Временные ряды в эконометрических исследованиях

Лекция № 9. Временные  ряды в эконометрических исследованиях

Основные вопросы лекции:

1. Общие сведения о временных рядах и задачах их анализа
2. Компоненты ряда динамики
3. Виды трендовой компоненты и проверка гипотезы о существовании тренда

 

Под временным рядом (динамическим рядом, или рядом динамики) в экономике подразумевается последовательность наблюдений некоторого признака (случайной величины)  в последовательные моменты времени. Отдельные наблюдения называются уровнями ряда, которые будем обозначать , где  - число уровней.

В таблице 8.1 приведены данные, отражающие спрос на некоторый товар за восьмилетний период (усл.ед.), т.е. временной ряд  спроса .

Год,	1	2	3	4	5	6	7	8
Спрос,	213	171	291	309	317	362	351	361

В качестве примера на рис. 10.1 временной ряд  изображен графически.

В общем виде при исследовании экономического временного ряда  выделяются несколько составляющих:

,                    (10.1)

где  - тренд, плавно меняющаяся компонента, описывающая чистое влияние долговременных факторов, т.е. длительную ("вековую" тенденцию изменения признака (например, рост населения, экономическое развитие, изменение структуры потребления и т.п.);

 - сезонная компонента, отражающая  повторяемость экономических процессов  в течение не очень длительного  периода (года, иногда месяца, недели и т.д., например объем продаж товаров или перевозок пассажиров в различные времена года);

 - циклическая компонента, отражающая  повторяемость экономических процессов  в течение длительных периодов.

 - случайная компонента, отражающая влияние не поддающихся учету и регистрации случайных факторов.

 

 

Рис. 10.2

Следует обратить внимание на то, что  отличие от  первые три составляющие (компоненты)  являются закономерными, неслучайными.

Важнейшей классической задачей при  исследовании экономических временных рядов является выявление и статистическая оценка основной тенденции развития изучаемого процесса и отклонений от нее.

Отметим основные этапы  анализа временных рядов:

- Графическое представление  и описание поведения временного ряда;

- Выделение и удаление  закономерных (неслучайных) составляющих  временного ряда (тренда, сезонных  и циклических составляющих);

- Сглаживание и фильтрация (удаление низко- или высокочастотных  составляющих временного ряда);

- Исследование случайной составляющей временного ряда, построение и проверка адекватности математической модели для ее описания;

- Прогнозирование развития  изучаемого процесса на основе  имеющегося временного ряда;

- Исследование взаимосвязи  между различными временными  рядами.

Среди распространенных методов анализа временных рядов выделим корреляционный и спектральный анализ, модели авторегрессии и скользящей средней.

Если выборка   рассматривается как одна из реализаций случайной величины , временной ряд  рассматривается как одна из реализации (траекторий) случайного процесса . Вместе с тем следует иметь в виду принципиальные отличия временного ряда  от последовательности наблюдений , образующих случайную выборку. Во-первых, в отличие от элементов случайной выборки члены временного ряда, как правило, не являются статистически независимыми. Во-вторых, члены временного ряда не являются одинаково распределенными.

Ряд динамики может быть подвержен влиянию эволюционного  и осцилятивного характера, а  также находится под влиянием факторов различного воздействия.

Влияние эволюционного  характера – это изменение, определяющее некое общее направление развития, как бы многолетнюю эволюцию. Такие  изменения называют тенденцией развития (трендом).

Влияния осцилятивного характера  – сезонные и циклические колебания. Циклические состоят в том, что значение изучаемого признака в течение какого то периода растет, затем  достигает максимума, потом падает, затем достигает минимума, и это повторяется. Их можно представить как синусоиду. Сезонные колебания – периодические повторения в некоторое определенное время каждого года, месяца, часа, тип.

Кроме этого, существуют нерегулярные колебания, которые делятся на 2 группы.

1. Неожиданные действия (экологические катастрофы, война)

2. Случайные колебания, вызванные действием  большого количества относительно слабых второстепенных факторов.

4 компоненты

T – относительная тенденция

K – циклическая тенденция

S – сезонная

E – случайные колебания

В зависимости от воздействия и  взаимовоздействия всех этих компонентов, может быть построена аддитивная мультипликативная модель  временного ряда. 

Аддитивная – временной ряд представляет собой сумму всех компонентов.

Мультипликативная:

При наличии ряда наблюдаемых значений для различных моментов времени  необходимо найти подходящую трендовую линию, которая сгладила бы ось колебания.

В социоэкономических рядах динамики можно наблюдать тенденцию 3-х  видов:

- средний уровень

- дисперсию

- автокорреляцию

Тенденция среднего уровня автоматически выражается с помощью функции вокруг которой варьируют фактический уровень исследуемого явления. В этом случае значения тренда в определенный момент времени будут являться мат ожиданиями ряда динамики.

Тенденция среднего уровня – детерминированная  составляющая исследуемого явления, и в этом случае .

Тенденция дисперсии представляет собой тенденцию изменения отклонений между эмпирическими уровнями и детерминированной компонентой ряда.

Тенденция автокорреляции – тенденция изменения связи между уровнями отдельного ряда динамики.

Прежде чем перейти к выделению тренда, следует проверить гипотезу о его существовании. Отсутствие основной тенденции означает неизменность среднего уровня ряда во времени.

Рассмотрим 2 метода определения тренда:

1. Метода, основанный на проверке  разности средних 2-х разных частей 1-го и того же ряда (1)

2. Метод Фостера-Стьюарта.(2)

(1)  - ряд разбивается на 2 равные части или почти равные части, и проверяется гипотеза о существовании разности средних.

Но:

За основу берется критерий Стьюдента. Если , то гипотеза об отсутствии тренда отклоняется

t- расчетное значение, найденное для анализируемых данных

t_i – табличное значение – критерий при уроне вероятной ошибки = i.

В случае равенства или  при несущественном различии дисперсий 2-х исследуемых совокупностей, , где  - среднее для 1й и 2й половины ряда, n₁,n₂  - число наблюдений в обоих частях ряда, - ср.квадр. отклонение разности 2-х средних. Берется с числом степеней свободы = (n₁+n₂-2).

n₁ и n₂ – число наблюдений в этих частных рядах.

Необходимое значение можно определить на основе средневзвешенной величины дисперсии отдельно совокупности.  

Проверка гипотезы о  равенстве дисперсий решается  также с помощью F-критерия, который основан на сравнении расчетного отношения с табличным.

,

Если расчетное значение F-критерия < чем табличное, то можно принять гипотезу о равенстве дисперсий. Если F>Fтабличное, то гипотеза отклоняется, и формула для расчета t не может быть применена.

Данный метод дает вполне приемлемые результаты лишь в случае рядов с монотонной тенденцией. Когда же ряд динамики меняет общее направление развития, то точка поворота тенденции оказывается близкой к середине ряда. Поэтому средние 2-х отрезков будут близкими по значению, а проверка может не показать наличие тренда.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется временным рядом?
2. Составляющие компоненты ряда динамики
3. Виды трендовой компоненты и проверка гипотезы о существовании тренда