Понятие балансового метода планирования

Доказательство.

Пусть неотрицательная матрица А продуктивна. Тогда для любого неотрицательного вектора у существует решение х ≥ 0 уравнения ( 4) Пусть у > 0, тогда, очевидно, х > 0. Умножив равенство ( 4) слева на левый вектор Фробениуса рТА и учитывая, что

 

рТАА = λАрТА, ( 8)

 

получим

 

λ А (рТА х) + рТА у = рТА х,

 

или

 

(1 – λА)(рТА х) = рТА у.

 

Так как рТА ≥ 0 и у ≥ 0, х ≥ 0, то рТАу > 0, рТАх > 0. Поэтому из последнего равенства вытекает, что λА < 1.

Обратно, пусть неотрицательная матрица А имеет число Фробениуса λА < 1. Покажем, что она продуктивна. Возьмем неотрицательный вектор у и покажем, что у системы ( 4) существует решение х ≥ 0.

Рассмотрим следующую неотрицательную матрицу размера (n + 1)(n+ 1):

 

а11 а12 … а1n у1

а21 а22 … а2n у2

А = …………….

аn1 аn2 … аnn уn

0 0 … 0 1

 

Где аij – элементы матрицы А и у1, …, уn – координаты вектора у. В более компактной форме матрицу можно записать так:

 

А = А у

0 1

 

Умножая эту матрицу слева на вектор рТ = (0, …, 0,1), легко убедиться, что

 

рТА = рТ.

 

Следовательно, одним из собственных значений матрицы А является вектор λ = 1.

Пусть вектор Х = (х1 , …, хn , хn+1 ) = (х , хn+1) является собственным вектором матрицы А, т.е. АХ = λХ. В силу определения матрицы А эторавносильно тому, что

 

А у х = λ х

0 1 хn+1 хn+1

 

или

 

Ах + у хn+1 = λх,

хn+1 = λ хn+1. ( 9)

 

Если λ ≠ 1, то из второго соотношения системы ( 9) следует, что хn+1 = 0, в силу чего первое уравнение имеет вид Ах = λх. Следовательно, λ – собственное значение матрицы А и, по нашему предположению ‌‌‌|λ| < 1. Таким образом, λА = 1 является положительным и максимальным по модулю собственным значением, следовательно является числом Фробениуса. По теореме Фробениуса-Перрона у матрицы А существует неотрицательный собственный вектор хА = ( хА , хn+1), соответствующий λА =1. Очевидно, что хn+1 ≠ 0, так как в противном случае из ( 9) следовало бы, что Ах = х. А это противоречит тому, что число Фробениуса λА < 1. Поэтому мы можем считать, что хn+1 = 1. В силу того, что хn+1 = 1, равенство ( 9) принимает вид

 

АхА + у = хА.

 

Поскольку хА = (хА, хn+1) ≥ 0, то хА ≥ 0.

Следовательно, матрица А продуктивна.

Следствие.

Если для неотрицательной матрицы А и некоторыого положительного вектора у уравнение ( 4) имеет неотрицательное решение х, то матрица А продуктивна.

Доказательство.

Как было уже показано, из существования положительного решения у уравнения ( 4) следует, что λА < 1. На основании теоремы Фробениуса матрица А продуктивна.

Теорема 3 (третий критерий продуктивности).

Неотрицательная матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда сходится бесконечный ряд

 

Е + А + А² + … ( 10)

 

Доказательство.

Пусть сходится ряд ( 10). Согласно лемме его сема равна (Е – А)-1. При этом сумма указанного ряда будет неотрицательна, поскольку все слагаемые ряда неотрицательны. Итак, матрица (Е – А)-1 существует и неотрицательна. Отсюда по теореме 1.3 следует продуктивность А.

Обратное утверждение (если А продуктивна, то ряд ( 10) сходится) доказывать не будем.

 

 

3. Вектор полных затрат

 

Пусть А ≥ 0. Равенство

 

(Е – А)-1 = Е + А + А2 + …                                   (11)

 

справедливо, как мы уже знаем, в том случае, когда матрица А продуктивна, имеет экономический смысл.

 

х = у + Ау + А2у + …                                        (12)

 

В чем смысл распадения вектора х на слагаемые у, Ау, А2у и т.д.? Для получения валового выпуска, обеспечивающего конечное потребление у, нужно прежде всего произвести набор товаров, описываемый вектором у. Но этого мало – ведь для получения у нужно затратить ( а значит, сначала произвести) продукцию, описываемую вектором Ау. Но и этого мало – для получения Ау нужно осуществить дополнительные затраты, описываемые вектором А(Ау) = А2у, и т.д. В итоге приходим к заключению, что весь валовой выпуск х должен составляться из слагаемых у, Ау, А2у и т.д., что и зафиксировано в формуле (3.12). В соответствии с этим рассуждением сумму у + Ау + А2у + … называют вектором полных затрат, а сделанное выше заключение формулируют так: вектор валового выпуска х совпадает с вектором полных затрат.

Чтобы сделать заключение более конкретным, рассмотрим такой пример. Пусть речь идет о блоке из трех промышленных отраслей:

1. металлургия;
2. электроэнергетика;
3. угледобыча.

Для получения конечного выпуска у = (у1 , у2 , у3)Т необходимо прежде всего произвести:

у1 т металла; у2 кВт.ч электроэнергии; у3 т угля.

Но для производства у1 т металла, в свою очередь, необходимо затратить (а значит, сначала произвести) какие-то количества металла, электроэнергии и угля. То же самое мправедливо и в отношении производства у2 кВт.ч. электроэнергии и у3 т угля

В свою очередь, для производства у11 т металла необходимо затратить какие-то количества металла, электричества и угля, и т.д. Искомый валовой выпуск х представляет собой сумму затрат 0-го порядка (вектор у), 1-го порядка (вектор Ау), 2-го порядка (А2у) и т.д.

 

 

4. Модель равновесных  цен

 

Рассмотрим теперь балансовую модель, двойственную к модели Леонтьева – так называемую модель равновесных цен. Пусть, как и прежде, А – матрица прямых затрат, х = (х1 , х2, …, хn)Т – вектор валового выпуска. Обозначим через р = (р1 , р2 , …, рn)Т вектор цен, i координата которого равна цене единицы продукции i-й отрасли; тогда, например, первая отрасль получит доход, равный р1 х1. Часть своего дохода эта отрасль потратит на закупку продукции у других отраслей. Так, для выпуска единицы продукции, ей необходима продукция первой отрасли в объеме а11, второй отрасли в объеме а21, и т.д., n-й отрасли в объеме аn1. На покупку этой продукции ею будет затрачена сумма, равная а11 р1 + а21 р2 + … + аn1 рn. Следовательно, для выпуска продукции в объеме х1 первой отрасли необходимо потратить на закупку продукции других отраслей сумму, равную х1(а11р1+а21р2+…+ аn1рn). Оставшуюся часть дохода, называемую добавленной стоимостью, мы обозначим через V1 (эта часть дохода идет на выплату зарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции).

Таким образом, имеет место следующее равенство:

 

х1р1 = х1(а11р1+а21р2+…+ аn1рn) + V1.

 

Разделив это равенство на х1 получаем:

 

р1 = а11 р1 + а21 р2 + … + аn1 рn + v1,

 

где v1 = V1/х1 – норма добавленной стоимости (величина добавленной стоимости на единицу выпускаемой продукции). Подобным же образом получаем для остальных отраслей

 

р2 = а12 р1 + а22 р2 + … + аn2 рn + v2,

рn = а1n р1 + а2n р2 + … + аnn рn + vn.

 

Найденные равенства могут быть записаны в матричной форме следующим образом:

 

р = АТр + v,

 

где v = (v1, v2, …, vn)Т – вектор норм добавленной стоимости. Как мы видим, полученные уравнения очень похожи на уравнения модели Леонтьева, с той лишь разницей, что х заменен на р, у – на v, А – на АТ.

 

 

Заключение

 

Балансовый метод – это метод взаимного сопоставления ресурсов (материальных, трудовых, финансовых) и потребностей в них. Среди множества разновидностей балансового метода наиболее распространен межотраслевой баланс, увязывающий источники и направления использования ресурсов. Как правило, при применении балансового метода производятся вариантные расчеты с помощью вычислительной техники

Межотраслевой баланс представляет собой экономико-математическую модель народного хозяйства, что позволяет проводить многовариантные расчеты структуры общественного производства по заданному объему и структуре конечного продукта.

 Это имеет важное значение  на предварительной стадии составления  плана для осуществления вариантов  расчетов пропорций, темпов и отраслевой структуры экономики, а также на последующих стадиях планирования для повышения уровня сбалансированности отраслей и анализа межотраслевых связей.

Межотраслевой баланс, разработанный в трудовых единицах, дает информацию, необходимую для построения рациональной системы цен.

Балансовый метод заключает в себе использование балансов для взаимного сопоставления ресурсов (материальных, трудовых, финансовых) и потребностей в них.

Использование метода балансовых расчетов для определения будущей потребности в финансовых средствах основывается на прогнозе поступления средств и затрат по основным статьям баланса на определенную дату в перспективе. Причем большое влияние должно быть уделено выбору даты: она должна соответствовать периоду нормальной эксплуатации предприятия.

 

Список литературы

 

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 2009. –247 с. 
2. Архангельский Ю.С., Коваленко И.И. Межотраслевой баланс. – К.: Выща шк., 2010. – 311 с. 
3. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. – М.: Наука, 2010. – 289 с.. 
4. Вентцель Е.С. Исследование операций: Задачи, принципы, методология. – М.: Наука, 2011. – 307 с.. 
5. Гейл Д. Теория линейных экономических моделей. – М.: 2011. –245 с. 
6. Деордица Ю.С., Нефедов Ю.М. Исследование операцій в планировании и управлении. – М.: ЮНИТИ, 2010. –299 с. 
7. Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. – М.: Наука, 2013. –278 с. 
8. Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование. – М.: Наука, 2011. –311 с. 
9. Математика в экономике: Учебник: в 2-х ч. Ч.1/ А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандра.– М.: Финансы и статистика, 2012. –201 с. 
10. Математические методы и модели в планировании и управлении. Сборник задач. М.: Финансы и статистика, 2012. –344 с. 
11. Терехов Л.Л., Куценко В.А.Ж, Сиднев С.П. Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении. – М.: Финансы и статистика, 2012. –374 с.