Контрольная работа по "Финансовой математике"

Оглавление

 

Задача № 1

Кредит в размере К₀ у.е. был выдан в момент времени t₀ на срок Т лет под р процентов годовых и должен быть погашен частями актуарным способом. Поступили следующие платежи: в момент времени t₁ в объеме R₁, в момент времени t₂ в объеме R_{2 ,} в момент времени t₃ в объеме R_3. Определите остаток долга на конец срока.

К0	t0	Т	р	t1	R1	t2	R2	t3	R3
2000	01.03.99.	1.5	15	01.05.99.	100	01.03.00.	100	01.06.00.	400

 

 

Актуарный способ погашения кредита предполагает последовательное начисление процентных денег на реальную сумму долга. Поступивший частичный платеж направляется на погашение процентных денег, начисленных на дату платежа. Если сумма платежа превышает начисленные проценты, то разница идет на погашение основного долга. Если частичный платеж меньше начисленных процентных денег, то погашения не происходит, а сумма платежа присоединяется к следующему платежу.

 

    Остаток задолженности  определяется по формулам:

  и т.д.,

где – размер ссуды; R – частичный платеж.

Произведем расчеты:

	Период в месяцах	Процент за 1 месяц	Начислено процентов (сумма)	Сумма поступившего платежа	Остаток долга	В погашение процентов	В погашение основного  долга
t0					2000,00
t1	2	0,0125	50,00	100	1950,00	50,00	50,00
t2	10	0,0125	243,75	100	2193,75	0,00	0,00
t3	3	0,0125	82,27	400	1776,02	326,02	173,98
Конец срока	3	0,0125	66,60		1842,62

 

Задача № 2

Какую номинальную стоимость должен вписать кредитор в вексель, выданный ему на n дней при учетной ставке q процентов годовых, если заемщик просит в долг сумму в К₀ денежных единиц.

n	q	К0
190	10	140000

 

 

Номинальная стоимость векселя  составляет в данном случае 140000 денежных единиц. В соответствие с текстом векселя на данную сумму начисляются проценты, оговоренные выше.

Задача № 3

Кредит в К₀ ден. ед. был предоставлен на n лет при ежемесячных капитализациях и был погашен суммой в S ден. ед. Найти годовые сложные проценты ставки  кредита р и  q.

К0	n	S
16000	2,5	22000

 

 

 

При многократном начислении сложных процентов начисление каждый раз делается по отношению к сумме с уже начисленными ранее процентами. Иначе говоря,

S = (1 + i)ⁿP, где

P — исходная сумма, S — наращенная сумма (исходная сумма вместе с начисленными процентами), i — процентная ставка, выраженная в долях за период, n — число периодов начисления.

Произведем расчеты:

Год	Сумма долга на начало месяца	Ежемесячный процент	Капитализация	Сумма долга на конец  месяца	Сумма долга на начало месяца
1-й год	16 000,00р.	1,07%	170,75р.	16 170,75р.	16 000,00р.
	16 170,75р.	1,07%	172,57р.	16 343,32р.	16 170,75р.
	16 343,32р.	1,07%	174,41р.	16 517,73р.	16 343,32р.
	16 517,73р.	1,07%	176,27р.	16 694,00р.	16 517,73р.
	16 694,00р.	1,07%	178,15р.	16 872,15р.	16 694,00р.
	16 872,15р.	1,07%	180,05р.	17 052,20р.	16 872,15р.
	17 052,20р.	1,07%	181,98р.	17 234,18р.	17 052,20р.
	17 234,18р.	1,07%	183,92р.	17 418,10р.	17 234,18р.
	17 418,10р.	1,07%	185,88р.	17 603,98р.	17 418,10р.
	17 603,98р.	1,07%	187,86р.	17 791,84р.	17 603,98р.
	17 791,84р.	1,07%	189,87р.	17 981,71р.	17 791,84р.
	17 981,71р.	1,07%	191,89р.	18 173,60р.	17 981,71р.
2-й год	18 173,60р.	1,07%	193,94р.	18 367,55р.	18 173,60р.
	18 367,55р.	1,07%	196,01р.	18 563,56р.	18 367,55р.
	18 563,56р.	1,07%	198,10р.	18 761,66р.	18 563,56р.
	18 761,66р.	1,07%	200,22р.	18 961,88р.	18 761,66р.
	18 961,88р.	1,07%	202,35р.	19 164,24р.	18 961,88р.
	19 164,24р.	1,07%	204,51р.	19 368,75р.	19 164,24р.
	19 368,75р.	1,07%	206,70р.	19 575,45р.	19 368,75р.
	19 575,45р.	1,07%	208,90р.	19 784,35р.	19 575,45р.
	19 784,35р.	1,07%	211,13р.	19 995,48р.	19 784,35р.
	19 995,48р.	1,07%	213,39р.	20 208,87р.	19 995,48р.
	20 208,87р.	1,07%	215,66р.	20 424,53р.	20 208,87р.
	20 424,53р.	1,07%	217,96р.	20 642,49р.	20 424,53р.
3-й год	20 642,49р.	1,07%	220,29р.	20 862,78р.	20 642,49р.
	20 862,78р.	1,07%	222,64р.	21 085,42р.	20 862,78р.
	21 085,42р.	1,07%	225,02р.	21 310,44р.	21 085,42р.
	21 310,44р.	1,07%	227,42р.	21 537,86р.	21 310,44р.
	21 537,86р.	1,07%	229,84р.	21 767,70р.	21 537,86р.
	21 767,70р.	1,07%	232,30р.	22 000,00р.	21 767,70р.

 

Итак, была рассмотрена следующая  ситуация. Годовая процентная ставка составляет j, а проценты начисляются m=12 раз в году по сложной процентной ставке равной j / m. Тогда формула для наращенной суммы через k лет:

Проверка: руб.

Исходя из произведенных расчетов месячная процентная ставка составляет 1,07%, а годовая процентная ставка  соответственно, 12,81%.

Задача № 4

Постоянная  рента (аннуитет) имеет параметры:  Т (лет)- период ренты,  n (лет) – длительность контракта, p - простая процентная ставка, а = 1000 сумма платежа. Найти накопленную сумму по схеме пренумерандо и постнумерандо.

Т	n	p
1/6	1	15

 

 

Аннуитет (фр. annuité от лат. annuus — годовой, ежегодный) или финансовая рента — общий термин, описывающий график погашения финансового инструмента (выплаты вознаграждения или уплаты части основного долга и процентов по нему), когда выплаты устанавливаются периодически равными суммами через равные промежутки времени. Аннуитетный график отличается от такого графика погашения, при котором выплата всей причитающейся суммы происходит в конце срока действия инструмента, или графика, при котором на периодической основе выплачиваются только проценты, а вся сумма основного долга подлежит к оплате в конце.

Сумма аннуитетного платежа включает в себя основной долг и вознаграждение.

В случае аннуитета проценты начисляются  отдельно за каждый период, в течение  которого сумма задолженности постоянна, а затем начисленные для отдельных периодов времени проценты суммируются. Расчет производится по формуле простых процентов

                                                                                                                    

где Р — сумма на счете; i — номинальная годовая процентная ставка; t — продолжительность периода, за который рассчитываются проценты.

Очень важно различие рент по моменту  выплаты платежей. Если платежи осуществляются в конце определенного периода  времени (месяца, квартала, года и т. п.), как это обычно и бывает, то такие ренты называются обычными или постнумерандо (ordinary annuity). Если же выплата производится в начале каждого периода, то соответствующие ренты называют приведенными или пренумерандо (annuity due).

Для постоянной ренты пренумерандо сумма начисленных процентов  определяется формулой, приведенной выше, где все платежи равны между собой, количество платежей – п, период ренты – Т. Проводя суммирование по формуле арифметической прогрессии, получим сумму процентов и накопленную сумму:

                                                  

где R – сумма платежа; FV – накопленная (наращенная) сумма.

По данным задачи по формуле пренумерандо сумма выплаты составит:

FV (пренумерандо) = денежных единиц

Для постоянной ренты постнумерандо  сумма начисленных процентов  также определяется вышеприведенной  формулой, где все платежи равны  между собой и равны R, количество платежей равно и, период ренты равен T, но уплата первого платежа – в момент времени t=Т. В результате получаем

 

 

FV (постнумерандо) = денежных единиц

 

Задача № 5

Кредит в размере D ден. ед., выданный на n лет под р процентов годовых, погашается равными частями m раз в году. Определить величину каждой выплаты R_k, k=1,…, m*n.

D	р	n	m
10000	15	2	6

 

 

Погашение равными частями в течение срока кредитования.  
Погашение кредита в данном случае производится по следующим правилам: общая сумма кредитной задолженности и проценты по ней делятся равными частями на количество периодов погашения.

Пусть D – основная сумма долга, выданная в момент t, n – срок и р – процентная ставка кредита. Тогда полная стоимость кредита

S= D (1+ р* n)= 10000 * (1+0,15*2)=13000.

Если долг погашается n одинаковыми  платежами, то размер каждого погасительного платежа :

 

Список литературы

1. Бочаров П.П., Касимов Ю.Ф. Финансовая математика. М., 2002.
2. Масыч М.А. Финансовые и коммерческие расчеты на ЭВМ: Конспект лекций.Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2005.
3. Четыркин Е.М. Финансовая математика. М., 2004.