Аксиоматический метод Евклида в построения геометрии

 

Аксиоматический метод Евклида в построения геометрии .

Подготовила : Иванова Анастасия

Группа: Юсо 212

 

 

 

 

1 слайд

Геометрия была открыта египтянами, и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития реки Нил, постоянно  смывавший ей границы. Нет ничего удивительного, что эта наука, как  и другие, возникла из потребности  человека»- писал древнегреческий  ученый Эвдем Родосский в IV веке до нашей эры. 
 
 
Геометрия – это одна из древнейших наук. Исследовать различные пространственные формы издавна побуждало людей их практическая деятельность.

Аксиоматический метод появился в  Древней Греции, а сейчас применяется  во всех теоретических науках, прежде всего в математике. 
 
Аксиоматический метод построения научной теории заключается в следующем: выделяются основные понятия, формулируются аксиомы теории, а все остальные утверждения выводятся логическим путём, опираясь на них. 
 
Основные понятия выделяются следующим образом. Известно, что одно понятие должно разъясняться с помощью других, которые, в свою очередь, тоже определяются с помощью каких-то известных понятий. Таким образом, мы приходим к элементарным понятиям, которые нельзя определить через другие. Эти понятия и называются основными.

     2 слайд

Математическая вселенная  Евклида

Как же выглядит в трактате Евклида  математическая вселенная, составленная из фигур и чисел" С фигурами работать проще: каждый видел их на чертежах и может вообразить мысленно. Поэтому Евклид не дает строгих определений  основных объектов геометрии: точки, линии, прямой, поверхности, плоскости. Вместо этого даны словесные описания важнейших  свойств этих фигур. Например: 
 
"Точка есть то, что не имеет частей"; 
 
"Линия - это длина без ширины";  
 
"Окружность - это кривая, которая около каждой точки устроена одинаково".  
 
Самые общие свойства фигур, которые многократно используются в рассуждениях и не выводятся из более глубоких фактов - эти свойства Евклид назвал аксиомами. Например: "Все прямые углы равны между собой", или "Целое больше части". 

3слайд

Кроме аксиом, Евклид ввел ПОСТУЛАТЫ: это утверждения о свойствах  основных геометрических конструкций. Например: "Через две точки  проходит лишь одна прямая", или "Через  точку вне прямой на плоскости проходит лишь одна прямая, не пересекающая эту прямую". Это последнее утверждение называют пятым постулатом Евклида.

4слайд

В арифметике Евклид сделал три значительных открытия. 
 
Во-первых, он сформулировал (без доказательства) теорему о делении с остатком.  
 
Во-вторых, он придумал "алгоритм Евклида" - быстрый способ нахождения наибольшего общего делителя чисел или общей меры отрезков (если они соизмеримы).  
 
Наконец, Евклид первый начал изучать свойства простых чисел - и доказал, что их множество бесконечно. Но правда ли, что любое целое число разлагается в произведение простых чисел единственным способом" Доказать это Евклид не сумел - хотя располагал всеми необходимыми для этого средствами. 

5 слайд

Только через 5 веков после Евклида  александриец Диофант заполнил 

мира всего одной - двумя аксиомами. Достаточно заменить пятый постулат Евклида одним из его возможных  отрицаний - и мы попадаем в иной мир, носящий имя Лобачевского или  Римана.  
 
Но Евклида больше беспокоило другое. Какие факты геометрии нужно включить в создаваемую энциклопедию, а какими придется пренебречь, поскольку они не совсем ясны. Например, в "Началах" используются всего две разные линии - прямая и окружность. Но в эпоху Евклида уже были известны эллипс, парабола и гипербола. Сам Евклид изучал эти кривые, даже написал о них особую книгу (которая не сохранилась - но послужила основой для сходной книги Аполлония). Почему он ни словом не упомянул о новых кривых в "Началах""  
 
Видимо, потому, что Евклид и его современники не знали об этих линиях всего, что им хотелось знать. Например, как вычислить площадь, ограниченную эллипсом или параболой" Как провести касательную к эллипсу или гиперболе в данной точке" Это сумел сделать только Архимед - через полвека после Евклида. Автор "Начал" этого не умел - и предпочел умолчать о сложных кривых, чтобы не смущать умы новичков-геометров необоснованными рассуждениями. Видимо, Евклид был прав; так же поступают авторы современных учебников или той энциклопедии, которую вы читаете. 

6слайд

Иначе получилось с арифметикой: здесь  Евклид сам был первопроходцем. Но беда в том, что у эллинов не было удачной системы обозначений  даже для натуральных чисел. Вместо цифр греки пользовались буквами; позиционной  системы для записи больших чисел  они не знали. Поэтому даже обычная (для нас) таблица умножения имела  в Элладе вид довольно толстого свитка. А работать с числами, когда они  изображены буквами, очень не просто! Этим занимается особая наука - алгебра; современники Евклида о ней не подозревали.  
 
В арифметике Евклид сделал три значительных открытия. 
 
Во-первых, он сформулировал (без доказательства) теорему о делении с остатком.  
 
Во-вторых, он придумал "алгоритм Евклида" - быстрый способ нахождения наибольшего общего делителя чисел или общей меры отрезков (если они соизмеримы).  
 
Наконец, Евклид первый начал изучать свойства простых чисел - и доказал, что их множество бесконечно. Но правда ли, что любое целое число разлагается в произведение простых чисел единственным способом" Доказать это Евклид не сумел - хотя располагал всеми необходимыми для этого средствами.  
 
Только через 5 веков после Евклида александриец Диофант заполнил 

этот пробел строгим рассуждением. Он уже владел понятием отрицательного числа и "играл в арифметику" так же уверенно, как семью веками раньше Пифагор "играл в геометрию", работая с плоскими фигурами. Но создать богатую теорию чисел  и уравнений эллины не успели вплоть до гибели Римской империи и гибели античной цивилизации в бурях 4-5 веков.

7слайд

^ Постулаты Евклида 

Евклид – автор первого дошедшего до нас строгого логическогопостроения геометрии. В нем изложение настолько безупречно длясвоего времени, что в течение двух тысяч лет с момента появленияего труда «Начал» оно было единственным руководством для изучающих геометрию.

8слайд

«Начала»  состоят из 13 книг, посвященных геометрии  и арифметике в геометрическом изложении. 
 
Каждая книга «Начал» начинается определением понятий, которые встречаются впервые. Так, например, первой книге предпосланы 23 определения. В частности, 
 
Определение 1. Точка есть то, что не имеет частей. 
 
Определение 2. Линия есть длины без ширины 
 
Определение 3. Границы линии суть точки. 
 
Вслед за определениями Евклид приводит постулаты и аксиомы, то есть утверждения, принимаемые без доказательства.

8 слайд

Постулаты 
 
I. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию. 
 
II . И чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить. 
 
III. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом. 
 
IV. И чтобы все прямые углы были равны. 
 
V. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

9 слайд

Аксиомы 
 
I. Равные порознь третьему равны между собой. 
 
II. И если к ним прибавим равные, то получим равные. 
 
III. И если от равных отнимем равные, то получим равные. 
 
IV. И если к неравным прибавим равные, то получим неравные. 
 
V. И если удвоим равные, то получим равные. 
 
VI. И половины равных равны между собой. 
 
VII. И совмещающиеся равны. 
 
VIII. И целое больше части. 
 
IX. И две прямые не могут заключать пространства.

10 слайд

Иногда IV и V постулаты относят к числу  аксиом. Поэтому пятый постулат иногда называют XI аксиомой. По какому принципу одни утверждения относятся к  постулатам, а другие к аксиомам, неизвестно. 
 
Никто не сомневался в истинности постулатов Евклида, что касается и V постулата. Между тем уже с древности именно постулат о параллельных привлек к себе особое внимание ряда геометров, считавших неестественным помещение его среди постулатов. Вероятно, это было связано с относительно  
 
меньшей очевидностью и наглядностью V постулата: в неявном виде он предполагает достижимость любых, как угодно далеких частей плоскости, выражая свойство, которое обнаруживается только при бесконечном продолжении прямых.

11 слайд

«Начала» Евклид

"Начала" Евклида состоят из 13 книг. 1 - 6 книги  посвящены планиметрии, 7 - 10 книги  - об арифметике и несоизмеримых  величинах, которые можно построить  с помощью циркуля и линейки.  Книги с 11 по 13 были посвящены  стереометрии. 
 
"Начала" начинаются с изложения 23 определений и 10 аксиом. Первые пять аксиом - "общие понятия", остальные называются "постулатами". Первые два постулата определяют действия с помощью идеальной линейки, третий - с помощью идеального циркуля. Четвёртый, "все прямые углы равны между собой", является излишним, так как его можно вывести из остальных аксиом. Последний, пятый постулат гласил :"Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то, при неограниченном продолжении этих двух прямых, они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых".

12слайд

Пять "общих  понятий" Евклида являются принципами измерения длин, углов, площадей, объёмов : "равные одному и тому же равны между собой", "если к равным прибавить равные, суммы равны между собой", "если от равных отнять равные, остатки равны между собой", "совмещающиеся друг с другом равны между собой", "целое больше части".

Далее началась критика геометрии Евклида. Критиковали  Евклида по трём причинам : за то, что он рассматривал только такие геометрические величины, которые можно построить с помощью циркуля и линейки; за то, что он разрывал геометрию и арифметику и доказывал для целых чисел то, что уже доказал для геометрических величин, и, наконец, за аксиомы Евклида. Наиболее сильно критиковали пятый постулат, самый сложный постулат Евклида. Многие считали его лишним, и что его можно и нужно вывести из других аксиом. Другие считали, что его следует заменить более простым и наглядным, равносильным ему : "Через точку вне прямой можно провести в их плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную прямую".

13слайд

Критика разрыва между геометрией и арифметикой  привела к расширению понятия  числа до действительного числа. Споры о пятом постулате привели  к тому, что в начале XIX века Н. И. Лобачевский, Я. Бойяи и К. Ф. Гаусс построили новую геометрию, в которой выполнялись все аксиомы геометрии Евклида, за исключением пятого постулата. Он был заменён противоположным утверждением : "В плоскости через точку вне прямой можно провести более одной прямой, не пересекающей данную". Эта геометрия была столь же непротиворечивой, как и геометрия Евклида.

14слайд 

Заключение 

 

Открытие  неевклидовой геометрии доказало, что  нельзя абсолютировать представления о пространстве, что «употребительная» (как назвал Лобачевский геометрию Евклида) геометрия не является единственно возможной, однако это не подорвало незыблемость геометрии Евклида. Итак, в основе геометрии Евклида лежат не априорные, врожденные уму понятия и аксиомы, а такие понятия, которые связаны с деятельностью человека, с человеческой практикой. Только практика может решить вопрос о том, какая геометрия вернее излагает свойства физического пространства. Открытие неевклидовой геометрии дало решающий толчок грандиозному развитию науки, способствовало и поныне способствует более глубокому пониманию окружающего нас материального мира.