Построение математической модели сгорания топлива в цилиндре

Максимальное  давление  сгорания  достигается  в  точке  m после ВМТ поршня  и является  функцией  процесса  сгорания. Завершается процесс сгорания  в начале  процесса  расширения  в точке у. Предложенная  схематизация  соответствует  идеальному термодинамическому циклу  со  смешанным подводом тепла,  однако  в  предложенном  методе,  в  отличие  от  идеального  цикла, учитывается  изменение  массы  рабочего  тела  вследствие  сгорания  топлива,  изменение  его  термодинамических  параметров  в зависимости  от температуры и состава, теплообмен  со стенками цилиндра.

В  начале  процесса  сгорания  (точка  с)  известны  давление, температура, масса и  объем  pабочего  тела,  соответственно  -  р_с, Т_c М_с  и V_c. Напомним, что при отсутствии утечек рабочего тела в процессе  сжатия М_с = М_а.   Задачей расчета процесса  сгорания является  определение этих  же  параметров  в точках  z '  и z  . Промежуточные состояния рабочего  тела  в рассматриваемом методе не рассчитываются.

В точке z’ известен только объем, так как V_z  — V_c. В точке z при допущении о завершении химических реакций окисления топлива может быть  определена  масса  рабочего  тела М_z= М_с+∆ M , где ∆M, кмоль - приращение массы рабочего тела вследствие сгорания топлива. В данной постановке задача  не  разрешима из-за  слишком большого  числа неизвестных параметров.  В.И.  Гриневецкий предложил считать известной величину  максимального давления  сгорания,  принимая  его при проектировании  нового  двигателя на  основании данных  двигателя -  прототипа.  Это позволяет определить  координаты  точки z   на p -V   диаграмме и уменьшить число неизвестных термодинамических параметров в точке z  до двух -  Т_z   и V_z.

Процесс сгорания рассчитывается исходя из  1  кг сжигаемого  топлива,  массы  компонентов  рабочего  тела  выражены  в  киломолях.  Температура  рабочего  тела  в  точке  z  определяется  из уравнения первого закона  термодинамики,  которое применительно к процессу  сгорания  может быть  выражено  в конечных разностях в виде

где  ∆U_cz=U_z-U_c   -  приращение  внутренней  энергии рабочего тела на участке сгорания ∆L_z’zвнешняя работа,  совершаемая  рабочим  телом  на  изобарном  участке  процесса  сгорания;

∆Q  -  количество теплоты, расходуемое при  сгорании  1  кг топлива  на  повышение  внутренней  энергии  рабочего  тела  и  совершение механической работы на участке  с - z’-z .

При  полном  сгорании  1  кг  топлива  выделится  количество тепла,  равное  Q_H.   В pассматриваемом  методе  расчета  сгорания принимается,  что  ∆Q_CZ  = Q_H-  Q_hc  -  Q_охл ,  где Q_hc-   тепло,  не выделившееся  в точке z вследствие того,  что не  все топливо успело сгореть к этому моменту;  Q_охл  -  тепло, отведенное от рабочего  тела  в стенки  камеры  сгорания  на  участке сгорания c-z. Отношение ∆Q_cz к Q_H  называют коэффициентом использования тепла в точке z.

Физический смысл этого коэффициента заключается  в том, что  его  величина  (всегда <1)  отражает  потери  тепла  вследствие неполноты  сгорания топлива и теплообмена. Согласно опытным данным  его  значения  для  малооборотных  и  среднеоборотных дизелей составляют 0,75-0,9; для высокооборотных -  0,7-0,85.С  учетом  отмеченного  выше  ∆Q_CZ= Ę_ZQ_H.   Дальнейшиепреобразования  уравнения сводятся  к подстановке в него развернутых выражений для внутренней  энергии и работы  применительно к начальной и конечной  точкам  процесса  (с и z). Выражения для расчета внутренних  энергий приведены в таблице  1.

Формула   может  быть  записана  в  виде Ę_zQ_h=U_z-U_c+p_zV_z-p_zV_c . После подстановки в нее формул для внутренних  энергий и масс рабочего  тела в начальной и конечной  точках  процесса  сгорания  и несложных алгебраических  преобразований  получим уравнение  сгорания  топлива  в окончательном виде

Где λ=p_z/p_c

В  результате  подстановки  в  левую  часть  уравнения уже  известных  из  расчетов  процессов  наполнения  и  сжатия  и принятых из рекомендованных пределов значений параметров, в каждом  конкретном  случае  расчета  будет  получено  некоторое числовое  значение  С.  В  правой  части  уравнения  теплоемкость смеси  газов является функцией  искомой  температуры  T_z, поэтому в итоге уравнение сгорания  приводится  к виду AT_Z²  + BT_Z — С = 0,  где А,  В и С - числа.  Уравнение можно привести к виду и  решать  его методом  последовательных  приближений,  задавая в  качестве  первого  приближения  значение  температуры  в  знаменателе формулы из диапазона  1700-1900 К.

Из формулы  очевидно, что  с увеличением  λ, Ę_z,Т_с  и уменьшением а   температура в конце сгорания увеличивается и наоборот. В зависимости от значений этих величин для судовых дизелей характерен диапазон  Tz   = 1700 -1900 К. Как уже отмечалось ранее, значение максимального давления  сгорания должно быть принято по данным двигателя-прототипа.

Для  определения  объема  в  точке  z  запишем  уравнения  состояния рабочего для начальной  и конечной точек процесса сгорания  p_zV_z = RM_zT_z   и p_cV_c = RM_cT_c. Разделив  почленно первое на второе, получим

Определив  из  этого уравнения  значение  степени предварительного  расширения  рабочего  тела ρ,  получим искомое значение  V_z =  V_cρ. Таким образом, все термодинамические параметры состояния рабочего тела в точке z определены.

3. Математическая  модель сгорания топлива в  цилиндре дизеля

Первое  слагаемое  в  правой  части  уравнения  Q_H=(dg_x/dφ)  представляет  собой скорость  выделения тепла при сгорании  топлива,  кДж/(°п.к.в.)  В свою  очередь,  dg_x/dφ  называют  скоростью  сгорания  топлива,  кг/(°п.к.в.).  Текущую  массу сгоревшего  топлива g_x  можно представить как g_x = g_цx,  где g_ц - цикловая  подача  топлива,  кг/цикл;  х =  g_x/g_ц   -   относительное

количество  сгоревшего  топлива.  Очевидно,  что х изменяется  от нуля в начале процесса сгорания до  1  в его конце  (полагаем, что топливо  сгорает  полностью).  Первая  производная  от  х  по  углу поворота коленчатого вала dx/dφ называется относительной скоростью  сгорания топлива и имеет размерность  1/(°п.к.в.).

Зависимости  dx/dφ = f_i(φ)  и х=f₂(φ) часто называют законом сгорания топлива, записанным в дифференциальной и интегральной формах  соответственно. Сгорание  топлива в значительной мере зависит от «закона»  его подачи  в цилиндр g_т=f(φ), где g_т -  масса впрыснутого в цилиндр топлива. По аналогии со сгоранием топлива введем понятие  дифференциальной  и  интегральной характеристик впрыска топлива      dơ/dφ = f₃(φ)  и ơ = f₄(φ).

Здесь ơ = g_т/g_ц -  относительная масса впрыснутого топлива. Характеристики впрыска определяются, главным образом,  формой кривой  давления  топлива перед распылителем форсунки. Протекание  процессов впрыска и сгорания  топлива существенно зависят от закона подачи топлива.

В настоящее  время используется широкая гамма математических моделей  процесса  сгорания.  В  простейших  из  них  переход  от характеристики  впрыска  к  характеристике  сгорания  осуществляется  непосредственно,  минуя  промежуточные  стадии физико-химических  превращений.  В  самых  сложных  в  той  или иной  мере  используются  общие  законы  тепло-  и  массообмена, диффузии,  химической  кинетики.  Разработаны  многомерные модели  нестационарной  топливной  струи  с  учетом  теории  турбулентного горения и термодинамики многокомпонентных сред.

Однако  ввиду  чрезвычайной  сложности  применения  физико-химических  законов  к  процессам  смесеобразования  и  сгорания  в условиях дизеля  эти методы также включают ряд  коэффициентов,  подлежащих  определению  экспериментальным  путем. Разработаны  и  модели  среднего  уровня  сложности,  доведенные до  рабочих  программ  ЭВМ,  например  метод,  разработанный Н.Ф. Разлейцевым для  моделирования и оптимизации  процесса сгорания в тепловозных  дизелях.

В  инженерной  и  исследовательской  практике  чаще  всего используются наиболее простые модели сгорания, позволяющие экономить время  счета ЭВМ. Хорошее  соответствие  опытных  и расчетных  данных  достигается  путем  выбора коэффициентов в уравнениях,  описывающих характеристики  сгорания.  Большое распространение получила формула И.И. Вибе, которая имеет вид

где  φz -  условная продолжительность  сгорания топлива; m - показатель характера процесса сгорания.

Используются также формулы  других авторов, именуемые «эмпирическими».  Большим недостатком этих формул является то,  что они не  учитывают характеристику  впрыска топлива. Кроме того,  эмпирические  формулы носят частный характер  и не  могут применяться при моделировании рабочих процессов дизелей других типов без предварительных исследований.

При моделировании  рабочих  процессов  судовых  средне-  и малооборотных  дизелей используется метод расчета характеристик сгорания,  разработанный автором в середине  70-х годов.  По  уровню  сложности алгоритма метод близок  к  эмпирическим формулам,  в то же время он более физично описывает основные закономерности сгорания в дизеле.

В  этом методе между  ơ  и х  введена промежуточная  функция w =f₅(φ), отражающая динамику подготовки  топлива к сгоранию. Параметр w= g_w/g_ц  представляет собой текущее относительное количество подготовленного к сгоранию топлива. Полагаем,  что подготовленное  к сгоранию  топливо связывает воздух в  объеме  факела  стехиометрическим  соотношением.  Положив также,  что  скорость  протекания  физических  процессов  пропорциональна  общей  текущей  поверхности  капель  распыленного топлива,  запишем  уравнение  для  относительной  скорости  подготовки топлива к сгоранию в следующем виде:

Где величина,  пропорциональная  суммарной поверхности капель  топлива в камере  сгорания;  у = f₆(φ)-корректирующая функция.

В  уравнении  использованы  также  следующие  обозначения:  х-эмпирический показатель, учитывающий  степень неравномерности  распыливания топлива;  при  абсолютно равномерном  распыливании  (все  капли  имеют  одинаковый  диаметр) X = 2/3, при неравномерном  распыливании  х  = 0.8-1,0.

На  основе  анализа  экспериментальных  характеристик  сгорания в дизелях  различных типов при их работе в широком диапазоне  нагрузочных  и  скоростных  режимов  получена  следующая  эмпирическая  формула  для  описания  корректирующей функции  в уравнении:

структурно формула состоит из трех комплексов. Первый из них

отражает  влияние  параметров рабочего  тела  в  цилиндре  на  скорость взаимодиффузии паров  топлива и  воздуха  в камере  сгорания. По ходу процесса  этот комплекс численно возрастает. Второй комплекс выражается зависимостью

и  отражает  снижение  скорости  подготовки  топлива  к  сгоранию по мере роста  концентрации  подготовленного  топлива и  снижение  массы  «чистого»  воздуха  в  среднем  по  объему  камеры  сгорания.

В  связи  с  тем,  что  в  смесеобразовании  участвует  не  весь воздушный  заряд,  а  только  часть  его,  необходимо  учесть  динамику  развития  топливных  факелов.  С  этой  целью  использована экспоненциальная зависимость

представляющая  собой  третий комплекс.  Здесь  φ_нпф  -  угол начала  подачи  топлива форсункой;  φ_ф   -   условная  продолжительность развития топливных факелов в камере сгорания. Величина φ_ф  определяет темп  возрастания и положение максимума скорости  сгорания.  При  больших  φ_ф   скорость  сгорания  растет  медленнее,  а ее  максимум  смещается к окончанию впрыска и наоборот.

Формула  также  содержит  коэффициент  пропорциональности В,  который  учитывает  физические  свойства  топлива, газодинамические  условия  в  камере  сгорания,  мелкость  распыливания  топлива  и  другие  факторы.  В  силу  многофакторности его  выбор  возможен  только  на  основе  сопоставления  (идентификации) расчетных  характеристик  сгорания  с  экспериментальными  характеристиками.  С  увеличением  В  максимум  скорости сгорания возрастает, продолжительность  сгорания сокращается.

Схема  расчета  характеристик  сгорания  иллюстрируется рис.  5 Момент  начала  подачи  топлива  φ_нпф  и характеристика впрыска должны  быть  заданы  в исходных  данных.  Относительная скорость подготовки к сгоранию рассчитывается по уравнению с учетом  зависимостей  на протяжении всех  периодов  процесса  сгорания.  Расчет  dw/dφ ведется совместно с уравнениями ,  отражающими изменение параметров рабочего тела в цилиндре. Текущее количество подготовленного к сгоранию  топлива определяется  интегрированием уравнения на каждом шаге счета.

Период  задержки  самовоспламенения  может  быть  рассчитан  по  одной  из  эмпирических  формул.  Для  судовых  дизелей используется формула