Потоки платежей

      Финансовая  математика

      « Потоки платежей » 
 

Содержание: 

     I. Введение

     II. Финансовые ренты и их классификация

   III. Формулы наращенной суммы

   IV. Формулы современной величины

   V. Зависимость между современной величиной и наращенной суммой ренты

   VI. Определение параметров финансовой ренты

    VIII. Список литературы 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Введение

 

   Очень часто в контрактах финансового характера предусматривают не отдельные разовые платежи, а серию платежей, распределенных во времени. Примерами могут быть регулярные выплаты с целью погашения долгосрочного кредита вместе с начисленными на него процентами, периодические взносы на расчетным счет, на котором формируется некоторый фонд различного назначения (инвестиционный, пенсионный, страховой, резервный, накопительный и т.д.), дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам, выплаты пенсий из пенсионного фонда и пр. Ряд последовательных выплат и поступлений называют потоком платежей. Выплаты представляются отрицательными величинами, а поступления — положительными.

   Обобщающими характеристиками потока платежей являются наращенная сумма и современная  величина. Каждая из этих характеристик является числом.

   Наращенная  сумма потока платежей — это сумма  всех членов последовательности платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты.

   Под современной величиной потока платежей понимают сумму всех его членов, дисконтированных (приведенных) на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему.

   Конкретный  смысл этих обобщающих характеристик определяется природой потока платежей, причиной, его порождающей.

   Например, наращенная сумма может представлять собой итоговый размер формируемого инвестиционного или какого-либо другого фонда или общую сумму задолженности. Современная величина может характеризовать приведенную прибыль или приведенные издержки. 
 
 

   II. Финансовые ренты и их классификация 

   Поток платежей, все члены которого положительные, а временные интервалы постоянны, называют финансовой рентой, или аннуитетом.

   Финансовая рента имеет следующие параметры: член ренты — величина каждого отдельного платежа, период ренты — временной интервал между двумя соседними платежами, срок ренты — время, измеренное от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода; процентная ставка — ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту.

   Виды  финансовых рент. Классификация рент может быть произведена по различным  признаками. Рассмотрим их.

   В зависимости от продолжительности  периода ренты делят на годовые и      p - срочные, где р — число выплат в году.

   По  числу начислений процентов различают  ренты с начислением 1 раз в году, раз или непрерывно. Моменты начисления процентов могут не совпадать с моментами рентных платежей.

   По  величине членов различают постоянные (с равными членами) и переменные ренты. Если размеры платежей изменяются по какому-либо математическому закону, то часто появляется возможность вывести стандартные формулы, значительно упрощающие расчеты.

   По  вероятности выплаты членов различают ренты верные и условные. Верные ренты подлежат безусловной выплате, например при погашении кредита. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. Например, число выплат пенсий зависит от продолжительности жизни пенсионера.

   По  числу членов различают ренты  с конечным числом членов, или ограниченные, и бесконечные, или вечные. В качестве вечной ренты выступают, например, выплаты по облигационным займам с неограниченными или нефиксированными сроками.

   В зависимости от наличия сдвига момента  начала ренты по отношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту времени ренты подразделяются на немедленные и отложенные, или отсроченные. Срок немедленных рент начинается сразу, а у отложенных запаздывает.

   Ренты различают по моменту выплаты платежей. Если платежи осуществляются конце каждого периода, то такие ренты называются обычными, или постнумерандо. Если же выплаты производятся в начале каждого периода, то ренты называются пренумерандо. Иногда предусматриваются платежи в середине каждого периода.

   Анализ  потоков платежей в большинстве  случаев предполагает расчет наращенной суммы или современной величины ренты. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   III. Формулы наращенной суммы 

   Обычная годовая рента. Пусть в конце  каждого года в течение n лет на расчетный счет вносится по R руб., сложные проценты начисляются 1 раз в год по ставке i. В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины ,так как на сумму R проценты начислялись в течение n — 1 года. Второй взнос увеличится до и т.д. На последний взнос проценты не начисляются. Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической профессии

     ,

   в которой первый член равен R, знаменатель (1 + i), число членов n. Как известно из школьного курса алгебры, эта сумма равна

                                                                    (1.) 

где  

                                                                                                                                                                            

                                                                                               (2.) 

   — коэффициент наращения ренты.

   Он зависит только от срока ренты n и уровня процентной ставки i. Поэтому его значения могут быть представлены в таблице с двумя входами. 

   Задача 1. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб., на которые 1 раз в год начисляются проценты по сложной годовой ставке 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

   Решение. По формуле (1.) находим

     млн. руб.

   Годовая рента с начислением процентов m раз в году. Посмотрим, как усложнится формула, если предположить теперь, что платежи делают 1 раз в конце года, а проценты начисляют m раз в году. Это означает, что применяется каждый раз ставка j/m.

   где j — номинальная ставка процентов. Тогда члены ренты с начисленными до конца срока процентами имеют вид

    ,  ,..., R.

   Если  рассмотрим эту последовательность справа налево, то увидим, что перед  нами опять геометрическая прогрессия, первым членом которой является R, знаменателем (1 + j/m)^m, а число членов равно n. Сумма членов этой прогрессии и будет наращенной суммой ренты:

                                                                                             (3.) 

   Задача 2. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн руб., на которые ежеквартально (m= 4) начисляются проценты по сложной годовой ставке 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

   Решение. По формуле (3.) находим 

     млн. руб. 

   Рента р-срочная, m = 1. Найдем наращенную сумму при условии, что рента выплачивается р раз в году равными платежами, а проценты начисляются 1 раз в конце года. Если R — годовая сумма платежей, то размер отдельного платежа равен R/p. Тогда последовательность платежей с начисленными до конца срока процентами также представляет собой геометрическую прогрессию, записанную в обратном порядке:

   

   у которой первый член R/p, знаменатель (1 + i)^l/p, общее число членов nр. Тогда наращенная сумма рассматриваемой ренты равна сумме членов этой геометрической профессии:

                                                (4.)

   где

                                                                                      (5.)                

   — коэффициент наращения p-срочной ренты при m = 1. 
 
 
 

   Задача 3. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн. руб. в год (т.е. по 10/4 млн. руб. в квартал), на которые в конце года начисляются проценты по сложной ставке 10% годовых. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

   Решение. По формуле (4.) находим 

   S= (10/4) [(1 + 0,1)³ - 1]/[(1 + 0,1)^1/4 - 1] = 34,317 млн. руб. 

   Рента р-срочная, р = m. В контрактах часто начисление процентов и поступление платежа совпадают по времени. Таким образом, число платежей р в году и число начислений процентов т совпадают, т.е. р = m. Тогда для получения наращенной суммы можно воспользоваться аналогией с годовой рентой и одноразовым начислением процентов в конце года, для которой

   

   Различие  будет лишь в том, что все параметры теперь характеризуют ставку и платеж за период, а не за год. 

   Таким образом, получаем

                                                             (6.)

    

   Задача  4. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн руб. в год (т.е. по 10/4 млн. руб. в квартал), на которые ежеквартально начисляются проценты по сложной ставке 10% годовых. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока. 
 

   Решение. По формуле (6.) находим 

   S = 10 [(1 + 0,1/4)^3*4 — 1] /0,1 = 34,489 млн. руб. 

   Рента р-срочная, p 1, m 1. Это самый общий случай р-срочной ренты с начислением процентов m раз в году, причем возможно р m.

   Первый  член ренты R/p, уплаченный спустя 1/р года после начала, составит к концу срока вместе с начисленными на него процентами

    .

   Второй  член ренты к концу срока возрастет  до

     и  т.д.

   Последний член этой записанной в обратном порядке геометрической прогрессии равен R/p, ее знаменатель — (1 + j/m)^m/^p, число членов — np.

   В результате получаем наращенную сумму

                                       (7.)      

   Следует отметить, что из нее легко получить все рассмотренные выше частные случаи, задавая лишь соответствующие значения р и m.

   Задача  5. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи (р = 4) равными долями из расчета 10 млн. руб. в год (т.е. по 10/4 млн. руб. в квартал), на которые ежемесячно (т = 12) начисляются проценты по сложной ставке 10% годовых. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение. По формуле (2.64) находим

   S= (10/4) [(1 + 0,10/4)³*⁴- 1]/[(1 + 0,10/4)¹²/⁴-1] = 34,5296 млн. руб. 
 
 
 
 
 
 
 
 

   IV. Формулы современной величины 

   Обычная годовая рента. Пусть размер годового платежа равен R, процентная ставка i, проценты начисляются 1 раз в конце года, срок ренты n. Тогда дисконтированная величина первого платежа равна

                                                                                                        (8.)