Фрактали Жуліа та Мендельброта

Подальший аналіз показує, що фрактал на рис. 1.7 складається з нескінченного ряду островів, які торкаються один одного попарно на осі х.

Рис. 1.8 показує фрактал. J(0.11, 0.66). Помітно, що він не є зв'язним, а складається з окремих компонентів, подібно до точкової множини Кантора. Фрактали такого типу зазвичай називають «пилом Фату» на честь математика Фату.

Рис 1.10 Фрактал Жюліа а=0.11, b=0.66

 

 

Фрактали Жюліа дають багато прекрасних картин, особливо якщо використовувати при їх побудові колір.

При побудові кольорових фракталів використовується умова наближення орбіти до аттрактора – нескінченно віддаленої точки, як для фракталів Жюліа, або до скінченної, як для фракталів Ньютона.

Оскільки для наближення до аттрактора орбіті може знадобитися величезна кількість ітерацій, то в програмі необхідно використовувати якесь граничне значення для кількості ітерацій, після якого вважаємо, що орбіта наблизилась до аттрактора.

Колір ж кожної точки на екрані визначається числом ітерацій, який буде потрібний орбіті, щоб наблизитися до аттрактора. Якщо використовувати 256 кольорів, то номер кольору можна, наприклад, визначити за формулою , де n – число зроблених ітерацій.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Властивості фрактальних множин Жуліа.

 

Жюліа докладно дослідив властивості цієї множини.

1) Відображення  ,  (2.1) переводить J(a,b) в себе. Іншими словами, множина J(a,b) – інваріантна множинні перетвореннь (2.1).

2) Майже кожна точка Р (х, у) має два прообрази.

 Справді, розв’язуючи  (2.1) щодо х і у, отримаємо:

Тому і, отже,

 З цієї формули знаходимо два значення х_n:

 

Якщо х_n відомо, у_n можна знайти з другого співвідношення у формулі (2.1):

                       Отже, точка Р(х,у) має два прообрази. Кожен з цих прообразів має, у свою чергу, також по два прообрази і т. д. Знову ми отримуємо структуру довійкового дерева. Згідно Жюліа, прообрази заповнюють J скрізь щільно.

3) Усі нестійкі періодичні цикли розташовані в J.

4) Орбіта довільної точки РєJ залишається в J і є або періодичним циклом, або хаотичною орбітою.

5) Для зворотного відображення  множина Жюліа – атрактор.

3. Фрактал Мендельброта як генератор фрактальних множин Жуліа

 

Ми вже переконалися в тому, що множини Жюліа функції z² + c мають велику різноманітність. Дійсно, для кожного нового значення с ми отримуємо вражаючі зображення. Тим не менш, насправді існують всього два типи множин Жюліа. Кожна множина Жюліа функції f_с(z) =z² + с або зв'язна, або цілком незв'язно. Звичайно, вони можуть виглядати абсолютно

по-різному, навіть належачи до одного і того ж типу. Деякі  зв'язні множини Жюліа виглядають як прості замкнуті криві, які є фракталами, як це має місце у випадку 0 < |c| < 1/4. Існують також зв'язні множини Жюліа,

які не є простими замкнутими кривими, як, наприклад, в 

випадку с= –1 (на мал.)

 З іншого боку, усі цілком  незв'язні множини Жюліа мають ту ж властивість, що вони являють собою "канторовий пил".

Множина Мандельброта (див. мал. 3.1, 3.2) служить індикатором для двох типів множини Жюліа функції z²+с. Кожна точка в множині Мандельброта представляє значення с, для якого множина Жюліа J(f_c) зв'язна. Кожна точка з доповнення до множини Мандельброта представляє значення с, для якого J(f_c) цілком незв'язна. У визначенні множини Мандельброта про це нічого не говориться, але основна теорема цього параграфа говорить саме про це.

Множина Мандельброта М для полінома f_c(z) = z² + с визначається як множина усіх сєС, для яких орбіта точки 0 обмежена, тобто

.

Рівносильне визначення записується як

Рівносильність цих визначень випливає з того, що

а значить, існує таке R > 0, що з |z| > R випливає Якщо для деякого n₀ має місце нерівність , то

3.1Множина Мендельброта для z²+c

для всіх n> n₀:

Тобто

Вибір точки 0 за початкову стане ясний з доведення основної теореми. Це пов'язано з тією обставиною, що точка 0 – єдина критична точка f_с, тобто єдина точка, в якій похідна перетворюється в нуль. Визначення множини Мандельброта М, наведене вище, є робочим, тобто воно може бути безпосередньо використане для написання програми, що визначає належність точки множині Мандельброта. Завдання перевірки орбіт на збіжність спрощується при використанні наступної теореми.

Теорема 1. Якщо |с|> 2 і |z|>|c|, то орбіта z прямує до . Зокрема, з цього випливає, що точка с не належить М

Рис. 3.2. Вікно множини Мандельброта в околі точки с= -1,75 +0і .

Доведення. Покладемо | с | = 2 + , де > 0. Тоді

Зокрема і при ітеруванні отримуємо:

Внаслідок цього, при Цим доведено перше

твердження. Щодо другого  твердження: так як орбіта точки с прямує до нескінченності і , то орбіта нуля також прямує до нескінченності.

Розглянувши отриманий отримуємо, що перевіряти треба тільки точки |с|<2. Причому у випадку | c | <2, якщо орбіта досягає стану, коли її величина перевершує 2, то це означає, що вона прямує до нескінченності, і отже,

ця точка не належить М. Точка с = –2 – єдина точка кола |с|= 2, яка належить множині Мандельброта.

Лемма 1. Нехай Г – гладка, проста замкнута крива на площині, і нехай f_c(z)=z² + c. Позначимо через Г_-1 прообраз Г:

Щодо Г_-1 можна стверджувати наступне.

1. Якщо точка с знаходиться строго всередині Г, то Г_-1 також є гладкою, простою замкнутою кривою. Внутрішність Г_-1 взаємно

однозначно відповідає внутріщності Г (рис. 3.3).

2. Якщо точка с лежить на кривій Г, то в цьому випадку Г_-1 має вид гладкою вісімки. Кожна з внутрішніх областей Г_-1 (Пелюстки вісімки) взаємно однозначно відповідає внутрішній області Г (рис. 3.4).

 

Рис. 3.3 Для с всередині Г

Рис.3.4 для с на Г.

Теорема 2. Нехай М - множина Мандельброта.

1. Для кожної точки  с  М відповідна їй множина Жюліа J (f_c) зв'язна.

2. Для кожної точки с М відповідна множина Жюліа J (f_c) цілком незв’язна і є насправді канторовою множиною.

Доведення. 1. Припустимо, що послідовність обмежена. У першу чергу, ми покажемо, що заповненням множини Жюліа К(f_c) є перетин вкладеної послідовності замкнутих областей, тобто множин, які є об'єднаннями простих замкнутих кривих і областей, обмежених ними. Нехай Г_о – коло досить великого радіуса, що містить всі точки причому точки лежать всередині Го, а точки поза Го при Ітеруванні прямують до . Точка с знаходиться всередині Го, так як . Нехай Г_-1 =f_c^-1(Г_о)За Згідно з лемою 1, f(с) відображає внутрішню область Г_-1 у внутрішню область Г_о; зокрема, так як знаходиться всередині Г_о, то с лежить всередині Г_-1, так само як і всередині Го.

Продовжимо ітерацію цього процесу. Нехай  п=1,2,... На кожному кроці точка с потрапляє всередину Г_-п, так як знаходиться всередині Г_о, а це означає, що знаходиться всередині Г_-1 і так далі до тих пір, поки остаточно не потрапить у внутрішню область, обмежену Г_-п. Це дозволяє застосовувати лему на кожному кроці, що і забезпечує можливість ітерування (рис. 3.5).

Покладемо (всередині Г_-п) і За побудовою, кожна точка поза К_-п при ітеруванні прямує до . З цього випливає, що область притягування А ( ) визначається як

Таким чином, заповненням множина Жюліа К(f_c) є множина К. Множина Жюліа J (f_c) є границею А ( ), і отже, границею К.

Зв'язність K (f_c) випливає з топологічних міркувань. Розглянемо вкладену послідовність компактних зв'язних множин, чиї доповнення теж зв'язні. Їх переріз має ті ж три властивості. Більше того, границя цього перерізу зв’язна. Так як послідовність множин К_-п має вищевказані властивості, то множина K(f_c) і J(f_c) зв'язні.

Рис. 3.5. Стиснення на зв'язній множині Жюліа

2. Припустимо, що послідовність  необмежена. Ми знаємо, що в цьому випадку

Нехай Го – коло досить великого радіуса, причому:

а) лежить всередині Го;

б) усі точки поза Го ітеруются до ;

в) існує п₀ таке, що:

 

Почнемо з того ж, що і  при доведенні частини 1 теореми, припустивши, що . Ця процедура працює до тих пір, поки ми не досягаємо п=п₀ і не стикаємося з точкою с на кривій , а не всередині . У цьому місці ми використовуємо другу частину леми 3.1, де йдеться, що має вигляд вісімки, а множина Жюліа J (f_c) міститься в об'єднанні двох внутрішніх областей. Так як кожна з цих областей що відображається на повну внутрішність , кожна повинна містити непорожню підмножину J(f_c). У результаті ми приходимо до висновку, що множина J (f_c) повинно бути незв’язна.

Після проходження п₀, множини Г_-п представляють собою об'єднання вісімок. Кожна вісімка породжує ще дві вісімки на наступному кроці. На кожному кроці J(f_c) оточене вісімками для цього кроку (рис. 3.6). В результаті одержуємо, що J(f_c) має нескінченно багато компонентів. Більш того, вірно і те, що кожен з цих компонентів є насправді одна-єдина точка, що і робить J(f_c) цілком незв’язною. Для доведення цього треба провести ще додатковий аналіз. Найбільш просто це робиться у випадку досить великого с. Крім того, в цьому випадку J (f_с) є ще і досконалою множиною, тобто вона замкнута і не має ізольованих точок. Таким чином, J(f_c) має усі необхідні властивості, щоб вважати її пилом Кантора, а саме, вона компактна, цілком незв’язна і досконала (коли с М).

Рис. 3.6. Стиснення на цілком незв’язній множині Жюліа.

4. Комп’ютерні програми фракталів Жуліа і Мандельброта

Фрактали застосовуються в різноманітних програмах.Наприклад:

Visual Fractal

Visual Fractal - це цікава програма складання графіків фрактала. За допомогою даної програми, ви можете використовувати метод Ньютона для вирішення складних рівнянь і відображення фрактального графіка в області креслення. Графіки створюються і зберігаються у форматі bmp.

IFS Lab

IFS Lab - це інтерактивний, сфокусований на "Теорема колажу" IFS генератор фракталів, дозволяє користувачеві малювати контур бажаного фрактала, а потім накладати на нього його трансформовані зображення для створення колажу. Трансформовані зображення можуть бути намальовані, їх можна повернути і перевести за допомогою миші в простому у використанні інтерфейсі.

Атрактор може бути візуалізовано алгоритмом випадкового повторення або в чорно-білому кольорі, або в яскравісної шкалою. IFS коефіцієнти можуть бути змінені в числовому відношенні і збережені в дискових файлах, звідки їх можна буде читати. За допомогою функції "Оптимізувати" користувач зможе створити прекрасний колаж із заданого IFS коду.

Заставка DanceFractal

Плавно мінливі анімовані фрактали. Незвичайні форми, приємні кольори. Абстрактні зображення можуть стати квіткою, фантастичним тваринам, Сфінксом або стати мозаїкою. Фрактали стають плазмою або полум'ям, можуть розпливатися по екрану як вода.

- Программа генерации фракталов.

Графічна фіча, що дозволяє розглядати у всіх подробицях Безліч Мандельбродта! .. А подробиць у нього - нескінченна безліч (пробач за тафтологію). Підтримує всі відео режими SVGA карти аж до 1024х768х256. Скачай, не пошкодуєш. Програмка дуж-же любить швидкі компи (чим швидше, тим краще). За повною завантажує співпроцесор машини. :)) Приклади фракталів, отриманих за допомогою цієї програми ти можеш глянути в розділі

 

Опис програми: Комп'ютерна програма (комп'ютерна гра) для відпочинку, розваги та створення професійних повноекранних зображень на основі фрактальної графіки. Гра надає благотворний вплив на психічний стан людини. Запропоновано філософське пояснення магії фрактальної графіки. Широкі можливості, але доступний і дітям. Не потребує навчання - завантаж і насолоджуйся. З версії 4.00 автоматична генерація зображень, широкі можливості роботи з кольором.

Chaos’4 Copyright 2003, Dmitry Pavlov

Побудова візерунків припускає повторення деяких базових елементів за деякою закономірності. Зазвичай елемент майбутнього візерунка створюється або вибирається винятково людиною, програма не вносить у цей трудомісткий процес нічого нового і все залежить від смаку і майстерності художника. У той же час існує обширне безліч математичних процедур здатних самостійно породжувати найрізноманітніші візерунки, розширюючи діапазон творчої фантазії і даючи, багаті можливості їх колірної і геометричної інтерпретації.

На принципі взаємодії інтуїції людини і математичного процесу побудована програма Chaos'4. При цьому користувачем управляє процесом розвиваються заздалегідь не предбачає що дає високу швидкість і вносить новизну в одержуваний результат.

Фрактали можна реалізувати  ще й в Паскалі. Наприклад:

 Програма яка робить заміну або одного горизонтального відрізка, або кожної сторони правильного багатокутника фрактальної кривої з будь-якою заданою формою