Прийняття рішень в умовах невизначеності та ризику

Корисність U- це числова  величина, яка виражає ступінь  задоволення суб’єкта від споживання об’єктом деякого товару, послуги  або виконання деякої дії.

Корисність дозволяє порівняти  за цінністю для суб’єкта різні  елементи споживання та впорядкувати їх. Якщо позначити через А, В –  об’єкти порівняння, тоді:

1. - відношення строгої переваги (А краще (більш пріоритетне) за В);

2. - відношення нестрогої переваги (А не гірше (не менш пріоритетне) за В);

3. А ≤ В - відношення байдужості (А і В рівноцінні).

Співвідношення між об’єктами  називається досконалим, якщо для  будь-яких елементів А і В можна  завжди сказати  або , тобто немає елементів вибору, які не можна порівняти.

Аксіоми раціональної поведінки: Аксіома 1: відношення нестрогої пріоритетності є досконалим.

Наслідок: відношення нестрогої  пріоритетності – транзитивне.

Нехай X – множина всіх об’єктів, що розглядаються, тоді

1. Якщо ;
2. Якщо і ;

Відношення байдужості ділить множину Х на класи еквівалентності:

- клас еквівалентності до  х. Якщо  то

Аксіома 2: відношення нестрогої  пріоритетності неперервне по відношенню до х.

- множина елементів не менш  пріоритетних за х;

- множина елементів не більш  пріоритетних за х;

Неперервність відношення означає, що множини  і - замкнені, тобто містять всі свої граничні точки: , де - множна граничних точок на і .

Аксіома 3:  існує функція  корисності , яка кожному н менш пріоритетному об’єкту ставить у відповідність не менше за дане значення функції корисності.

Головна формула очікуваної корисності має вигляд:

;

Отже, очікувана корисність набору результатів дорівнює математичному  сподіванню корисностей цих результатів.

Лотерея - це гра, в якій гравець може одержати виграш з ймовірністю р і у з ймовірністю q=1-р, де .

Корисність проміжного варіанту визначається ймовірністю , при якій гравцю байдуже гарантовано отримати суму або грати в лотерею .

 

1.3. Локальні пріоритети (ЛП).

 

Після побудови ієрархії та визначення МПП слідує етап, на якому  ієрархічна декомпозиція та відносні судження об'єднуються для отримання  осмисленого рішення задачі прийняття  рішень.

Пошук наближених ЛП. З груп попарних порівнянь формується набір локальних критеріїв, які виражають відносний вплив елементів на елемент, розташований на вищому рівні.

Для визначення відносної  цінності кожного елемента необхідно  знайти геометричне середнє. З цією метою треба перемножити n елементів кожного рядка, а потім з отриманого результату витягти коріння n-го степеня. Отримані числа необхідно нормалізувати.

Нехай - елементи порівняння в ММП А.

Вектор ЛП – це вектор , елементи якого вказують на відносну важливість або відносну вагу кожного елемента порівняння в досягненні відповідного критерію вищого рівня. Його можна знайти за допомогою головного власного вектора матриці А - , а вектор ЛП – це результат нормування вектора максимального власного значення .

Середнє геометричне значення по кожному рядку матриці попарних порівнянь - це наближене значення головного  власного вектора. Позначимо його через  .

                                                                 ( 1 )

Наприклад, для даних МПП  першого рівня, яка визначає  для кого з акторів якісні показники більш значимі маємо: вимірність матриці n =4. Знаходимо добуток елементів, що знаходяться в кожному рядку (додаток 1. Наближені і точні пріоритети 1-го рівня):

1- ий рядок:  ;

2- ий рядок:  ;

3- ий рядок:  ;

4- ий рядок:  .

Для знаходження значень  в електронній таблиці Excel можна використати вбудовану функцію =СРГЕОМ().

Отже в результаті ми отримали головний власний вектор . Після проведення нормалізації отримаємо наближений вектор пріоритетів , де .

;

;

;

.

Тобто наближений вектор пріоритетів  .

Аналогічно знаходимо  наближені вектори пріоритетів  МПП для всіх інших рівнів: для о-го рівня див. додаток 2, для 1-го рівня – додаток 1, для 2-го рівня – додаток 3, для 3-го рівня – додаток 4, для 4-го рівня – додаток 5.

Узгодженість  матриці. Будь-яка МПП в загальному випадку неузгоджена, так як порівняння відображають суб'єктивні думки ОПР, а порівняння елементів, які мають кількісні еквіваленти, може бути неузгодженим із-за наявності похибки при проведенні обчислень. Повної узгодженості попарних порівнянь навіть в ідеальному випадку на практиці досягти важко. Потрібен якісний спосіб оцінки ступеня узгодженості при вирішенні конкретної задачі.

Метод аналізу ієрархій дає  можливість провести таку оцінку.

Разом з матрицею попарних порівнянь ми маємо міру оцінки ступеня  відхилення від узгодженості. Коли такі відхилення перевищують встановлені  межі тим, хто приймає рішення  задачі, необхідно їх переглянути.

З цією метою необхідно  визначити індекс узгодженості та відношення узгодженості.

Для цього спочатку знайдемо суму для кожного j-го стовпця МПП . Потім - максимальне власне число матриці за формулою:

                                                                  ( 2 )

В цій формулі  - допоміжні значення, введені для зручності обчислень.

 відображає пропорційність  пріоритетів і чим ближче  до кількості елементів МПП (n), тим більш узгодженими є  ці елементи.

Відхилення від узгодженості виражається індексом узгодженості (ІУ):

 ІУ=max(0;( )).                                                                ( 3 )

Для визначення того, наскільки  точно індекс узгодженості  відображає узгодженість, його необхідно порівняти  з випадковим індексом (ВІ) узгодженості. Випадковий індекс узгодженості – це усереднений ІУ по 100 обернено симетричних додатних матрицях , згенерованих випадковим чином з рівномірним розподілом.

У таблиці 4 (див. додаток 6) наведені табличні значення індексу випадкової узгодженості для матриць різного порядку.

Відношення індексу узгодженості до середнього значення ВІ називається відношенням узгодженості ВУ.

                                                               ( 4 )

 На основі ВУ можемо зробити висновок про узгодженість матриці:

1) Якщо ВУ 0,1 – то ступінь узгодженості матриці вважають достатнім;

2) Якщо ВУ (0,1;0,2] – то матриця слабо узгоджена;

3) Якщо ВУ>0,2 – то матрицю  вважають неузгодженою.

 У випадках 2 і 3  експерту радять переглянути  свої висновки на основі більш  глибокого аналізу проблеми. При  такому аналізі виявляються елементи  матриці, які вносять найбільшу  неузгодженість і здійснюється  їх заміна.

Перевіримо узгодженість МПП, що розглядалася вище. Для цього  спочатку знайдемо:

;

;

;

.

Тепер знайдемо допоміжні  значення за формулою 2:

Отже, максимальне власне значення для даної МПП  .

Тепер знайдемо ІУ за формулою 3:

ІУ=max(0;( ))=max(0; 0.045)=0.045;

Порівняємо його з величиною  випадкового індексу узгодженості, що для  n=4 становить ВІ=0,9. Тепер можемо знайти ВУ за формулою 4:

ВУ= 0.045 /max(0.01; 0.9) = 0.05.

Оскільки 0.05 < 0.1 – то ступінь  узгодженості матриці вважаємо достатнім, тобто дані в МПП узгоджені.

Аналогічно перевіряється  узгодженість даних МПП 0-го (див.    додаток 2), 1-го (див. додаток 1), 2-го (див. додаток 3), 3-го (див. додаток 4) і 4-го (див. додаток 5) рівнів. 

Пошук точних ЛП. Існує два методи для знаходження точних локальних пріоритетів:

Метод 1 (за означенням) – безпосереднє розкладання визначника характеристичної матриці.

Беремо початкове значення , рівне кількості елементів, тобто рівне розмірності матриці: . Для описаної вище матриці .

Знаходимо характеристичну  матрицю  та обчислюємо її визначник . При цьому можливі два випадки:

1. - точне значення, а отже матриця попарних порівнянь повністю узгоджена;
2. – не власне число характеристичної матриці, тому необхідно його уточнити.

Уточнити  можна за допомогою ПОИСК РЕШЕНИЯ, ставлячи за мету отримати визначник матриці рівний нулю і змінюючи значення .

 

    

Далі розв’язуємо ОСЛАР  , де - головний власний вектор.

Оскільки, якщо , то оберненої матриці не існує, рядки матриці лінійно залежні, тому можемо викреслити з розгляду останній рядок. Отримаємо матрицю А¢¢

Як бачимо, система стала  прямокутною. Для її розв’язання  знайдемо базисну матрицю В, яка отримується з матриці А¢¢ викресленням останнього стовпця:

– небазисна змінна (параметр), тоді

.

Візьмемо довільне значення параметра, відмінне від 0. Як правило, беруть =1. Тоді матимемо:

- точний головний власний  вектор.

Знайдемо точний вектор пріоритетів  за формулою:

.

Отже, найважливішими якісні показники будуть для технічного директора (49%), на другому місці –головний  механік (31%), на третьому – керівник підприємства (14%) і на останньому місці  – робітники (6%). Ці результати майже  співпадають з результатами, отриманими при пошуку наближеного вектора  ЛП. Різниця лише в точності знаходження  компонент вектора. Переконаємося  в цьому:

- точний вектор ЛП

- наближений вектор ЛП

Знайдемо абсолютну похибку:

.

Знаходження точних векторів ЛП  даним способом та похибки  для  інших МПП показано в додатках 1, 2, 3, 4, 5: для о-го рівня див. додаток 2, для 1-го рівня – додаток 1, для 2-го рівня – додаток 3, для 3-го рівня – додаток 4, для 4-го рівня – додаток 5.

Метод 2 (чисельний метод) – піднесення матриці до великого степеню, причому точність результату можна наперед задати.

Візьмемо достатньо велике число  . Розглянемо застосування цього методу для знаходження точних локальних пріоритетів на прикладі матриці найбільшої розмірності, тобто розмірності 7 (див. додаток 7):

Таблиця 2. Якість очищення

Знайдемо  :

Знайдемо тепер  :

;

;

;

;

;

;

.

Головний власний вектор буде рівним:

Отже тепер можемо знайти вектор локальних пріоритетів:

.

Знайдемо  , для цього зробимо наступне:

 

Похибка між наближеним вектором локальних пріоритетів і точним ВЛП, знайденим чисельним методом:

Тобто похибка практично  відсутня, крім того можемо зробити  висновок, що найкраща якість очистки  – 80%.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4. Глобальні пріоритети.

 

Для визначення глобальних пріоритетів використовується синтез локальних пріоритетів, який відбувається з нижнього рівня до верхнього.

Визначення глобальних пріоритетів  являється найбільш важливим етапом, так як, якщо оцінка локальних пріоритетів  часто можлива без спеціальних  математичних процедур, то на етапі  узагальнення пріоритетів очевидність  локальних пріоритетів може бути оманливою, тут без спеціальних  процедур правильні (адекватні) висновки неможливі. В кінцевому результаті, альтернатива, що відповідає критерію з найбільшою пріоритетністю, не завжди виявляється найкращою з точки  зору глобального пріоритету.

Основна мета методу аналізу  ієрархій – визначити пріоритетність альтернатив по відношенню до основної мети ієрархії. Ці пріоритети і утворюють  вектор глобальних пріоритетів (ВГП). Позначається ВГП  - кількість альтернатив. Результатом синтезу всіх рівнів ієрархії і буде ВГП.