Финансовая математика 5 вариант

b₍₁₂₎ = 0,3∙(50,70 – 50,29) + 0,7 ∙ 1,317 = 1,045

F₍₁₂₎ = 0,6∙ + 0,4 ∙ 0,782 = 0,763

 

y₍₁₃₎ = (50,70 + 1,045) ∙ 0,852 = 44,09

a₍₁₃₎ = 0,3∙ + 0,7∙(50,70 + 1,045) = 52,42

b₍₁₃₎ = 0,3∙(52,42 50,70) + 0,7 ∙ 1,045 = 1,247

F₍₁₃₎ = 0,6∙ + 0,4 ∙ 0,852 = 0,869

 

y₍₁₄₎ = (52,42 + 1,247) ∙ 1,060 = 56,89

a₍₁₄₎ = 0,3∙ + 0,7∙(52,42 + 1,247) = 53,42

b₍₁₄₎ = 0,3∙(53,42 – 52,42) + 0,7 ∙ 1,247 = 1,173

F₍₁₄₎ = 0,6∙ + 0,4 ∙ 1,060 = 1,054

 

y₍₁₅₎ = (53,42 + 1,173) ∙ 1,249 = 58,19

a₍₁₅₎ = 0,3∙ + 0,7 ∙ (53,42 + 1,173) = 54,3

b₍₁₅₎ = 0,3∙(54,30 – 53,42) + 0,7 ∙ 1,173 = 1,085

F₍₁₅₎ = 0,6∙ + 0,4 ∙ 1,249 = 1,238

 

 

 

y₍₁₆₎ = (54,30 + 1,085) ∙ 0,763 = 42,26

a₍₁₆₎ = 0,3∙ + 0,7∙(54,30 + 1,085) = 54,89

b₍₁₆₎ = 0,3∙(54,89 – 54,30) + 0,7 ∙ 1,085 = 0,936

F₍₁₆₎ = 0,6∙ + 0,4 ∙ 0,763 = 0,755

 

= 35 – 34,46 = 0,54

= 44 – 44,28 = -0,28

= 52 – 53,36 = -1,36

= 34 – 33,57 = 0,43

= 37 – 37,68 = -0,68

= 48 – 47,23 = 0,77

= 59 – 56,75 = 2,25

= 36 – 38,10 = -2,1

= 41 – 41,56 = -0,56

= 52 – 53,83 = -1,83

= 62 – 65,17 = -3,17

= 38 – 40,36 = -2,36

= 46 – 44,09 = 1,91

= 56 – 56,89 = -0,89

= 67 – 68,19 = -1,19

= 41 – 42,26 = -1,26

 

 

= 0,54² = 0,292

= (-0,28)² = 0,078

= (-1,36)² = 1,850

= 0,43² = 0,185

= (-0,68)² = 0,462

= 0,77² = 0,593

= 2,25² = 5,062

= (-2,1)² = 4,41

= (-0,56)² = 0,314

= (-1,83)² = 3,349

= (-3,17)² = 10,049

= (-2,36)² = 5,570

= 1,91² = 3,648

= (-0,89)² = 0,792

= (-1,19)² = 1,416

= (-1,26)² = 1,588

 

( )²

(0,54 + 0,28)² = 0,672

(-0,28 + 1,36)² = 1,166

(-1,3 – 0,43)² = 3,204

(0,43 + 0,68)² = 1,232

(-0,68 – 0,77)² = 2,102

(0,77 – 2,25)² = 2,190

(2,25 +2,1)² = 18,922

(-2,1 +0,56)² = 2,372

(-0,56 + 1,83)² = 1,613

(-1,83 + 3,17)² = 1,796

(-3,17 + 2,36)² = 0,656

(-2,36 – 1,91)² = 18,233

(1,91 + 0,89)² = 7,84

(-0,89 + 1,19)² = 0,09

(-1,19 + 1,26)² = 0,005

 

0,54 ∙ (-0,28) = -0,15

(-0,28) ∙ (-1,36) = 0,38

(-1,3) ∙ 0,43 = -0,58

0,43 ∙ (-0,68) = -0,29

(-0,68) ∙ 0,77 = -0,52

0,77 ∙ 2,25 = 1,73

2,25 ∙ (-2,1) = -4,72

(-2,1) ∙ (-0,56) = 1,18

(-0,56) ∙ (-1,83) = 1,02

(-1,83) ∙ (-3,17) = 5,80

(-3,17) ∙ (-2,36) = 7,48

(-2,36) ∙ 1,91 = -4,51

1,91 ∙ (-0,89) = -1,70

(-0,89) ∙ (-1,19) = 1,06

(-1,19) ∙ (-1,26) = 1,50

 

 

 

 

 ∙ 100%

 ∙ 100 = 1,54

 ∙ 100 = 0,64

 ∙ 100 = 2,61

 ∙ 100 = 1,26

 ∙ 100 = 1,84

 ∙ 100 = 1,60

 ∙ 100 = 3,81

 ∙ 100 = 5,83

 ∙ 100 = 1,36

 ∙ 100 = 3,52

 ∙ 100 = 5,11

 ∙ 100 = 6,21

 ∙ 100 = 4,15

 ∙ 100 = 1,59

 ∙ 100 = 1,78

 ∙ 100 = 3,07

 

2. Оценка точности.

 

= ∙ 100%

 

= ∙ 45,92 = = 2,87%

 

 

< 5% ,  условие точности выполнено.

 

3. Проверка на адекватность.

 

а) проверка на случайность остаточной компоненты.

 

P = 7 > P_крит. = 6

 

Пиковых точек  больше, чем необходимо критических, поэтому 

 

остаточная  компонента является случайной.

 

  б) проверка на независимость уровней остаточной компоненты.

 

Критерий – d

 

Критерий – r₁

 

d =

 

d = = 1,56

 

d₁ = 1,10 и d₂ = 1,37

 

Если d₂ < d < 2, то уровни ряда остатков являются независимыми.

 

В нашем случае это условие  выполнено, т.к., 1,37 < 1,56 < 2,

следовательно уровни ряда E(t) независимы.

 

r₁ =

 

r₁ = = 0,19

 

r_кр. = 0,32

 

< r_кр., следовательно уровни независимы.

 

в) соответствие уровней остаточной компоненты нормальному  закону распределения.

 

= ,

 

где - максимальное значение уровней ряда остатков ;

 

      - минимальное значение уровней ряда остатков .

 

=

 

= = = 1,57

 

= 2,25

 

= -3,17

 

= = = 3,45

 

Так как 3 < 3,45 < 4,21, полученное значение попало в заданный интервал.

 

Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному

 

распределению.

 

    Все  условия адекватности и точности выполнены. Следовательно,

 

можно говорить об удовлетворительном качестве модели и

 

возможности проведения

 

прогноза на четыре квартала вперёд.

 

 

 

 

 

 

4. Прогноз на год вперёд.

 

Шаг прогноза.	Время, t + k	Значение y ∙ (t + k)
1	17	48,51
2	18	59,83
3	19	71,43
4	20	44,27

 

y ∙ (t + k) = ∙ F_(t+k-4)

 

y(17) = (54,89 +1 ∙ 0,936) ∙ 0,869 = 55,826 ∙ 0,869 = 48,51

 

y(18) = (54,89 +2 ∙ 0,936) ∙ 1,054 = 56,762 ∙ 1,054 = 59,83

 

y(19) = (54,89 +3 ∙ 0,936) ∙ 1,238 = 57,698 ∙ 1, 238 = 71,43

 

y(20) = (54,89 +4 ∙ 0,936) ∙ 0,755 = 58,634 ∙ 0,755 = 44,27

 

5. Построение графика.

 

График строим по данным таблицы.

 

Время	Факт.	Расчёт.
1	35	34,46
2	44	44,28
3	52	53,36
4	34	33,57
5	37	37,68
6	48	47,23
7	59	56,75
8	36	38,1
9	41	41,56
10	52	53,83
11	62	65,17
12	38	40,36
13	46	44,09
14	56	56,89
15	67	68,19
16	41	42,26
17		48,51
18		59,83
19		71,43
20		44,27

 

 

На нижеприведённом  рисунке проводится сопоставление 

 

фактических и расчётных данных. Здесь же показаны прогнозные

 

значения цены акции на 1 год вперёд. Из рисунка  видно, что 

 

расчётные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит 

 

об удовлетворительном качестве прогноза.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2.

  

   Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

- экспоненциальную скользящую  среднюю;

- момент;

- скорость изменения цен;

- индекс относительной  силы;

- %К.

   Расчёты проводить  для всех дней, для которых  эти расчёты можно выполнить  на основании имеющихся данных.

 

Решение:

 

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней.

 

Дни, t	Цены
	max, Ht	min, Lt	Закр., Ct
1	718	660	675
2	685	601	646
3	629	570	575
4	585	501	570
5	598	515	523
6	535	501	506
7	555	500	553
8	580	540	570
9	580	545	564
10	603	550	603

 

1) Найти экспоненциальную  скользящую среднюю.

Дни, t	Цены			EMAt
	max, Ht	min, Lt	Закр., Ct
1	2	3	4	5
1	718	660	675	675
2	685	601	646	665
3	629	570	575	635
4	585	501	570	613
5	598	515	523	583
6	535	501	506	557
7	555	500	553	556
8	580	540	570	561
9	580	545	564	562
10	603	550	603	576

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n = 5

 

Находим коэффициент k по формуле k =

 

k = = =

 

Находим экспоненциальную скользящую среднюю по формуле 

 

EMA_t = k ∙ C_t + (1 – k) ∙ EMA_{t – 1}

 

 ∙ 646 + (1 - ) ∙ 675 = ∙ 646 + ∙ 675 = = = 665

 

 ∙ 575 + ∙ 665 = = = 635

 ∙ 570 + ∙ 635 = = = 613

 

 ∙ 523 + ∙ 613 = = = 583

 

 ∙ 506 + ∙ 583 = = = 557

 

 ∙ 553 + ∙ 557 = = = 556