Предмет финансовой математики

Для краткосрочного прогнозирования таких процессов можно использовать адаптивные модели с сезонной компонентой, например модель Хольта-Уинтерса.

 Построение  модели Хольта-Уинтерса

Рассмотрим данный метод на примере роста стоимости акции. Временной ряд, характеризующий стоимость акции за 16 кварталов (4 года), приведен в табл. 1. Нас интересуют прогнозные значения цен на эти акции в 1-1У кварталах пятого года.

 

Таблица  1 - Цена акции за 16 кварталов (4 года)

t	1	2	3	4	5	6	7	8
Y(t)	304	320	334	347	323	342	365	375
t	9	10	11	12	13	14	15	16
Y(t)	342	365	378	399	363	388	419	418

 

Будем считать, что зависимость между компонентами тренд - сезонный временный ряд мультипликативная. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

Yp(t+k)=[a(t)+kxb(t)]xF(t+k-L),                                                 (5.1)

где k — период упреждения;

Yp(t) — расчетное значение экономического показателя для 2-го периода;

a(t), b(t), F(t) - коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером  t-1 к t;

F(t+k-L) - значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

L - период сезонности (для квартальных данных L=4, для месячных -L=12).

Таким образом, если по формуле рассчитывается значение экономического показателя, например за второй квартал, то F(t+k-L) как раз будет коэффициентом сезонности второго квартала предыдущего года.

Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени I) коэффициентов модели производится с помощью формул:

a(t)= 1 x Y(t)/F(t-L)+(1- 1)x[a(t-1)+b(t-1)];                                       (5.2)

b(t)= 3 x [a(t)-a(t-1)]+(1- 3)xb(t-1);                                                     (5.3)

F(t)= 2 x Y(t)/a(t)+(1- 2)xF(t-L).                                                           (5.4)

Параметры сглаживания 1, 2 и 3 подбирают путем перебора с таким расчетом, чтобы расчетные данные наилучшим образом соответствовали фактическим (т.е. чтобы обеспечить удовлетворительную адекватность и точность модели).

Из формул 5.1-5.4 видно, что для расчета а(1) и b(1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего период времени (т.е. для t=1-1=0). Значения а(0) и b(0) имеют смысл этих же коэффициентов для четвертого квартала года, предшествующего коэффициентов для четвертого квартала года, предшествующего первому году, для которого имеются данные в табл. 1.

Для оценки начальных значений (0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Уt из табл. 1. Линейная модель имеет вид:

Yp(t)=a(0)+b(0)xt                                           (5.5)

Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения а(0) и b(0) по формулам 5.6-5.9:

                                    (5.6)

                                                  (5.7)

                                                          (5.8)

                                                               (5.9)

 

Применяя линейную модель к первым 8 значениям ряда из таблицы 1 (т.е. к данным за первые 2 года), находим значения а(0) = 300,05; b(0) = 8,60.

Уравнение (5.5) с учетом полученных коэффициентов имеет вид: Ур(t) = 300,05 + 8,60 х t. Из этого уравнения находим расчетные значения Ур(t) и сопоставляем их с фактическими значениями (табл. 2). Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в табл. 1. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(З), F(4) и других

 параметров модели Хольта-Уинтерса по формулам 5.1-5.4.

Таблица  2

Сопоставление фактических данных Y(t) и рассчитанных

по линейной модели значений Yp(t)

t	1	2	3	4	5	6	7	8
Y(t) Yp(t)	304 308,65	320 317,25	334 325,85	347 334,45	323 343,05	342 351,65	365 360,25	375 368,85

 

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) I квартала первого года, равное Y(1)/Yp(1), и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) У(5)/Ур(5). Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.

F(-3)=[У(1)/Уp(1)+У(5)/Уp(5)]/2=[304/308,67+323/343,057/2= =[0,9849+0,9416]/2=0,9633.

Аналогично находим оценки коэффициента сезонности для II, III и IV кварталов:

F(-2)=[У(2)/УP(2)+ У(6)/Уp(6)]/2=0,9907;

F(-1)=[У(3)/УР(3)+ У(7)/Ур(7)]/2=1,0191;

F(0)=[ У(4)/Ур(4)+ У(8)/УР(8)]/2=1,0271.

Оценив значения а(0), b(0), а также F(-3), F(-3), F(-3) и F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса с помощью формул 5.1-5.4.

Путем перебора возможных значений параметров сглаживания было установлено, что лучшими являются a1= 0,3; a2 = 0,6; a3 = 0,3.

Рассчитаем значения Ур(t), а(t), b(t) и F(t) для t=1.

Из уравнения 3.1, полагая, что t=0, k=1, находим Ур(1):

Ур(0+1)=Ур(1)=[а(0)+1хb(0)]хF(0+1-4)=[а(0)+1хb(0)]хF(-3)= =[300,05+1х8,60]хО,9633=297,32.

Из уравнений 5.2-5.4, полагая что t=1, находим:

а(1)=a1хУ(1)/F(-3)+(1-а1)х[а(0)+b(0)]=0,Зх304/0,9633+ +(1-0,3)х[300,05+8,60]=310,73;

b(1)=а3х[а(1)-а(0)]+(1-а3)хb(0)=0,Зх[310,73-300,05]+(1-0,3)х х8,60=9,22;

F(1)=а2хY(1)/а(1)+(1-а2)хF(-3)=0,6х304/310,73+(1-0,6)хО,9633= - 0,9723.

Аналогично рассчитаем значения Ур(t), a(t),  b(t) и F(t) для t=2:

Ур(2)=[а(1)+1хb(1)]хFo(-2)=[310,73+1х9,22]х0,9907=316,97;

а(2)=а1х(2)/F(-2)+(1-а1)х[а(1)+b(1)]=0,Зх320/0,9907+0,7х х[310,73+9,22]=320,87;

b(2)=а3х[а(2)-а(1)]+(1-а3)хb(1)=0,Зх[320,87-310,73]+0,7х9,22= = 9,50;

F(2)=а2хУ(2)/а(2)+(1-а2)хFo(-2)=0,6х320/320,87+0,4х0,9907= =0,9947;

для  t=3:

Уp(3)=[а(2)+1хb(2)]хFo(-1)=[320,87+1х9,50]х1,0191-336,68;

а(3)=а1хУ(3)/F(-1)+(1-а1)х[а(2)+b(2)]=0,Зх334/1,0191+0,7х х[320,87+9,50]=329,58;

b(3)=а3х[а(3)-а(2)]+(1-а3)хb(2)=0,3x[329,58-320,87]+0,7х 9,50=9,26;

F(3)=а2хУ(3)/а(3)+(1-а2)хF(-1)=0,6х334/329,58+(1-0,6)х

x1,0191=1,0157;

для t=4;

Ур(4)=[а(3)+1хb(3)]хF(0)=[329,58+1х9,26]х1,0271=348,02;

а(4)=а1хY(4)/F(0)+(1-а1)х[a(3)+b(3)]=0,Зх347/1,0271+0,7х х[329,58+9,26]=338,54;

b(4)=а3х[а(4)-а(3)]+(1-а3)хb(3)=0,Зх[338,54-329,58]+0,7х

х9,26=9,17;

F(4)=а2хY(4)/а(4)+(1-а2)хF(0)=0,6х347/338,54+0,4x1,0271=1,0258;

для t=5

Ур(5)=[а(4)+1хb(4)]хF(1)=[338,54+1х9,17]х0,9723=338,08.

Обратим внимание на то, что здесь и в дальнейшем используются коэффициенты сезонности F(t-L), уточненные в предыдущем году (t=4):

a(5)=а1хY(5)/F(1)+(1-а1)х[а(4)+b(4)]=0,Зх323/0,9723+(1-0,3)х х[338,54+9,17 ]=343,06;

b(5)=а3х[а(5)-а(4)]+(1-аЗ)хb(4)=0,Зх[343,06-338,54]+(1-0,3)х

х9,17=7,77;

F(5)=a2хY(5)/а(5)+(1-а2)хF(1)=0,6х323/343,06+(1-0,6)х0,9723=0,9538.

Продолжая аналогично для t=6,7,8,..., 16, строят модель Хольта-Уинтерса (табл. 3). Максимальное значение 2, для которого можно находить коэффициенты модели, равно количеству имеющихся данных по экономическому показателю Y(t). В нашем примере данные приведены за 4 года, то есть за 16 кварталов. Максимальное значение равно 16. Ошибкой является попытка рассчитать или использовать коэффициенты а(1), b(1) для  t > 16.

Таблица 3

Модель Хольта-Уинтерса

t	Y(t)	a(t)	b(t)	F(t)	Yp(t)	Абс.погр., E(t)	Отн.погр., в %
1	2	3	4	5	6	7	8
0		300,05	8,60	0,9633
1	304,0	310,73	9,22	0,9723	297,32	6,68	2,20
2	320,0	320,87	9,50	0,9946	316,96	3,04	0,95
3	334,0	329,58	9,26	1,0157	336,68	-2,68	0,80
4	347,0	338,54	9,17	1 ,0258	348,02	-1,02	0,29
5	323,0	343,06	7,77	0,9538	338,08	-15,08	4,67
6	342,0	348,74	7,14	0,9862	348,94	-6,94	2,03
7	365,0	356,92	7,45	1,0199	361,47	3,53	0,97
8	375,0	364,73	7,56	1 ,0272	373,77	1,23	0,33
9	342,0	368,17	6,32	0,9389	355,09	-13,09	3,83
10	365,0	373,18	5,93	0,9813	369,32	-4,32	1,18
11	378,0	376,56	5,17	1,0103	386,65	-8,65	2,29
12	399,0	383,74	5,77	1,0347	392,11	6,89	1,73
13	363,0	388,64	5,51	0,9360	365,71	-2,71	0,75
14	388,0	394,52	5,62	0,9826	386,78	1,22	0,31
15	419,0	404,52	6,93	1,0256	404,26	14,74	3,52
16	418,0	409,21	6,26	1,0268	425,73	-7,73	1,85

 

 Проверка  качества модели

Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда Е(t) (разности Y(t)-Ур(t) между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 4.

 

Таблица   4

 

Промежуточные расчеты для оценки  адекватности модели

Квартал, t	Отклон., E(t)	Tочки поворота	E(t)2	[E(t)-E(t-1)]2	E(t)xE(t-1)]
1	2	3	4	5	6
1	6,68	хххх	44,62	-	-
2	3,04	0	9,24	13,25	20,31
3	-2,68	1	7,18	32,72	-8,15
4	-1,02	1	1,04	2,76	2,73
5	-15,08	1	227,41	197,68	15,38
6	-6,94	0	48,16	66,26	104,66
7	3,53	1	12,46	109,62	-24,5
8	1,23	0	1,51	5,29	4,34
9	-13,09	1	171,35	205,06	-16,1
10	-4,32	1	18,66	76,91	56,55
11	-8,65	1	74,82	18,75	37,37
12	6,89	1	47,47	241,49	-59,6
13	-2,71	1	7,34	92,16	-18,67
14	1,22	0	1,49	15,44	-3,31
15	14,74	1	217,27	182,79	17,98
16	-7,73	хххх	59,75	504,9	-113,94
Сумма	-24,89	10	949,77	1765,08	15,05