Вписанная и описанная окружности в треугольниках и четырехугольниках

1 Историческая справка:

Вавилон

На востоке от Аравийского  полуострова с севера на юг текут  две большие реки – Евфрат и  Тигр. Между ними тянется узкая  длинная полоса земли. В древности  она называлась Месопотамией, что  в переводе означает “ Междуречье’’. Самым известным государством Месопотамии  был Вавилон. Земля в Междуречье плодородная, но там не было ни металлов, ни камня, ни леса, чтобы строить  дома. Всё это вавилонянам приходилось  покупать у других народов. Поэтому  Вавилон раньше других стран стал вести большую торговлю. Торговля помогала науке. В математике вавилонские  учёные добились больших успехов.

Около шести тысяч лет  назад в Вавилоне было сделано  замечательное открытие: люди изобрели колесо. Колесо? Что же тут замечательного? Но так кажется только на первый взгляд. Представьте себе на секунду, что вдруг случилось чудо, и  на земле исчезли все колёса. Это  было бы настоящей катастрофой! Остановятся  автомобили и поезда, замрут заводы и фабрики, перестанут давать ток  электростанции. Выходит, что неизвестный  вавилонский изобретатель первого  колеса действительно сделал великое  открытие.

Вавилонские инженеры и мастера  стали пользоваться блоками. Они  поднимали и перетаскивали такие  тяжести, справиться с которыми без  колеса было бы не под силу. Колесо и  рычаг стали первыми настоящими помощниками человека в работе с  большими тяжестями.Так изобретение колеса сыграло очень большую роль в истории Вавилона.

2 Цели  изучения темы .

Цель:

• Углубить знания по теме «Вписанная и описанная окружности в треугольниках и четырехугольниках»

Задачи:

• Систематизировать знания по этой теме

3 Анализ темы в школьных учебниках.

 

Теоретическая часть

2.1 Вписанная окружность

 

Определение: если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.

Теорема: в любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Центр окружности, вписанной  в треугольник, находится на пересечении  биссектрис треугольника.

Свойство: в любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Признак: если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

2.2 Описанная окружность

 

 

Определение: если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.

Теорема: около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Центр окружности, описанной  около треугольника, находится на пересечении серединных перпендикуляров.

Свойство: в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180˚.

Признак: если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180˚, то около него можно описать окружность.

 

2.3 Взаимное расположение  прямой и окружности:

 

AB – касательная, если OH = r

Свойство касательной:

AB _┴ OH (OH – радиус, проведенный в точку касания H)

Свойство  отрезков касательных, проведенных  из одной точки:

AB = AC

ﮮ BAO = ﮮ CAO

 

Свойство  хорд: если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM ∙ MB = CM ∙ MD.

 

 

 

7. Практическая часть

7.1 Задачи с окружностью, описанной около треугольника

 

 

Задача 1: Около равнобедренного треугольника с основанием AC и углом при основании 75˚ описана окружность с центром O. Найдите ее радиус, если площадь треугольника BOC равна 16.

Дано: ∆ ABC – равнобедренный, AC – основание, ﮮ ACB = 75˚,

площадь ∆ BOC равна 16

Найти: радиус описанной  окружности

Решение:

1. Проведем медианы AF, CE, BH
2. ∆ ABC – равнобедренный, BH – медиана, следовательно, BH – высота, а значит ∆ HBC – прямоугольный
3. ﮮ HBC = 90˚ - ﮮ ACB, ﮮ HBC = 90˚ - 75˚ = 15˚
4. BO = OC = R, следовательно, ∆ BOC – равнобедренный, значит ﮮHBC = ﮮECB = 15˚
5. ﮮ COB = 180˚ - (ﮮ HBC + ﮮECB), ﮮ COB = 180˚ - (15˚ + 15˚) = 150˚

Ответ: R = 8

Задача 2: треугольник BMP с углом B, равным 45˚, вписан в окружность радиуса 6. Найдите длину медианы BK, если BK пересекает окружность в точке C и CK = 3.

Решение:

1. ﮮ MOP = 2 ﮮMBP

ﮮ MOP = 2 ∙ 45˚ = 90˚, следовательно, ∆ MOP – прямоугольный

2. MP² = OM² + OP²

MP² = 6² + 6² = 36 + 36 = 36 ∙ 2

MP =

3. MK = KP = 0,5 ∙ MP

MK = KP = 0,5 ∙  =

4. MK ∙ KP = BK ∙ KC

= BK ∙ 3

BK ∙ 3 = 9 ∙ 2

BK ∙ 3 = 18

BK = 6

Ответ: BK = 6

7.2 Задачи с окружностью, вписанной в треугольник

 

Задача 3: радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 м, а радиус описанной окружности равен 5 м. Найдите больший катет треугольника.

Решение:

1. AC = 2r = 10 м
2. Пусть AM = AK = x, MC = CL = y

По теореме Пифагора:

 

x + y = 10

(x + 2)² + (y + 2)² = (x + y)²

y = 10 – x

(x + 2)² + (10 – x + 2)² = (x + 10 – x)²

(x + 2)² + (12 – x)² = 100

x² + 4x + 4 +144 – 24x + x² = 100

2x² – 20x + 148 = 100

2x² – 20x + 48 = 0

x² – 10x + 24 = 0

x₁ = 6, x₂ = 4

y = 10 – x

x = 6 x = 4

y = 4 y = 6

3. Так как нужно найти  больший катет, то берем y = 6

BC = 2 + 6 = 8 м

Ответ: BС = 8 м

 

Задача 4: окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его боковых сторон в точках K и A. Точка K делит сторону этого треугольника на отрезки 15 и 10, считая от основания. Найдите длину отрезка KA.

 

 

Дано: ∆ BCD – равнобедренный, K є BC, A є DC, BK = 15, KC = 10

Найти: KA

Решение:

1. CD = CB = BK + KC, CD = CB = 15 + 10 = 25
2. CK = CA = 10 (отрезки касательных, проведенные из одной точки), CB = CD, следовательно AD = CD – CA, AD = 25 – 10 = 15
3. BE = BK = 15, DE = DA = 15 (отрезки касательных, проведенные из одной точки), следовательно BD = 15 + 15 = 30
4. ∆ CKA ~ ∆ CBD (ﮮC – общий, CK : CB = CA : CD), следовательно KA : BD = CA : CD, KA : 30 = 10 : 25, KA = 10 ∙ 30 : 25 = 12

Ответ: KA = 12

Задача 5 :

Боковые стороны равнобедренного  треугольника равны 10, основание равно 12. Найдите радиус вписанной окружности.

   Ответ 3.

7.3 Задачи с окружностью, вписанной в четырехугольник.

Задача 6: найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности с радиусом 4, если известно, что боковая сторона трапеции равна 10.

 

 

Дано: ABCD – равнобедренная трапеция, r = 4, AB = 10

Найти:

 

Решение:

AB = CD = 10 по условию

AB + CD = AD + BC по свойству  вписанной окружности

AD + BC = 10 + 10 = 20

FE = 2r = 2 · 4 = 8

Ответ:

 

Задача 7: в ромб вписана окружность радиуса R. Найти площадь ромба, если его большая диагональ в 4 раза больше радиуса вписанной окружности.

Дано: ромб, радиус вписанной  окружности – R, BD r в 4 раза  Найти:

 

Решение:

Пусть OE = R, BD = 4OE = 4R

 

Ответ:

 

Задача 8:

Три последовательные стороны  четырехугольника, в который можно  вписать окружность, равны 6 см, 8 см и 9 см. Найдите четвертую сторону.

Ответ 7.

 

 

7.4 Задачи с окружностью, описанной около четырехугольника.

Задача 9:

Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 20, средняя  линия 5 см. Найдите боковую сторону  трапеции.

   Ответ 5.

 

Задача 10:

Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 100^о. Найдите угол C. 

  Ответ 80.