Решение задачи линейного программирования симплекс-методом и проведение экономического анализа полученного решения

«18» апреля 2013                  Синявская К.П.

        204 группа                Индивидуальные параметры

    р₁ = 9;   р₂ = 8;  р₃ = 8

 

Отчёт по домашней работе

по  дисциплине «математические методы в экономике»

на  тему

«Решение  задачи линейного программирования симплекс-методом 

и проведение экономического анализа  полученного решения»

 

Задание:

Для приготовления пяти видов продукции (A, B, C, D, E) используют четыре вида сырья. Ресурсы сырья, норма его расхода на единицу продукции и цена продукции заданы в соответствующей таблице.

	Норма расходов					Ресурсы
	A	B	C	D	E
I	2,7	10,8	11,7	18,9	9	1920
II	9,9	1,8	6,3	2,7	0	1440
III	18	8,1	12,6	13,5	2	1600
IV	0	11,7	19,8	5,4	3	2800
Цена	9,6	11,2	17,6	6,4	7,6

1. Определить  план выпуска продукции из  условия максимизации его стоимости.

2. Определите  статус, ценность каждого ресурса  и его приоритет при решении  задачи увеличения запаса ресурсов.

3. Определите  максимальный интервал изменения  запасов каждого из ресурсов, в пределах которого структура  оптимального плана, то есть  номенклатура выпускаемой продукции,  остается без изменения.

4. Производство какой продукции нерентабельно?

5. На сколько уменьшится стоимость выпускаемой продукции при принудительном выпуске единицы нерентабельной продукции?

6. На сколько можно снизить запас каждого из ресурсов, чтобы это не привело к уменьшению прибыли?

7. Определите  интервалы изменения цен на  каждую продукцию, при которых  сохраняется оптимальный план.

Решение:

Построим  математическую модель задачи.

 

 

Найдем  производственную программу максимизирующую прибыль:

à max

(1.1)

при ограничениях по ресурсам:

(1.2)

где по смыслу задачи: , , ,

Таким образом, получили задачу на нахождение условного экстремума. Для ее решения  введем дополнительные неотрицательные  неизвестные:

, ,	остаток ресурса определенного вида (неиспользуемое количество каждого  ресурса)

Тогда вместо системы неравенств (1.2), получим систему линейных алгебраических уравнений:

(1.3)

где среди  всех решений, удовлетворяющих условию  неотрицательности:

, , , , , ,

Найдем  решение с помощью Microsoft Excel, при котором функция (1.1) примет наибольшее значение.

 

	Коэффициенты распределения  ресурсов						Запасы ресурсов
	2,7	10,8	11,7	18,9	9		1920
A	9,9	1,8	6,3	2,7	0	B	1440
	18	8,1	12,6	13,5	2		1600
	0	11,7	19,8	5,4	3		2800
C	9,6	11,2	17,6	6,4	7,6
	Целевая функция					Значения переменных
F	2527,146667					x1=	0
Система ограничений						x2=	0
ресурс1	1920					x3=	117,3333
ресурс2	739,2					x4=	0
ресурс3	1600					x5=	60,8
ресурс4	2505,6

Посредством Microsoft Excel были созданы 3 отчета: отчет по результатам, отчет по пределам и отчет по устойчивости.

Отчет по результатам:

Ячейка целевой функции (Максимум)
	Ячейка	Имя	Исходное  значение	Окончательное значение
	$B$14	F Целевая функция	0	2527,146667
Ячейки переменных
	Ячейка	Имя	Исходное  значение	Окончательное значение	Целочисленное
	$H$14	x1=	0	0	Продолжить
	$H$15	x2=	0	0	Продолжить
	$H$16	x3=	0	117,3333333	Продолжить
	$H$17	x4=	0	0	Продолжить
	$H$18	x5=	0	60,8	Продолжить

Отчет по пределам:

		Целевая функция
	Ячейка	Имя	Значение
	$B$14	F Целевая функция	2527,1467
		Переменная			Нижний	Целевая функция		Верхний	Целевая функция
	Ячейка	Имя	Значение		Предел	Результат		Предел	Результат
	$H$14	x1=	0		0	2527,146667		2,53E-14	2527,146667
	$H$15	x2=	0		0	2527,146667		4,21E-14	2527,146667
	$H$16	x3=	117,33333		0	462,08		117,3333	2527,146667
	$H$17	x4=	0		0	2527,146667		2,41E-14	2527,146667
	$H$18	x5=	60,8		0	2065,066667		60,8	2527,146667

Отчет по устойчивости:

Ячейки переменных
			Окончательное	Приведенн.	Целевая функция	Допустимое	Допустимое
	Ячейка	Имя	Значение	Стоимость	Коэффициент	Увеличение	Уменьшение
	$H$14	x1=	0	-6,1128	9,6	6,1128	1E+30
	$H$15	x2=	0	-2,3204	11,2	2,3204	1E+30
	$H$16	x3=	117,3333333	0	17,6	30,28	3,513103448
	$H$17	x4=	0	-16,7396	6,4	16,7396	1E+30
	$H$18	x5=	60,8	0	7,6	3,11559633	4,806349206
Ограничения
			Окончательное	Тень	Ограничение	Допустимое	Допустимое
	Ячейка	Имя	Значение	Цена	Правая  сторона	Увеличение	Уменьшение
	$B$16	ресурс 1 Целевая функция	1920	0,672888889	1920	5280	434,2857143
	$B$17	ресурс 2 Целевая функция	739,2	0	1440	1E+30	700,8
	$B$18	ресурс 3 Целевая функция	1600	0,772	1600	185,1572327	1173,333333
	$B$19	ресурс 4 Целевая функция	2505,6	0	2800	1E+30	294,4

 

1)При условии максимизации прибыли план выпуска продукции составит по товару x3-117.34,  x5-60.8.  Производство товаров x1;x2;x4 будет экономически невыгодным.

Максимальная  прибыль при данном выпуске будет  равна 2527,15 (Значение целевой функции).

2)При этом ресурс1 и ресурс3 будут связывающими, а ресурс2 и ресурс4 не связывающими. Связывающие ресурсы будут являться дефицитными и в процессе производства потребляться полностью. При решении увеличения запаса ресурса, более выгодным будет являться ресурс3 ( т.к. тень цена ресурса составила 0,772)

3)Максимальные интервалы изменения запаса каждого из ресурсов, в пределах которых номенклатура выпускаемой продукции останется без изменения, составят:

 

 

ресурс 1	(1485,714;	7200)
ресурс 2	(739,2;	1E+30)
ресурс 3	(426,6667;	1785,157)
ресурс 4	(2505,6;	1E+30)

4)При этом, производство продукции x1;x2;x4 будет являться нерентабельным, т.к. при принудительном выпуске каждой единицы  данной продукции стоимость выпускаемой продукции будет уменьшаться.

5)Уменьшение  при выпуске продукции x1;x2;x4 составит: -6,1128;         -2,3204; -16,7396. Принудительный выпуск единицы продукции x3 и x5  не приведет к уменьшению ЦФ, эти виды продукции являются рентабельными.

6)Снижение запасов ресурса1 на 434,286 единиц, ресурса2 на 700,8 единиц, ресурса3 на 1173,34 единицы и ресурса4 на 294,4 единицы не приведет к уменьшению прибыли.

7)Интервалы цен на продукцию, при которых не изменится оптимальный план составят:

 

 

x1=	(-1E+30;	15,7128)
x2=	(-1E+30;	13,5204)
x3=	(14,0869;	47,88)
x4=	(-1E+30;	23,1396)
x5=	(2,793651;	10,7156)