Проникновение математики в экономическую науку

CОДЕРЖАНИЕ

Введение	3
Реальная постановка задачи	5
Математическая модель задачи	6
Определение опорного плана	9
Определение оптимального плана	11
Охрана труда	21
Список литературы	24
Приложение	25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Проникновение математики в экономическую науку связано с преодолением значительных трудностей. В этом отчасти была "повинна" математика, развивающаяся на протяжении нескольких веков в основном в связи с потребностями физики и техники. Но главные причины лежат все же в природе экономических процессов, в специфике экономической науки.

Большинство объектов, изучаемых  экономической наукой, может быть охарактеризовано кибернетическим  понятием сложная система.

Наиболее распространено понимание  системы как совокупности элементов, находящихся во взаимодействии и образующих некоторую целостность, единство. Важным качеством любой системы является эмерджентность - наличие таких свойств, которые не присущи ни одному из элементов, входящих в систему. Поэтому при изучении систем недостаточно пользоваться методом их расчленения на элементы с последующим изучением этих элементов в отдельности. Одна из трудностей экономических исследований - в том, что почти не существует экономических объектов, которые можно было бы рассматривать как отдельные (внесистемные) элементы.

Сложность системы определяется количеством входящих в нее элементов, связями между этими элементами, а также взаимоотношениями между  системой и средой. Экономика страны обладает всеми признаками очень  сложной системы. Она объединяет огромное число элементов, отличается многообразием внутренних связей и связей с другими системами (природная среда, экономика других стран и т.д.). В народном хозяйстве взаимодействуют природные, технологические, социальные процессы, объективные и субъективные факторы.

Сложность экономики  иногда рассматривалась как обоснование  невозможности ее моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка  зрения в принципе неверна. Моделировать можно объект любой природы и  любой сложности. И как раз  сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования.

Потенциальная возможность  математического моделирования  любых экономических объектов и  процессов не означает, разумеется, ее успешной осуществимости при данном уровне экономических и математических знаний, имеющейся конкретной информации и вычислительной технике. И хотя нельзя указать абсолютные границы математической формализуемости экономических проблем, всегда будут существовать еще неформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделирование недостаточно эффективно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.РЕАЛЬНАЯ  ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Фирма занимается производством 5 различных вариантов ковриков для манипуляторов (мыши). Для их производства используются 5 видов ресурсов: текстиль синтетический, резина, каучук, пробка, тифлон.

Норма затрат ресурсов на одно изделие данного вида, прибыль  от реализации одного изделия и общее  количество имеющихся ресурсов каждого вида представляется в таблице.  

                                                       Таблица 1

Ресурсы	Нормы затрат сырья на одно изделие					Общее кол-во ресурсов
	Арт1	Арт2	Арт3	Арт4	Арт5
Текстиль синтетический	10	12	11	5	7	990
Резина	6	8	2	3	4	620
Каучук	4	5	6	3	9	510
Пробка	1	2	5	4	3	390
Тифлон	12	6	5	1	2	900
Прибыль от реализации, р.	12	14	17	28	7

 

Теперь нужно определить, сколько ковриков для манипуляторов (мышь) и в каких артикулах необходимо изготавливать, чтобы прибыль от их реализации была максимальной.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.МАТЕМАТИЧЕСКАЯ  МОДЕЛЬ ЗАДАЧИ

При решении задачи симплексным  методом данный раздел должен включать в себя:

1. запись математической модели в форме стандартной задачи линейного программирования
2. переход к форме основной задачи линейного программирования
3. переход к расширенной задаче (метод искусственного базиса), если есть в этом необходимость
4. запись задачи в векторной форме

Для изготовления различных изделий  предприятие использует пять различных  видов сырья. Нормы расхода сырья на производство одного изделия каждого вида, цена одного изделия, а также общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано предприятием приведены в таблице.

                                                                                       Таблица 2 

Ресурсы	Нормы затрат сырья на одно изделие					Общее кол-во ресурсов
	Арт1	Арт2	Арт3	Арт4	Арт5
Текстиль синтетический	10	12	11	5	7	990
Резина	6	8	2	3	4	620
Каучук	4	5	6	3	9	510
Пробка	1	2	5	4	3	390
Тифлон	12	6	5	1	2	900
Прибыль от реализации, р.	12	14	17	28	7

 

Изделия могут производиться в  любых соотношениях (сбыт обеспечен), но производство ограничено выделенным предприятию сырьем каждого вида. Нужно составить план производства изделий, при котором общая стоимость  всей произведенной предприятием продукции  будет максимальной.

Составим математическую модель задачи. Обозначим через х1- Арт1,х2- Арт2, х3- Арт3, х4-Арт4, х5-Арт5.Поскольку имеются ограничения на выделенный предприятию фонд  сырья каждого вида, переменные x₁, x₂, x₃, x₄ и x₅ должны удовлетворять следующей системе неравенств.

 

       10x₁+12x₂+11x₃+5x₄+7x₅ 990

       6x₁+8x₂+2x₃+3x₄+4x₅ 720

       4x₁+5x₂+6x₃+3x₄+9x₅ 600                                                                           (1)

       1x₁+2x₂+5x₃+4x₄+3x₅ 500

       12x₁+6x₂+5x₃+ 1x₄+2x₅ 640

Общая прибыль произведенной предприятием продукции при условии выпуска x_1- Арт1,x₂- Арт2,x₃- Арт3,x₄- Арт4, x₅ – Арт5 составляет:

F=12+14+17+28+7=78 рублей                      (2)

По своему экономическому содержанию переменные x1, x2, x3, x4 и x5 могут принимать только неотрицательные значения:

x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ 0                                                         (3)

Таким образом, приходим к следующей математической задаче: среди всех неотрицательных решений  системы неравенств требуется найти  такое, при котором функция F принимает максимальное значение.

Запишем эту задачу в форме основной задачи линейного программирования. Для этого перейдем от ограничений- неравенств к ограничениям- равенствам. Введем пять дополнительных переменных, в результате чего ограничения запишутся в виде системы уравнений:

    10x₁+12x₂+11x₃+5x₄+7x₅+x₆ 990

    6x₁+8x₂+2x₃+3x₄+4x₅+x₇ 720

    4x₁+5x₂+6x₃+3x₄+9x₅+x₈ 600                                                                        (4)

    1x₁+2x₂+5x₃+4x₄+3x₅+x₉ 500

    12x₁+6x₂+5x₃+ 1x₄+2x₅+x₁₀ 640

Эти дополнительные переменные по экономическому смыслу означают не используемое при данном плане производства количество сырья того или иного  вида, например, x₆- неиспользуемое количество сырья 1-ого вида.

Преобразованную систему уравнений  запишем в векторной форме:

x₁P₁+ x₂P₂+ x₃P₃+ x₄P₄+ x₅P₅+ x₆P₆+ x₇P₇+ x₈P₈+ x₉P₉+ x₁₀P₁₀=P₀,

где:

 P₁=

; P₂= ; P₃= ; P₄= ; P₅= ; P₆= ; P₇= ; P₈= ; P₉= ; P₁₀= ; P₀= .                           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПОРНОГО  ПЛАНА

При решении задачи симплексным методом опорный план можно непосредственно записать, пользуясь векторной формой записи задачи. Система единичных векторов образует базис. В опорном плане базисные переменные равны нулю, а остальные равны соответствующим свободным членам b _j системы уравнений.

В примере первоначальный опорный план равен 

x₀ = (0,0,0,0,0,990,620,510,390,900).

Составим первую симплексную  таблицу.

В примере  эта таблица  имеет вид:

                                                                Таблица 3

I		БАЗИС		Cб		P0		12		14		17		28		7		0		0		0		0		0
												P1		P2		P3		P4		P5		P6		P7		P8		P9		P10
1		P6 0        990			10	12		11		5		7		1		0		0		0		0
2		P7		0		620		6		8		2		3		4		0		1		0		0		0
3		P8		0		510		4		5		6		3		9		0		0		1		0		0
4		P9		0		390		1		2		5		4		3		0		0		0		1		0
5		P10		0		900		12		6		5		1		2		0		0		0		0		1
6						F0=0		-12		-14		-17		-28		-7		0		0		0		0		0

 Исходя из таблицы  делаем вывод, является ли найденный  опорный план оптимальным.