Отработка приемов решений задач финансовой математики

- расчет  по формуле простых процентов;

- наращение  суммы по простой учетной ставке;

- расчет  по формуле сложных процентов;

- наращение  суммы по сложной учетной ставке.

 

Кроме того, используется одновременное начисление простых процентов и учет по простой учетной ставке.

Изучение  темы начинают с обсуждения понятия  «дисконтирование» с одной стороны, как термина, эквивалентного понятию  «учет векселей», а, с другой стороны, как операции, применяемой при  приведении денежных сумм к одному и тому же моменту времени, в частности, к начальному.

Далее необходимо изучить операцию математического  дисконтирования; освоить традиционные расчеты, которые возникают при  разработке условий сделки: определение  номинальной величины векселя, ставки, сроки ссуды.

Простейший  способ определения номинальной  величины векселя сводится к следующему. Предположим, что предприятие выдало m_в векселей для получения некоторой денежной суммы S₀^B. На первом шаге определяются сроки погашения каждого векселя. Эти сроки суммируются и рассчитывается средний срок погашения векселя в днях. Тогда номинальная величина всех m векселей будет.

 

), где i - годовая ставка процентов, под которую выданы векселя. Номинальная же величина векселя составит S/m_B.

 

При математическом дисконтировании сумма, которую  следует выдать в долг на n лет, чтобы при начислении на нее процентов по ставке i получить наращенную сумму, равную S, рассчитывается по формуле

 

S₀^B=S/(1+ni)

 

Если  требуется  предварительно определить ставку i , используемую в расчетах, то пользуются соотношением

 

,

а Nгод=360 или 365 (366) дней. Сам же срок ссуды рассчитывается по формулам

 

 

Затем переходят  к рассмотрению банковского учета  по простой учетной ставке. По определению  простая годовая учетная ставка i_уч (ставка для процентов «вперед») равна отношению

 

i_уч= ,

 

в то время  как годовая простая ставка процентов i (ставка для процентов «потом») находится как

 

i=

Размер дисконта при банковском учете равен S×n×i_уч. Отсюда полученная ссуда определяется по формуле

 

=S- S×n×i_уч.=S(1- n×i_уч.),

а наращенная сумма по простой учетной ставке (номинальная стоимость векселя) имеет вид:

 

S= /(1- n×i_уч)

Здесь n - срок ссуды в годах от момента учета до момента уплаты по векселю.

Заметим, что  иногда в контрактах размер дисконта при банковском учете фиксируется  в виде процента на общий срок платежного обязательства.

Далее полезно  сопоставить результаты банковского  учета и математического дисконтирования  по простой ставке и убедиться, что  при банковском дисконтировании  владелец векселя получит большую  сумму, чем при использовании  математического дисконтирования.

Иногда совмещают  начисление простых процентов по ставке i с дисконтированием по учебной ставке i_уч. В этом случае номинальная стоимость векселя будет

 

S= (1+n₁i)(1-n₂i_уч),

 

где - первоначальная суммы ссуды;

n₁ - общий срок платежного обязательства

n₂ - срок от момента учета обязательства

до погашения  долга, n₂£n₁;

S - сумма, полученная при учете обязательства (номинальная стоимость векселя).

Определение же срока ссуды при использовании  учетной ставки и самой учетной  ставки осуществляется с использованием следующих соотношений:

n=(1- _уч

¶=(1- _уч

i_уч=(1-

где n и ¶ - сроки ссуды в годах и днях, N_год - число дней в году, которое в данном случае чаще всего принимается равным 360 дням. Число же дней в периоде обычно берется точным.

Затем переходят  к рассмотрению использования сложной  процентной ставки. Первоначальная величина ссуды при использовании этой ставки находится по формуле

 

 

Если первоначальная величина ссуды рассчитывается из условия  начисления процентов m раз в году, то она определяется по формуле

 

, где  - номинальная годовая ставка процентов.

Изучается зависимость  современной величины банковского депозита от сроков платежа и ставки процентов: чем выше ставка величина при прочих равных условиях; при увеличении сроков платежа современная величина стремится к нулю.

С ростом величины m - количества начислений процентов в году дисконтный множитель уменьшается и, следовательно, уменьшается современная величина банковского депозита.

Изучается зависимость  современной величины и дисконта от времени, оставшегося до момента выплаты долга S. Чем ближе момент, для которого определяется современная величина к моменту выплаты суммы S, тем меньше сумма дисконта.

Рассматривается соотношение между дисконтными  множителями по простой и сложной  ставке процентов в зависимости  от срока сделки.

Затем переходят  к рассмотрению дисконтирования  по сложной учетной ставке. Здесь  используется соотношение

 

=S(1-i^сл_уч)ⁿ

где i^сл_уч - сложная годовая учетная ставка;

n - срок ссуды.

 

Полезно убедиться  в том, что дисконтирование по сложной учетной ставке для владельца  векселя выгоднее, чем по простой  учетной ставке в силу того, что  при использовании сложной ставки процесс дисконтирования происходит с замедлением.

В дальнейшем переходят к рассмотрению дисконтирования  по номинальной учетной ставке i^ном_уч. При этом

=S(1-i^ном_уч/m)^m´n

Здесь дисконтирование  осуществляется m раз в году. Желательно убедиться, что дисконтирование не один, а m раз в году замедляет этот процесс и уменьшает сумму дисконта при прочих равных условиях, что для банка, как правило не выгодно.

Далее рассматривают  определение наращенной суммы с  помощью учетной ставки. При этом применяются соотношения:

S= (1-i^ном_уч)ⁿ и S= (1-i^сл_уч/m)^mn

 

Изучение  темы заканчивают рассмотрением  использования различных ставок в финансовых расчетах. При этом рассматривают как соотношения  между множителями наращения, так  и дисконтными множителями для  сроков меньше 1 года, больше 1 года и  равных 1 году.

 

1.4 Принцип  эквивалентности процентных ставок

 

Изучение  темы начинается с определения эквивалентных (эффективных, реальных, действительных) процентных ставок.

 

Эквивалентные процентные ставки - это такие процентные ставки разного вида, применение которых  дает одинаковые финансовые результаты.

Эквивалентные ставки необходимо знать в случаях, когда существует возможность выбора условий финансовой операции и требуется  инструмент для корректного сравнения  этих условий. Пусть речь идет, например, о сопоставлении эффективности  различных кредитных предложений, в которых используются различные  процентные ставки. Все предложения  пересчитываются на один и тот  вид ставки процентов. При этом используются формулы для расчета эквивалентных  ставок. Условия для получения  кредита будут более выгодными  в том случае, где соответствующая  эффективная ставка, по которой нужно  выплачивать проценты, будет  ниже.

Далее рассматривается  случай, когда все условия финансовых операций совпадают, т.е. первоначальный капитал, временная база, метод расчета (точный или обыкновенный) процентов  и период начисления одинаковы. В  противном случае применяются те же рассуждения и преобразования, только полученные формулы будут содержать большее количество переменных.

Эквивалентные ставки вычисляются из условия равенства  множителей наращения при различных  способах вычисления наращенной суммы.

Приведем  примеры таких ставок:

эффективная (эквивалентная) годовая ставка простых  процентов

 

i_э=i_П×m,

где i_П - ставка процентов в период их начисления;

эквивалентные ставки простых и сложных процентов  при их начислении 1 раз в году

 

эквивалентные ставки простых и сложных процентов  при начислении процентов m раз в году

 

эквивалентные непрерывные и дискретные  ставки сложных процентов

 

,

отсюда

 

;

 

эквивалентная простая годовая ставка ссудного процента и простая годовая учетная  ставка:

 

 

откуда

 

эквивалентные сложная годовая ставка процента и сложная годовая учетная ставка:

 

Проанализировав приведенные формулы, можно сделать  следующие два вывода:

 

1. эквивалентность  различных процентных ставок  не зависит от величины первоначальной  суммы S₀, поскольку она предполагалась одинаковой при сопоставлении способов вычисления наращенных сумм.

2. эквивалентность  процентных ставок обычно зависит  от продолжительности периода  начисления, кроме случая когда сопоставляют сложные ставки с одинаковым периодом начисления.

Изучение  темы заканчивается рассмотрением  зависимости между эквивалентными сложными учетными ставками и сложными годовыми ставками ссудного процента. При этом полезно убедиться, что  небольшие учетные ставки имеют  эквивалентные ставки ссудного процента, сопоставляемые по величине, но с ростом учетных ставок разница увеличивается  достаточно быстро:

 

iул.сл (%)	iсл (%)
5%	5,26%
6%	6,4%
10%	11%
20%	25%
50%	100%
80%	200%
90%	900%
99%	9900%

 

 

1.5 Наращивание  процентов в условиях инфляции.

 

Изучение  темы начинается с ознакомления с  понятиями уровень (темп) и индекс инфляции. Уровень инфляции h показывает на сколько в относительном выражении выросли цены за рассматриваемый период времени: h=DS/S, где DS - сумма, на которую надо увеличить сумму S для сохранения ее покупательной способности. Индекс же инфляции отвечает на вопрос, во сколько раз увеличились цены за тот же период времени: I_n=(S+DS)/S=(1+h). Здесь нужно уметь вычислять годовые уровень h_год и индекс инфляции , если известно месячное значение уровня инфляции:

 

 

Далее переходят  к рассмотрению собственно наращения  процентов в условиях инфляции. Для  расчета наращенной суммы используются сложные проценты, а для учета  влияния инфляции производится дисконтирование  по сложной ставке, равной темпу  инфляции. Наращенная сумма вычисляется  по формуле

 

 

Отсюда видно  следующее:

если i=h (доходность вложений и уровень инфляции равны), то S=S₀ , т.е. весь доход поглощается инфляцией; если i<h (доходность вложений ниже уровня инфляции), то S<S₀, т.е. операция приносит убыток; если i>h (доходность вложений выше уровня инфляции), то S>S₀, т.е. происходит реальный прирост вложений капитала.

В заключение темы возвращаются к понятиям номинальной  и реальной процентных ставок. Выше было дано определение номинальной  ставки как годовой ставки, по которой  определяется ставка процентов, применяемая  на каждом интервале начисления (например, в случае, когда интервал начисления равен одному месяцу).

На самом  деле, понятие номинальной ставки используют в более широком смысле, в частности, когда речь идет от учете инфляции.

Номинальной называют ставку, по которой заключено  или заключается кредитное соглашение. Пусть требуется, например, найти  номинальную банковскую ставку i_Н - некоторую увеличенную ставку процентов, позволяющую компенсировать влияние инфляции.

Обозначим через i_ч реальную банковскую ставку. Реальная сумма выплат означает, что то количество товаров, которое в момент выплаты можно купить на сумму S₀(1+i_ч) 1 год назад можно было купить на сумму S₀(1+i_Н). С учетом инфляции имеем следующее балансовое соотношение для товарных эквивалентов

 

_ч)

 

Понятно, что  в данной задаче i_ч равна существующей банковской ставке процентов, таким образом