Направленные отрезки

2. Для любого числа и любых векторов и

т.е. скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения.

Доказательство. Обозначим через угол между вектором и . Если число и векторы ненулевые, то и мы получаем (см.рис. 1)

Если число и векторы ненулевые, то и мы получаем (см.рис. 2)

Наконец, если число или один из векторов нулевой, то доказываемое равенство очевидно.

3. Для любых векторов и

Доказательство. Обозначим через угол между вектором и , через угол между вектором и , через угол между вектором и .
По определению получаем

Учитывая формулу и свойство 2. проекций векторов, имеем

Геометрические свойства.

4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, т.е.

В частности, тогда и только тогда, когда вектор нулевой.

Следует из определения скалярного произведения векторов и того факта, что .

5. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они перпендикулярны или хотя бы один из них нулевой.

Доказательство. Действительно

или или или или .

6. Скалярное произведение двух ненулевых векторов положительно (отрицательно) тогда и только тогда, когда угол между ними острый (тупой).

Доказательство. Действительно знак скалярного произведения ненулевых векторов, согласно определению, совпадает со знаком косинуса угла между ними.

16 Координатная форма скалярного произведения

ТЕОРЕМА 16.1. Пусть в пространстве выбран ортонормированный базис , в котором . Тогда

Доказательство. По определению координат вектора в базисе имеем
и , поэтому

Используя доказанные свойства скалярного произведения, получаем


Поскольку базис ортонормированный, то и , значит, окончательно получим


Теорема доказана.
Замечание 16.1. Если рассматривается множество векторов, параллельных некоторой плоскости (т.е. двумерное векторное подпространство пространства ), то формула принимает вид

где в ортонормированном базисе двумерного подпространства .

17 Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения

Задача 17.1. Пусть даны координаты вектора в ортонормированном базисе. Найти длину вектора .
Решение. Согласно свойству 4. скалярного произведения длина вектора находится по формуле , т.е. . Но скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе
вычисляется по формуле . Поэтому получаем следующую формулу для нахождения длины вектора, заданного своими координатами в ортонормированном базисе

Задача 17.2. Пусть даны координаты векторов и в ортонормированном базисе. Найти угол между векторами и .
Решение. Из определения скалярного произведения получаем следующую формулу для нахождения косинуса угла между векторами:

С учетом формул и приходим к следующей формуле для нахождения угла между векторами, заданных своими координатами в ортонормированном базисе

Ортогональная проекция вектора на ось.

Задача 17.3. Пусть даны два вектора и . Найти ортогональную проекцию вектора на ось вектора .
Решение. По формуле имеем

Следовательно, получаем формулу для нахождения ортогональной проекции вектора на ось вектора

Ортогональная проекция вектора на плоскость.

Определение 17.1. Пусть дан вектор и некоторая плоскость . Обозначим через ортогональные проекции точек на плоскость . Вектор называется ортогональной проекцией вектора на плоскость и обозначается .

Задача 17.3. Найти ортогональную проекцию данного вектора на плоскость , перпендикулярную данному вектору .
Решение. Пусть данный вектор . По определению ортогональной проекции вектора на плоскость имеем (см рисунок).


По правилу многоугольника для сложения векторов, получаем равенство

Заметим, что и , поэтому . По признаку коллинеарности векторов получаем равенство . Кроме того, , поэтому

Умножим обе части этого равенства скалярно на вектор . Имеем числовое равенство

Учитывая, что

Из последнего равенства находим, что

Поэтому для нахождения ортогональной проекции вектора на плоскость, перпендикулярную заданному вектору имеем

18 Геометрический смысл координат вектора в ортонормированном базисе

Пусть в пространстве выбран ортонормированный базис , в котором . Тогда . Умножим обе части этого
равенства скалярно сначала на вектор , потом на и . Получаем

Поскольку базис ортонормированный, то , а поэтому имеем равенства

С учетом формулы имеем

Из равенств получаем геометрический смысл координат вектора в ортонормированном базисе:

координаты вектора в ортонормированном базисе равны ортогональным проекциям данного вектора на оси соответствующих базисных векторов.

Обозначим через . Тогда, используя формулу , равенства примут вид

Числа называются направляющими косинусами вектора в ОНБ .
Подставим в получаем

или

Таким образом, сумма квадратов направляющих косинусов любого ненулевого вектора равна единице.

Заметим, что если --- единичный, то его координаты в ОНБ равны направляющим косинусам этого вектора или, иначе, направляющие косинусы данного вектора равны координатам единичного вектора того же направления.

19 Системы координат на плоскости и в пространстве. Основные задачи на метод координат

Определение 19.1. Пусть --- произвольная точка и --- произвольный базис в пространстве. Четверка называется аффинной системой координат в пространстве или аффинным репером. Четверка называется прямоугольной декартовой системой координат (сокращенно ПДСК ).

Определение 19.2. Направленные прямые, проходящие через точку и параллельные координатным векторам, на которых положительные направления определяются этими векторами называются координатными осями.

Координатная ось параллельная первому базисному вектору называется осью абсцисс и обозначается , координатная ось параллельная второму базисному вектору называется осью ординат и обозначается , координатная ось параллельная третьему базисному вектору называется осью апликат и обозначается .

Плоскости, определяемые парами координатных осей называются координатными плоскостями.

Замечание 19.1. На плоскости также имеем две системы координат:

1. --- аффинная система координат (сокращенно А.С.К).

2. --- прямоугольная декартова система координат.

Определение 19.3. Пусть --- А.С.К, --- произвольная точка пространства. Вектор называется радиус-вектором точки .

Определение 19.4. Координаты радиус-вектора в базисе называются координатами точки в системе координат .

Кратко: в системе по определению означает выполнение равенства

.

Аналогично на плоскости: любая точка имеет пару координат в репере, которые есть координаты ее радиус-вектора в соответствующем базисе.

Нетрудно показать, что между точками пространства (плоскости) и упорядоченными тройками (парами) чисел существует взаимно однозначное соответствие. Решим несколько задач.

Задача 19.1. В аффинной системе координат даны координаты точек и . Найти координаты вектора .

Решение. По правилу вычитания векторов получаем . Откуда получаем, что каждая координата вектора равна разности соответствующих координат конца и начала вектора, т.е.

Задача 19.2. В прямоугольной декартовой системе координат даны координаты точек и . Найти расстояние между точками и .

Решение. Очевидно, что расстояние между данными точками и равно длине вектора . Поэтому по формуле имеем . С учетом формул и , окончательно получаем

Деление отрезка в данном отношении.

Определение 19.5. Пусть --- две точки, а --- некоторое действительное число . Говорят, что точка делит направленный отрезок в отношении , если

Из следует, что , то есть , причем:

если ;

если лежит вне отрезка .

Задача 19.3. В аффинной системе координат , точка делит направленный отрезок в отношении . Найти координаты точки .

Решение. Пусть тогда переписав в координатах, с учетом получим равенства:

или после очевидных преобразований

В частности, если --- середина отрезка, то есть , то формулы приобретают вид:

Задача 19.4. В аффинной системе координат даны координаты вершин треугольника . Найти координаты точки --- точки пересечения его медиан (центр тяжести треугольника).

Решение. Пусть --- середина отрезка . Тогда точка делит направленный отрезок в отношении . Последовательно, применяя формулы и
получим:

и
Окончательно имеем формулы нахождения координат центра тяжести треугольника по известным координатам его вершин:

20 Скалярное произведение на плоскости в аффинных координатах.

Пусть на плоскости введен произвольный аффинный базис . Введем следующие обозначения для скалярных квадратов базисных векторов и самого скалярного произведения данных векторов:

Из свойств скалярного произведения следует, что . Совокупность чисел будем называть метрическими коэффициентами базиса .

Наряду с базисом рассмотрим еще базис .

Определение 20.1. Базисы и называются взаимными, если

В случае двумерного векторного подпространства (множества векторов параллельных некоторой плоскости) взаимные базисы допускают простую геометрическую интерпретацию. Другими словами, можно указать способ построения взаимного базиса к заданному. Действительно, пусть --- данный базис. Тогда вектор перпендикулярен вектору и образует острый угол с вектором , и, аналогично, перпендикулярен вектору и образует острый угол с вектором . Длины векторов определятся условием .

Точно так же определим метрические коэффициенты базиса .

Рассмотрим произвольный вектор плоскости и разложим его по векторам и . Получим

Определение 20.2. Коэффициенты называются контравариантными координатами , а --- ковариантными координатами вектора в базисе .

Рассмотрим теперь два вектора и , разложим их по векторам , а также по векторам :

Используя данные представления векторов и , вычислим их скалярное произведение четырьмя способами:

Мы видим, что удобнее всего находить скалярное произведение двух векторов, если один вектор задан ковариантными, а другой контравариантными координатами. Установим связь контравариантных координат с ковариантными координатами одного и того же вектора . Из соотношения находим

или

или короче

Аналогично находим

Установим связь между взаимными базисами. Для этого разложим базисные векторы по векторам :

Умножая скалярно обе части первого из этих соотношений на и , получим

и аналогично из второго соотношения

Мы приходим к формулам:

Подобным образом выводится соотношение

Найдем теперь формулы для вычисления метрических коэффициентов взаимного базиса, по известным метрическим коэффициентам исходного базиса. Для этого распишем формулы подробно. Получаем:

Умножая скалярно обе части каждого из этих соотношений на и , получим

Используя ранее введенные обозначения и определение взаимных базисов, приходим к следующей системе линейных уравнений относительно неизвестных

Решая эту систему приходим к следующим выражениям для метрических коэффициентов взаимного базиса с учетом, что и

где .

21 Ориентация плоскости и пространства.

Для простоты вычислений рассмотрим подробно как определяется ориентация плоскости. Пусть --- множество всех векторов, параллельных плоскости, т.е. двумерное подпространство пространства . Как известно, любые два неколлинеарных вектора из , взятые в определенном порядке, образуют базис . Поэтому в существует бесконечное множество базисов. Рассмотрим два из них: и . Разложим векторы базиса по векторам базиса :

Из координат векторов и можно составить матрицу второго порядка:

Координаты вектора образуют первый столбец этой матрицы, а координаты вектора --- второй столбец. Эту матрицу назовем матрицей перехода от базиса к базису .

Определение 21.1. Число называется определителем матрицы перехода от базиса к базису и обозначается так:

Так как векторы и линейно независимы, то из следствия о координатах коллинеарных векторов получаем, что . Рассмотрим некоторые свойства определителей матрицы перехода от одного базиса к другому.

1. Для любого базиса имеем .

В самом деле, поэтому

2. Для любых трех базисов справедливо равенство

Пусть . Подставив в правые части этих формул вместо и их разложения по формулам , будем иметь:

Отсюда получаем определитель матрицы перехода от базиса к базису :

поскольку определитель матрицы перехода от базиса к базису имеет вид:

3. Для любых базисов справедливо равенство

Действительно, если в равенстве положить и воспользоваться свойством 1., то получим требуемое.

Обозначим через множество всех базисов подпространства . Будем говорить, что базисы находятся в отношении ( одинаково ориентированы), если , записываем так . Докажем, что отношение является отношением эквивалентности на множестве всех базисов
подпространства . Для этого необходимо проверить, что отношение удовлетворяет свойствам рефлексивности, симметричности и транзитивности.

1.рефлексивность. Для произвольного базиса по свойству 1 имеем:

2.симметричность. Пусть . Но из свойства 3 следует, что

3. транзитивность. Непосредственно следует из свойства 2.

Докажем, что фактор-множество состоит лишь из двух элементов. Для этого рассмотрим базисы и $\bar A=\{\vec a_2;\vec a_1\}$ . Так как то классы эквивалентности и различны. Легко убедиться, что любой базис принадлежит либо классу , либо классу . В самом деле, по свойству 2
. Но , поэтому , отсюда либо , либо .

Каждый из элементов фактор-множества называется ориентацией векторного подпространства . Выделим одну из этих ориентаций, назовем ее положительной ( а другую - отрицательной). Векторное подпространство, в котором выбрана положительная ориентация, называется ориентированным. Базисы положительной ориентации называют правыми базисами, а базисы отрицательной ориентации - левыми.