Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное  образовательное учреждение высшего  профессионального образования

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ МИНЕРАЛЬНО-СЫРЬЕВОЙ УНИВЕРСИТЕТ «ГОРНЫЙ»

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

По дисциплине «Информатика» __________________________________________________

_____________________________________________________________________________

(наименование учебной  дисциплины согласно учебному  плану)

 

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

 

Тема:

________Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов

 

Автор: студент гр.ВД-11 ___________                         //

                                         (подпись)                                            (Ф.И.О)

 

 

Оценка:______________

 

Дата:________

 

Проверил:

 

Руководитель проекта                   _____________            /Журов Г.Н./

 

                                              (подпись)                           (Ф.И.О)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург

2012

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное  образовательное учреждение высшего  профессионального образования

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ МИНЕРАЛЬНО-СЫРЬЕВОЙ УНИВЕРСИТЕТ «ГОРНЫЙ»

 

                                                                                                              

       УТВЕРЖДАЮ

Заведующий кафедрой

доц. /Маховиков А.Б./

 

“__” __________ 2012.

 

Кафедра Информатики и компьютерных технологий

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

По дисциплине:    Информатика

(наименование учебной дисциплины  согласно учебному плану)

 

ЗАДАНИЕ

 

 

Студент группы  ВД-11   

    (шифр группы)    (Ф.И.О.)

 

1. Тема проекта: Использование информационных технологий для решения прикладных задач на примере построения аппроксимации функции методом наименьших квадратов.

 

2. Исходные данные к проекту: Вариант №40 задана таблица двух наблюдаемых переменных «X» и «Y».

3. Содержание пояснительной записки: Пояснительная записка включает в себя задание по выполнению работы, расчётные формулы, расчёт с помощью таблиц (Microsoft Exel), схему алгоритма, программу расчёта (на языке Turbo Pascal), результаты расчёта, графики, заключение, библиографический список.

 

4. Перечень графического материала: Представление результатов в виде графиков.

 

5. Срок сдачи законченного проекта

 

 

Руководитель работы: доцент /____________/           /Журов Г.Н./

(должность)           (подпись)   (Ф.И.О.)

 

Дата выдачи задания: 08.09.2012

 

                                                                Санкт-Петербург

2012

Аннотация

 

       В данной работе приводится решение задачи, которая заключается в установлении средней температуры прогрева частицы от её радиуса для различных наполнителей, с помощью табличного редактора MS Excel и языка программирования Turbo Pascal v.7.0.

       Отчёт содержит: 37 страниц текста, 18 рисунков, приложения и библиографический список из 2 пунктов.

 

 

 

In this paper we present a solution to the problem, which is to determine the average temperature of heating the particles of the radius for different fillers, using MS Excel spreadsheet editor and a programming language Turbo Pascal v.7.0. is resulted.

The report contains: 37 pages of the text, 18 drawings, appendices and the bibliographic list from 2 points.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оглавление:

1. Задание…………………………………………………………………………………….5

2. Введение…………………………………………………………………………………..7

3. Расчётные формулы……………………………………………………………….........9

4. Таблицы выполненные  средствами Microsoft Excel, с пояснениями…………....12

5. Представление результатов  в виде графиков………………………………………19

6. Получение числовых характеристик………………………………………………...21

с использованием функции ЛИНЕЙН И  ЛГРФПРИБЛ……………………………..22

7. Вычисление прогнозного значения………………………………………………......23

8. Расчёт аппроксимаций по программе  в среде TURBO PASCAL 7.0……………..24

9. Вывод……………………………………………………………………………………..33

10. Список Литературы………………………………………………………………..….34

11. Приложения………………………………………………………………………….....35

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Задание

 

1. Используя метод наименьших квадратов результаты эксперимента, представленные в виде таблицы, аппроксимировать:

1. многочленом первой степени ;
2. многочленом второй степени ;
3. экспоненциальной зависимостью .

2. Для каждой зависимости вычислить коэффициент детерминированности и остаточную дисперсию на одну степень свободы.

3. Вычислить коэффициент корреляции (только в случае а).
4. Для каждой зависимости построить линию тренда.
5. Используя функцию ЛИНЕЙН вычислить числовые характеристики зависимости y от x.
6. Сравнить свои вычисления с результатами, полученными при помощи функции ЛИНЕЙН.
7. Для каждой зависимости провести оценку значимости уравнения регрессии в целом по критерию Фишера при уровне значимости α₁.
8. Для каждой зависимости провести оценку параметров, входящих в уравнение регрессии, по критерию Стьюдента при уровне значимости α₂.
9. Написать программу на языке Turbo Pascal.
10. Сравнить результаты работы программы с вычислениями, выполненными вручную.
11. Сделать вывод, какая из полученных формул наилучшим образом аппроксимирует результаты эксперимента.

 

Исходные данные (таблица 1)

 

     При проведении  эксперимента установлена зависимость температуры продуктов взрыва от концентрации различных пламегасителей в составе взрывчатых веществ. Наполнитель Kl.α1=0,05;α2=0,05.

Таблица 1

у	х
4200,00	0,00
4006,00	3,00
3887,00	5,00
3383,00	8,00
3575,00	10,00
3203,00	15,00
3134,00	17,00
2960,00	20,00
2648,00	22,00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.Введение

 

Цель данной курсовой работы – с помощью аппроксимации  установить зависимость между экспериментальными данными, решить поставленную задачу различными способами, провести расчёты с помощью табличного процессора Microsoft Excel и среды программирования Turbo Pascal 7.0.

Аппроксимация (от латинского «approximate»-«приближаться») – приближенное описание эмпирических данных с помощью уравнений, необходима для проведения интер- и экстраполяции. Задача – найти такую функцию, выраженную аналитической формулой, чтобы она наилучшим образом описывала эмпирические данные.Наиболее часто используется метод наименьших квадратов, который позволяет найти функцию с такими параметрами, что сумма квадратов отклонений найденной функции от заданных значений функции будет минимальной.

Между величинами может  существовать точная (функциональная) связь,  когда одному значению аргумента  соответствует одно определенное значение, и менее точная (корреляционная) связь, когда одному конкретному значению аргумента соответствует приближенное значение или некоторое множество значений функции, в той или иной степени близких друг к другу. При ведении научных исследований, обработке результатов наблюдения или эксперимента обычно приходиться сталкиваться со вторым вариантом. При выполнении любой научно-исследовательской работы возникает проблема выявления подлинного характера зависимости изучаемых показателей. Для этого и применяется аппроксимация – приближенное описание корреляционной зависимости переменных подходящим уравнением функциональной зависимости, передающим основную тенденцию зависимости (или ее «тренд»).

При выборе аппроксимации  следует исходить из конкретной задачи исследования. Важно учитывать, насколько существенны и чем обусловлены отклонения конкретных значений от полученного тренда. При описании зависимости  эмпирически определенных значений можно добиться и гораздо большей точности, используя какое-либо более сложное, много параметрическое уравнение.

Таким образом, выбирая  метод аппроксимации, исследователь  всегда идёт на компромисс: решает, в  какой степени в данном случае целесообразно и уместно «пожертвовать» деталями и, соответственно, насколько  обобщенно следует выразить зависимость сопоставляемых переменных.

 

        Специалисты  в области автоматизации технологических  процессов и производств имеют  дело с большим объёмом экспериментальных  данных, для обработки которых  используется компьютер.

При рассмотрении различных задач в этой области возникает, в частности, необходимость выявления некоторых эмпирических закономерностей, решения систем уравнений, первичной статической обработки экспериментальных данных.

Для решения многих задач, исходные данные и полученные результаты вычислений которых могут быть представлены в табличной форме, используют табличные процессоры (электронные таблицы) и, в частности, Excel. Имеется также множество инженерных задач, для решения которых требуется применить язык программирования.

В данной работе использована среда  языка программирования Turbo Pascal 7.0 для основной массы расчётов, то есть для установления зависимости средней температуры прогрева частицы, электронные таблицы Microsoft Excel 2003 из пакета Microsoft Office для создания контрольного варианта и построения графиков; текстовой редактор Microsoft World 2003 для оформления отчета о проделанной работе.

При выполнении работы были использованы материалы лекций и рекомендованные источники литературы.

 

 

3.Расчётные  формулы

Есть разные способы  оценки суммарной ошибки аппроксимации. Чаще всего оценивают суммарную  квадратичную ошибку, равную сумме  квадратов отклонений эмпирических значений функции от теоретических:

Эмпирическая формула:

                                 (1)

Где – неизвестные параметры, значения которой в точках мало отличались бы от опытных значений .

   (2)

    (3)

Нахождения коэффициента сводиться к решению системы (3)

В случаи линейной формулы зависимости  _{система (3) примет вид:}

     (4)

В случае квадратичной зависимости  система (3) примет вид:

   (5)

 

Экспоненциальная зависимость:

     (6)

где и – неопределенные коэффициенты.

Линеаризация достигается путем  логарифмирования равенства (6), после чего получаем соотношение

     (7)

 

Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

,     (8)

где , и – среднее арифметическое значение соответственно по x и y.

Коэффициент детерминированности (детерминации) определяется по формуле:

                                                                                                                                 (9)

 

                                                                                                             ₍₁₀₎

                                       

                                                                                                     (11)

 

                                                                                                     (12)

                                                                                                    (13)

Где m-число параметров при переменных x.

Для линейной и экспоненциальной аппроксимации  m=1,для квадратичной аппроксимации m=2.

Критерий Фишера определяться соотношение:

 

                                                                                                                  (14)

 

                                                                                                   (15)