Закон убывающей отдачи факторов производства и вогнутость производственной функции

При увеличении ОПФ на 1%, валовой выпуск увеличится на 0,47%;

4. При увеличении занятых на 1% - на 4,27%.
5. Построить семейство изоквант и изоклиналей.

 

Изоквантой называется множество точек плоскости, для которых

F(K, L)=X₀=const. Для мультипликативной ПФ заданной в условии задачи изокванта имеет вид

= X₀=const, или ,

т.е. является степенной гиперболой, асимптотой которой служат оси координат.

 

Изоклиналями называются линии наибольшего роста ПФ. Изоклинали ортогональны линиям нулевого роста, т.е. изоквантам. Поскольку направление наибольшего роста в каждой точке(K, L) задается градиентом , то уравнение изоклинали записывается в форме

.

В частности, для мультипликативной  ПФ , , поэтому изоклиналь задается дифференциальным уравнением

,

которое имеет решение

, ,

где (L₀, K₀) – координаты точки, через которую проходит изоклиналь.

 

6. Показатель эффективности экономики страны Е и показатель масштаба производства М.

Эффективность экономики  страны оценивается с помощью  обобщенного показателя, представляющего  собой взвешенное среднегеометрическое частных показателей экономической эффективности

в котором роль весов выполняют относительные эластичности и . Частные показатели эффективности представляют собой:

_{- фондоотдача;  - производительность труда.}

Подставим исходные данные задачи, получим:

0,09,

,

_,

Эффективность экономики  страны найдем как среднегеометрическое из частных эффективностей.

_3,25

Так как валовый выпуск продукции _{представляет собой произведение экономической эффективности экономики страны на масштаб производства, т.е., ,  то}

Подставив исходные данные, получим:

Таким образом, валовый выпуск продукции в экономике рассматриваемой страны за указанный период вырос в 4,5 раза. В том числе и за счет прироста масштаба производства в 1,38 раза.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание №3

Пусть все  народное хозяйство (район и т.д.) состоит из трех отраслей, каждая из которых выпускает один вид из продукции. В первых таблицах указаны  расходные коэффициенты (прямые затраты) единиц продукции i-ой отрасли, используемые как сырье (промежуточный продукт) для выпуска единицы продукции k-й отрасли, а также количество единиц y_i продукции i-й отрасли, предназначенные для реализации (конечный продукт).

 

Дополнительно заданы расходные нормы двух видов  сырья и топлива на единицу  продукции соответствующей отрасли, трудоемкость продукции в человеко-часах  на единицу продукции, стоимость  единицы соответствующего материала  и оплата за 1 чел. (вторые таблицы).

 

Отрасли	Прямые затраты аik			Конечный продукт
	1	2	3
1	0,9	0,1	0	400
2	0,2	0	0,1	100
3	0,3	0,1	0,2	400

 

	Прямые затраты аik			Стоимость, у.е.
	1	2	3
Сырье A	2,2	1,7	1,0	9
Сырье B	1,3	1,6	1,0	13
Топливо	2,1	2,8	2,4	3
Трудоемкость	16	21	32	1,3

 

 

 

 

Определить:

1.Коэффициенты полных  затрат.

2.Валовой выпуск для  каждой отрасли.

3. Производственную программу  отраслей.

4. Коэффициенты косвенных  затрат.

5. Суммарный расход сырья,  топлива и трудовых ресурсов  на выполнение производственной  программы.

6. Коэффициенты прямых  затрат сырья, топлива и труда  на единицу конечной продукции  каждой отрасли.

7.Расход сырья, топлива  и трудовых ресурсов по отраслям.

8. Производственные затраты  в денежных единицах по отраслям  и на всю производственную  программу.

9. Производственные затраты  на единицу конечной продукции.

 

Решение.

1. Обозначим производственную программу Х = (х₁, х₂, х₃) (х_i – валовый выпуск продукции i-й отраслью), а выпуск товарной продукции Y = (y_1, y_2, y₃). - расходные коэффициенты (таблица 1), тогда производственные взаимосвязи могут быть представлены формулой

,

где AX – внутрипроизводственное потребление.

,

.

- матрица, обратная для , представляет собой искомые коэффициенты полных внутрипроизводственных затрат.

.

Таким образом, например, для  выпуска единицы продукции 1, 2, 3 отраслей необходимо затратить продукции 1-ой отрасли соответственно 13.17, 1.33, 0.17 единиц.

2. Для определения валового выпуска продукции отраслей воспользуемся равенством

 

 

 

 

Следовательно, х₁ = 5469_, х₂ =1469, х₃=2731.

3. Производственную программу каждого из отраслей можно определить из соотношений:

и представить в виде таблицы:

Отрасли	Внутрипроизводственное потребление			Итого	Конечный продукт	Валовой выпуск
	1	2	3
1	4922	147	0	5069	400	5469
2	1094	0	273	1367	100	1469
3	1641	147	546	2334	400	2731

 

4. Коэффициенты косвенных затрат найдем по формуле:

 

.

 

5. Суммарный расход сырья A, сырья B, топлива и труда можно получить, умножив матрицу нормы расхода на валовой продукт:

 

 

6. Расход сырья на единицу конечной продукции отраслей (соответствующие коэффициенты полных затрат сырья, топлива, труда на каждую единицу конечного продукта) получим из произведения матриц:

 

.

 

Таким образом, например, для  изготовления y₁=1 необходимо затратить 39.69 единиц сырья A, 27.52 единиц сырья B, 49.33 единиц топлива и 447.85 человеко-часов.

7. Расход сырья, топлива и труда по каждой отрасли получим из умножения их расходных норм на соответствующие валовые выпуски по отраслям. В результате получим матрицу полных затрат.

 

 

 

 

8. Производственные расходы по отраслям можно получить путем умножения слева строки стоимостей (9, 13, 3, 1.3) на матрицу п.7:

 

 

 

 

9. Производственные затраты на единицу конечной продукции, необходимые для определения себестоимости продукции, можем найти путем умножения слева матрицы полных затрат, найденном в п. 6 на строку цен:

 

 

 

Таким образом, внутрипроизводственные затраты на единицу товарной продукции 1, 2, 3 отраслей соответственно равны: 1445,17;  227,87;  117,17.

Список  литературы

1. http://ru.wikipedia.org
2. Колемаев В.А. Математическая экономика.  2-е изд., перераб. и доп. - М.: Юнити-Дана, 2002. — 399 с.
3. Райзберг Б.А., Лозовский Л.Ш., Стародубцева Е.Б.. Современный экономический словарь. — 2-е изд., испр. М.: ИНФРА-М. 479 с.. 1999.
4. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. В 2-х ч. М.: Финансы и статистика, 2000. — Ч.1 - 224с.; Ч.2 - 376с.
5. Грызина Н.Ю., Мастяева И.Н., Семенихина О.Н.Математические методы исследования операций в экономике. М.: ЕАОИ, 2008, — 204 с.