CA : CD), следовательно KA : BD = CA : CD, KA : 30 = 10 : 25, KA = 10 ∙ 30 : 25 = 12

Ответ: KA = 12

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2: около равнобедренного треугольника с основанием AC и углом при основании 75˚ описана окружность с центром O. Найдите ее радиус, если площадь треугольника BOC равна 16.

Дано: ∆ ABC – равнобедренный, AC – основание, ﮮ ACB = 75˚, площадь ∆ BOC равна 16

 

 

Найти: радиус описанной  окружности

Решение:

Проведем медианы AF, CE, BH

∆ ABC – равнобедренный, BH – медиана, следовательно, BH – высота, а значит ∆ HBC – прямоугольный

ﮮ HBC = 90˚ - ﮮ ACB,  ﮮ HBC = 90˚ - 75˚ = 15˚

BO = OC = R, следовательно,  ∆ BOC – равнобедренный, значит  ﮮHBC = ﮮECB = 15˚

ﮮ COB = 180˚ - (ﮮ HBC + ﮮECB), ﮮ COB = 180˚ - (15˚ + 15˚) = 150˚

S =   ∙ BO ∙ OC ∙ sin ﮮ BOC (теорема о площади треугольника), SBOC =   ∙ R ∙ R ∙ sin 150˚ =    ∙ R ∙ R ∙  =   ∙ R2 ;    ∙ R2 = 16; R2 = 16 :   = 64; R =   = 8

Ответ: R = 8

 

 

 

 

 

Задача 3: вся дуга окружности радиуса R разделена на 4 большие и 4 малые части, которые чередуются одна за другой. Большая часть в два раза длиннее малой. Определить площадь восьмиугольника, вершинами которого являются точки деления дуги окружности.

Дано: окружность, разделенная  на 4 большие и 4 малые части, радиус = R, большая часть в два раза длиннее малой.

Найти: 

Решение:

Пусть ﮮAOB = 2x, ﮮBOC = x, тогда по условию 8x + 4x = 360°, x = 30°, 2x = 60°, ﮮAOB = 60°, ﮮBOC = 30°

Ответ: 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4: в ромб вписана окружность радиуса R. Найти площадь ромба, если его большая диагональ в 4 раза больше радиуса вписанной окружности.

 

Дано: ромб, радиус вписанной окружности – R, BD   r в 4 раза

Найти: 

Решение:

Пусть OE = R, BD = 4OE = 4R

 

Ответ: