Системы эконометрических уравнений

Содержание

Введение

1. Понятие и применение систем экономических уравнений
2. Системы эконометрических уравнений

Заключение

Список использованной литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Объектом статистического изучения в социальных науках являются сложные системы. Измерение тесноты связей между переменными, построение изолированных уравнений регрессии недостаточны для описания таких систем и объяснения механизма их функционирования. При использовании отдельных уравнений регрессии, например, для экономических расчетов в большинстве случаев предполагается, что аргументы (факторы) можно изменять независимо друг от друга. Однако это предположение является очень грубым: практически изменение одной переменной, как правило, не может происходить при абсолютной неизменности других. ЕЕ изменение повлечет за собой изменения во всей системе взаимосвязанных признаков.

Следовательно, отдельно взятое уравнение множественной регрессии не может характеризовать истинные влияния отдельных признаков на вариацию результирующей переменной. Именно поэтому в экономических, биометрических социологических исследованиях важное место заняла проблема описания структуры связей между переменными системой так называемых одновременных уравнений или структурных уравнений.

Эконометрические методы применяются для построения крупных эконометрических систем моделей, описывающих экономику той или иной страны и включающих в качестве составных элементов производственную функцию, инвестиционную функцию, а также уравнения, характеризующие движение занятости, доходов, цен и процентных ставок и другие блоки.

В последние десятилетия методы эконометрики сыграли решающую роль в освоении и развитии автоматизации экономических расчетов разного уровня и назначения.

 

 

 

 

1.Понятие и применение систем экономических уравнений

Сложные системы и процессы в них, как правило, описываются не одним уравнением, а системой уравнений. При этом между переменными имеются связи, так что по крайней мере некоторые из таких связей между переменными требуют корректировки МНК для адекватного оценивания параметров модели (параметров системы уравнений). Удобно сначала рассмотреть оценивание системы, в которой уравнения связаны только благодаря корреляции между ошибками (остатками) в разных уравнениях системы. Такая система называется системой внешне несвязанных между собой уравнений:

В такой системе каждая зависимая переменная рассматривается как функция одного и того же набора факторов; правда, этот набор факторов вовсе не обязан быть представлен весь целиком во всех уравнениях системы, а может варьировать от одного уравнения к другому. Можно рассматривать каждое уравнение такой системы независимо от остальных и применять для оценивания его параметров МНК. Но в практически важных задачах описываемые отдельными уравнениями зависимости представляют объекты и взаимодействие между этими объектами, которые находятся в одной общей среде. Наличие этой единой экономической среды обусловливает взаимосвязи между объектами и соответствующее взаимодействие, за что отвечают в данном случае остатки (корреляция между ошибками). Поэтому объединение уравнений в систему и применение обобщенного метода наименьших квадратов (ОМНК) для ее решения существенно повышает эффективность оценивания параметров уравнений.

Более общей является модель так называемых рекурсивных уравнений, когда зависимая переменная одного уравнения выступает в роли фактора х, оказываясь в правой части другого уравнения системы. При этом каждое последующее уравнение системы (зависимая переменная в правой части этих уравнений) включает в качестве факторов все зависимые переменные предшествующих уравнений наряду с набором их собственных факторов х. Здесь опять каждое уравнение системы может рассматриваться независимо, но тоже эффективнее рассматривать взаимосвязь через остатки и применять ОМНК:

Наконец, общим и самым полным является случай системы взаимосвязанных уравнений. Такие уравнения еще называют одновременными, или взаимозависимыми. Также это система совместных одновременных уравнений. Здесь уже одни и те же переменные рассматриваются одновременно как зависимые в одних уравнениях и независимые – в других. Такая форма модели называется структурной формой модели. Теперь уже нельзя рассматривать каждое уравнение системы по отдельности (как самостоятельное), так что для оценки параметров системы традиционный МНК неприменим.

Для этой структурной формы модели существенное значение получает деление переменных модели на два класса: эндогенные переменные – взаимозависимые переменные, которые определяются внутри модели (внутри самой системы) и обозначаются у; экзогенные переменные – независимые переменные, которые определяются вне системы и обозначаются как х. Кроме того, вводится также понятие предопределенных переменных. Под ними понимаются экзогенные переменные системы и лаговые эндогенные переменные системы (лаговые – это переменные, относящиеся к предыдущим моментам времени).

Структурная форма модели в правой части содержит при эндогенных и экзогенных переменных коэффициенты, которые называются структурными коэффициентами модели. Можно представить систему (модель) в другой форме: записать ее как систему, в которой все эндогенные переменные линейно зависят уже только от экзогенных переменных. Иногда практически то же формулируют несколько более общим образом – требуют, чтобы эндогенные переменные линейно зависели только от всех предопределенных переменных системы (т.е. экзогенных и лаговых эндогенных переменных системы). В любом из этих двух случаев такая форма называется приведенной формой модели. Приведенная форма уже ничем внешне не отличается от системы независимых уравнений:

Ее параметры оцениваются по МНК. После чего несложно оценить и значения эндогенных переменных с помощью значений экзогенных. Но коэффициенты приведенной формы модели являются нелинейными функциями коэффициентов структурной формы модели. Таким образом, получение оценок параметров структурной формы модели по параметрам приведенной формы технически является не столь уж простым.

Нужно отметить также, что приведенная форма модели аналитически уступает структурной форме модели, т.к. именно в последней имеется взаимосвязь между эндогенными переменными. В приведенной форме модели отсутствуют оценки взаимосвязи между эндогенными переменными. С другой стороны, в структурной форме модели в полном виде имеется большее количество параметров, чем в приведенной. И это большее количество параметров, которые требуется определить по меньшему числу определяемых в приведенной форме параметров, невозможно однозначно найти, если только не ввести определенные ограничения на сами структурные коэффициенты.

Описанная только что наиболее общая модель – система взаимозависимых уравнений – получила название системы совместных одновременных уравнений. Эта структурная форма модели подчеркивает, что в такой системе одни и те же переменные одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и независимые – в других. Важным примером такой модели служит следующая простая модель динамики и заработной платы:

.

В этой модели левые части первого и второго уравнений системы – это темп изменения месячной заработной платы и темп изменения цен. Переменные в правых частях уравнений: x1 – процент безработных, x2 – темп изменения постоянного капитала, x3 – темп изменения цен на импорт сырья.

Что касается структурной модели, то она позволяет увидеть влияние изменений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной. Поэтому следует в качестве экзогенных переменных выбирать такие, которые могут быть объектом регулирования. Тогда меняя их и управляя ими, можно заранее иметь целевые значения эндогенных переменные.

Таким образом, существуют две различные формы моделей, которые описывают одну ситуацию, но имеют определенные преимущества в контексте решения различных проблем, различных аспектов этой ситуации. Следовательно, нужно уметь устанавливать и поддерживать должное соответствие между этими двумя формами моделей. Так, при переходе от структурной формы модели к приведенной возникает проблема идентификации – единственности соответствия между приведенной и структурной формами модели. По возможности идентифицируемости структурные модели делятся на три вида.

Модель идентифицируема, если все структурные коэффициенты модели однозначно определяются по коэффициентам приведенной формы модели. При этом число параметров в обеих формах модели одинаково.

Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов. Тогда структурные коэффициенты не могут быть определены и оценены через коэффициенты приведенной формы модели.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В таком случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более значений одного структурного коэффициента.

Следует еще раз подчеркнуть, что деление переменных на эндогенные и экзогенные зависит от содержания модели, а не от ее формальных особенностей. Именно интерпретация определяет, какие переменные считать эндогенными, а какие – экзогенными. При этом предполагается, что экзогенные переменные некоррелированы с ошибкой для каждого уравнения. Тогда как экзогенные переменные (они стоят в правых частях уравнений), как правило, имеют ненулевую корреляцию с ошибкой в соответствующем уравнении. Для приведенной формы уравнений (в отличие от структурной формы) в каждом уравнении экзогенная переменная некоррелирована с ошибкой. Именно поэтому МНК для ее параметров дает состоятельные оценки. А сам такой способ оценки параметров (уже структурных коэффициентов) с помощью оценок коэффициентов приведенной формы и МНК называется косвенным методом наименьших квадратов. Использование косвенного метода наименьших квадратов заключается просто в составлении приведенной формы для определения численных значений параметров каждого уравнения посредством обычного МНК. После этого с помощью алгебраических преобразований переходят опять к исходной структурной форме модели и получают тем самым численные оценки структурных параметров.

Применение систем эконометрических уравнений представляет собой непростую задачу.

Проблемы здесь происходят из-за ошибок спецификации. Основной областью применения эконометрических моделей является построение макроэкономических моделей экономики целой страны. Это, главным образом, мультипликаторные модели кейнсианского типа. Более совершенными по сравнению со статическими моделями являются динамические модели экономики, которые содержат в правой части лаговые переменные и учитывают тенденцию развития (фактор времени). Значительные трудности создает невыполнение условия независимости факторов, которое в корне нарушается в системах одновременных (взаимозависимых) уравнений.

Использование корреляционно-регрессионного анализа в контексте структурного моделирования — это попытка подойти к выделению и измерению причинных связей переменных. Для этого следует сформулировать гипотезы о структуре влияний и корреляции. Такая система причинных гипотез и соответствующих взаимосвязей изображается графом, вершины которого — это переменные (причины или следствия), а дуги — причинные отношения. Верификация гипотез требует установления соответствия между графом и системой уравнений, описывающей этот граф.

Структурные модели эконометрики представляются системой линейных по отношению к наблюдаемым переменным уравнений. Если алгебраическая система соответствует графу без контуров (петель), то она является рекурсивной системой. Такая система позволяет рекуррентно определять значения входящих в нее переменных. В ней в уравнения для признака включаются все переменные, кроме тех, которые расположены выше него по графу. Соответственно формулировка гипотез в структуре рекуррентной модели довольно проста, при условии использования данных динамики. Рекурсивная система уравнений позволяет определить полные и частные коэффициенты влияния факторов. Коэффициенты полного влияния измеряют значение каждой переменной в структуре. Структурные модели позволяют оценить полное и непосредственное влияние переменных, прогнозировать поведение системы, рассчитывать значения эндогенных переменных.

Если нужно всего лишь уточнить характер связей переменных, то используют метод путевого анализа (путевых коэффициентов). В основе его лежит гипотеза об аддитивном характере (аддитивность и линейность) связей между переменными. К сожалению, применение путевого анализа в социально-экономических исследованиях затруднено тем, что не всегда линейная зависимость удовлетворительно выражает все разнообразие причинно-следственных связей в реальных системах. Значимость результатов анализа определяется правильностью построения максимально связного графа и, соответственно, изоморфной математической модели в виде системы уравнений. В то же время важным достоинством путевого анализа является возможность производить декомпозицию корреляций.

В зависимости от характера ограничений и статистической структуры переменных эконометрические модели классифицируются на линейные модели с одной, двумя и большим числом переменных, а также на пробит-модели, логит-модели, тобит-модели и др.

Применение систем эконометрических уравнений представляет собой непростую задачу.

Основной областью применения эконометрических моделей является построение макроэкономических моделей экономики целой страны. Это, главным образом, мультипликаторные модели кейнсианского типа.