Биномальды үлестіру

,              r=0, 1, …, n.

    «Жиынтық» - сөзінің екі түрлі мәнге ие болатыны секілді, ықтималдылық теориясында n – символын қолданудың үш дәстүрлі түрі бар. N-шамасы таңдап алынған жазықтықтың  нүктелер санын көрсетеді делінген.   және формуларына n –шамасы жиынтықтың жалпы көлемін көрсететінін куәландырады, ал r-таңдап алу көлемі. Таңдап алынған жазықтықта барлығы нүктелері бар. Біз ықтималдылықты үлестіруді сөз еткенімізде, талқылауға кіріскенімізде n –ның таңдап алу көлемі екені туралы келісім қабылданған. Осы қаралып отырған мысалда жиынтықтар көлемі, N және таңдап алу жазықтығы нүктелерінен тұрады. Қораптан екі картаны қайтармайтын кездойсоқ таңдап алу тәжірибесі үшін біз гипергеометриялық  үлестіруге N=52, n=2 ие боламыз, сондықтан жоғарыда келтірілген формуладағы бөлгіш 1326-ға тең. Егер «сәттілік» және «тұз» болса, онда S=4 тең, ал егер сәтілік «пиктер» болса (қиық), онда S=13 тең. Әр осындай жағдайларда көрсетілген формула бойынша Нет правильного ответаәтижемен келісілетін ықтималдылықты үлестіруді аламыз.

Гипергеометриялық үлестіруде арналған формуланы факториалдарды қолдана отырып жазуға болады:

.

 үшін осындай формуланы ала отырып, мына төмендегідей қатынастылыққа келеміз:

 үшін мәннен r-шамасы ауданымен шектеледі. Алайда ықтималдылық нөлге тең болмас үшін және шартының орындалуын талап ету қажет. Соңғы теңсіздік, болған жағдайда сәттіліктің  нөлдік санын алудың мүмкін  еместігін білдіреді. Ол формуласында қамтамасыз етіледі, себебі өрнегі туындысын көрсетеді, нәтижесінде біз ықтималдылық есептелуін бастай алмаймыз, анықтай отырып ары қарай және . байланыстылығын қолдана отырып есептейміз. Бұл проблема, биномениалдылық үйлестіруді есептеудегі қиындылықты, күрделілікті білдіреді, шын мәнінде бұл жағдайда нолге тең. Егер сәттілікті санау мүмкін болмаса, онда сәтсіздікті санау қолға алынады. есептеу жұмысын бастау мүмкін болмаса гипергеометриялық үйлестіру жағдайында ол n>S өтеді. Бұл деген сөз және жағдайдарында биномиальды және гипергеометриялық үйлестіруді есептеуді мүмкін емес екендігін білдіре алмайды. Орташа және гипергеометриялық дисперсияны үйлестіруге арналған формуланы шығару үшін орын, ауыстыру, қою жүйелерін орындау қажет. Сәттіліктердің сандық түрлерін, мәнін жалпы жиынтықтарын көлемдік қатынасын 3-арқылы белгілей отырып орташа көрсеткіштегі алынған мән  орташа мениалдылық үйлестірумен сай келетініне көз жеткіземіз. Сәтсіздіктердің жиынтықтардағы қатынастылық санын q-арқылы белгілей отырып n>1 үшін гипергеометриялық үйлестіру дисперсиясының тиісті биномиалдылық үйлестіру дисперсиясынан кіші екенін көреміз:

Осы формулалар бойынша  екі картаны қораптан алу мысалының  нәтижелері ексерілуі мүмкін. Осы формулалардың барлықтарына n=1 көрсеткішін қойып олардың барлықтары Бернулли үлестіруі,таратылуына арналған нәтижелерге сай келушілігіне көз жеткізуге болады, .

Математикалық статистикаға қолданылған маңызды практикалық тиімділік жиынтықтан кездойсоқ таңдап алу көрсеткіштерін алумен байланысқан. Таңдап алу қайталанбай соңғы

 Партиядан іске  асырылады. Сондықтан гипергоемтериялық  үлестіру өте көп қолданылуы  мүмкін. Есептеу техникаларына байланысты  осындай мүмкіншіліктерді толық қолдану қажет:

 

Программа 4.

4000 REM Гипергеометрическое распределение

4100 PRINT: PRINT: PRINT “Гипергеометрическое распределение”

4110 PRINT: PRINT “X есть число успехов в”

4120 PRINT “Выборке объема N, извлекаемой случайным образом”

4130 PRINT “без возвращение из совокупности”

4140 PRINT ”объема n, в которой содержится S успехов”.

4145 REM Если  N и S очень велики  и n невелико, то

4146 REM X приближено  имеет  Биномиальное  распределение С p=S/N

4150 PRINT : INPUT ,,Введите n,N,S,K,N,S

4160  F=N-S:FL=0

4170 M=K*S/N:V=M*(N-K)*F/N/(N-1)

4200  PRINT:PRINT”Среднее=”;M

4210  PRINT  “Дисперсия=’’; V

4220  PRINT “Стандартное  отклонение=’’;SQR(V)

4230 IF  K>F GOTO 4600

4300 W=1:FOR I=0 TO K-1:W=W*(F-1)/(N-1):NEXT I

4310  Y=W:U=F-K+1:T=K:IF S<T THEN T=S

4320  RL=0:RU=4:IF T<RU THEN RU=T

4400  PRINT

4410  IF FL>0 THEN PRINT:PRINT “X есть число неудач”

4420  PRINT “r P(X=r)”;TAB(21); “P(X<=r)”

4430  PRINT

4440  FOR  I=RL  TO RU

4450  IF I<10 THEN  PRINT “   “;

4460  PRINT;I; “  “;W;TAB(20);Y

4480 W=W*(S-1)*(K-1)/(1+1)/(U+1):Y=Y+W

4490  NEXT  I

4500 IF RU<T THEN  PRINT:PRINT “Чтобы  продолжить работу, нажмитеС”

4520  R$=GET$

4530  IF R$=”R”  OR RU=T  GOTO  4100

4540  RL=RU+1:RU+RU+12:IF T<RU THEN RU+T

4550  PRINT:PRINT:PRINT “Гипергеометрическое распределение”

4560  IF FL>0 THEN S=F

4570  PRINT:PRINT “n=’’;K ; “N; “S=”;S

4580 GOTO 4400

4600 IF K<=S  THEN S=F:F=N-S:FL=1:GOTO 4300

4610 PRINT:PRINT “Вариант, когда n>N-S и n>S, в результате чего”

4620 PRINT “невозможно получить либо результаты для”

4630 PRINT “нулевого числа успехов, либо для n успехов,”

4640  PRINT “еще не запрограммирован.”:GOTO 4100

 

Ескерту.

1.  Осы  бағдарламаны  ұйымдастыру  жайлы  мәліметтердің  барлық  түрлері  алдынғы   бағдарламалардың  ескертулерінде  көрсетілген, ал қолданылған   формулалар осы тақырыпта  түбегейлі қарастырылған.  Тек  қана  белгілерді  белгілеу, өңдеу қажет 4170 қатарындағы  М-әріпі -ді білдіреді, К-n және

F - (N – S)    шарты  W  айнымалысыменен белгіленеді.  4480 қатарындағы  қолданылатын қатынастылық тексте  келтірілген жүйемен сай келеді,  U – (N –S – n+1) білдіреді.

2. Нөлдік  ықтималдылылыққа  сай  келмейтін r –дің  максималдылық мәні Т, сондықтан Т n  және S-тің минимальді  шамасына тең.4320, 4500 және 4540 қатарлары Т-шамасының баспаға берілуінің  аяқталуын қаматамасыз етеді.
3. Егер, n>N – S,  S болса, онда  S және F мәндері 4600

Қатардағы  орындармен ауысады.

 

 

 

 

 

 

 

                                                    Қорытынды.

 

Ықтималдықтар теориясында кездойсоқ  шамалардың орны және сипаттамасы мысалдар арқылы берілген. Ықтималдылықтың орташа және дисперсия үлестірулерінің  формулалары келтіріліп, әр тараптама  талдау жасалған. Мысал ретінде ойын сүйегі (кубик) алынған. Осы формулулардың Бернулли, биномдық, геометриялық, гипергеометриялық, Пуассон, дискретті үлестірулері қарастырылған. Үлестірудің әр түрі үшін есептеу алгоритмі құрылған. Бұл алгоритмдердің бір-бірінен өзгешіліктері және ұқсастықтары атап өтілген. Осы алгоритмдер негізінде Бейсик программалау тілінде бағдарлама құрылып, нәтижелер кесте түрінде алынған. Бейсик тілінің негізгі командаларына сипаттамалар берілген. Құрылған бағдарламаны «Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика» пәнінің практикалық сабақтарында, студенттердің өзіндік жұмыстарында пайдалануға болады.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пайдаланылған әдебиеттер

 

1. Ван дер Варден Б.Л. «Математическая  статистика»-М.: ИЛ. ,1960г.
2. Уилкс С.  «Математическая статистика»- М.: Наука, 1967г.
3. Вентцель  Е.С.«Теория вероятностей»-М. : Наука, 1969г.
4. Гнеденко Б.В. «Курс теории вероятностей»-М.: Наука, 1969г.
5. Кобаленко И.Н:, Филиппова А.А. «Теория вероятностей и математическая статистика»- М.: Высшая  школа,1982г.
6. Крамер Г. «Математические статистики »-М.: Мир, 1975г.
7. Баласанян В.Э. «Программирование на микроЭВМ», «Искра-226»-М: Финансы и статистика,1987г.
8. Кетков Ю.Л. «Программирование на БЕЙСИКЕ»-М.: Статистика, 1978г.
9. Трэктон К. «Программы на Бейсике для инженерно-технических  расчетов»-М: Радио и связь,1985г.
10. Уорт Т. «Программирование на языке Бейсик»-М.: Машгиностроение, 1981г.
11. Фокс А., Фокс Д. «Курс программирования на языке Бейсик для начинающих»-М.: Энергоатомоиздат,1987г.
12. Дж. Теннант- Смит «Бейсик для статистиков»- М.:,1988г.
13. Бектаев К.Б. «Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика», Алматы, 1991ж.
14. Бектаев Қ.Б. «Қазақша –орысша сөздік», Алматы, 2001ж.